精心整理2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若函数cos(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．Z 中有 3，则|5a 在平面直角坐标系xoy 中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于是线是，于按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz 的最小值是12 34 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 15．锐角αβ，（1）求（2）求16． （1（217．A ，B 及CD 长度为y （1（i ）（ii （2 18．（1）求实数b 的取值范围； （2）求圆C 的方程；（3）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论． 19．（1）设12,,,n a a a 是各项均不为零的n （4n ≥）项等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i ）当4n =时，求1ad的数值；（ii ）求n 的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n (4n ≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12b b ，，，n b ，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列． 20．已知函数11()3x p f x -=，22()23x p f x -=⋅（12,,x R p p ∈为常数）．函数()f x 定义为：对每个给定的实数x ，112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩若若（1）求1()()f x f x =对所有实数x 成立的充分必要条件（用12,p p 表示）；（2）设,a b 是两个实数，满足a b <，且12,(,)p p a b ∈．若()()f a f b =，求证：函数()f x 在区间[,]a b 上21：从A A ．选修如图，求证：2ED EB EC =．B ．选修—2 矩阵与变换在平面直角坐标系xOy F ，求FC ．选修D ．选修设a ，b 22．λ．当APC ∠23．在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2(cos 2)(2cos 1) x x ''=-， 由求导法则，得(sin 2)24cos (sin ) x x x -=-，化简得等式：sin 22cos sin x x x =．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++（x ∈R ，正整数2n ≥），证明：112[(1)1]C nn k k n k n x k x--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：（i ）1(1)C 0nkknk k =-=∑；（ii ）21(1)C 0nkk nk k =-=∑；（iii ）11121C 11n nk n k k n +=-=++∑． 2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题1、10；2、112；3、1；4、6；5、7；6、16π；7、6.42；8、ln2－1；9、1c 2、共36、E7、9、想填1yp=，11c b -的交点F 满足此方程，又原点10、n －1）11、229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．12、【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c=，解得c e a ==13、【解析】设BC ＝x ，则AC ，根据面积公式得：ABC S ∆=1sin 2AB BC B =根据余弦定理得：2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x+-+-==244x x -=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =14、【31x -+≥0设()g x 上单调当x ＜0()g x 二、15、（1因所以tan()αβ+=17tan tan 2311tan tan 172αβαβ++==---⨯; （2）132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯, 从而由tan(2)1αβ+=-得324παβ+=.16、证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F,∴BD ⊥面EFC ，∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD17、【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad)，则10cos cos AQ OA θθ==,故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-， 所以y =②若OP=(cos 20cos θθ-令'y =0，所以θ=π当θ⎛∈ ⎝θ=6π时，min y km 处。
18、令()f x （Ⅱ）设所求圆的一般方程为2x 20y Dx Ey F ++++=令y ＝0得20x Dx F ++=这与22x x b ++＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ． 令x ＝0得2y Ey +＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝―b ―1． 所以圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=. （Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：假设圆C 过定点0000(,)(,)x y x y b 不依赖于，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为22000002(1)0x y x y b y ++-+-=（*） 为使（*）式对所有满足1(0)b b <≠的b 都成立，必须有010y -=，结合（*）式得2200020x y x y ++-=，解得000002 11x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，－，或，，经检验知，点(0,1),(2,0)-均在圆C 上，因此圆C 过定点。
19、解：（1）①当n =4时,1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d =0。
若删去a，所以3a 当,,,a a 去首项1n -也有1n a a ⋅=2,,n a -中任意一个，则必有a a ⋅=0≠d 矛盾。
(（211,y z b ++（0x ≤)，化简得(由1b d ≠当2y -故2y -因为0≤1d于是，对于任意的正整数)4(≥n n ，只要1b d为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n 项数列1，11+1(n +-20、解：（1）由()f x 的定义可知，1()()f x f x =（对所有实数x ）等价于()()12f x f x ≤（对所有实数x ）这又等价于12323x p x p --≤，即123log 2332x p x p ---≤=对所有实数x 均成立.（*）由于121212()()()x p x p x p x p p p x R ---≤---=-∈的最大值为12p p -， 故（*）等价于1232p p -≤，即123log 2p p -≤，这就是所求的充分必要条件（2）分两种情形讨论（i ）当1232p p log -≤时，由（1）知1()()f x f x =（对所有实数[,]x a b ∈）3122log 22333()x p x p f x -->= 0x =综(f x 故由函数1()f x 及2()f x 的单调性可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度之和为012()()x p b p -+-，由于()()f a f b =，即12323p a b p --=⋅，得123log 2p p a b +=++⑵故由⑴、⑵得0121231()()[log 2]22b ax p b p b p p --+-=-+-=综合（i ）（ii ）可知，()f x 在区间[,]a b 上的单调增区间的长度和为2ab -。
21：A ．选修4—1 几何证明选讲证明：如图，因为AE 是圆的切线， 所以，ABC CAE ∠=∠,又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以BAD CAD ∠=∠从而ABC BAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠ 因为ADE ABC BAD ∠=∠+∠, 所以ADE DAE ∠=∠,故EA ED =.因为EA 是圆的切线，所以由切割线定理知, 2EA EC EB =⋅,而EA ED =,所以2ED EC EB = B ．选修4—2 矩阵与变换解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'''(P ''0x y ⎡⎢⎢⎣C ．选修因此S =D ．选修33c即3331113a b c abc ++≥ 所以3331113abc abc a b c abc+++≥+， 而323abc abc abc abc+≥=所以333111a b c+++abc ≥22、解：由题设可知，以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则有(1,0,0)A ,(1,1,0)B ,(0,1,0)C ,(0,0,1)D 由1(1,1,1)D B =-，得11(,,)D P D B λλλλ==-，所以11(,,)(1,0,1)(1,,1)PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=--- 显然APC ∠不是平角，所以APC ∠为钝角等价于cos cos ,0PA PC APC PA PC PA PC∠=<>=<，则等价于0PA PC <即2(1λ-1因此，λ23（2）（i 所以1(nk =∑（(1)n C ++-2332(1)n C x n n +++-又由（i ）知1(1)0nk k n k kC =-=∑（2）由（1）+（2）得21(1)C 0nk k n k k =-=∑（iii ）将等式0122(1+x)=C C C C n n nn n n n x x x ++++两边在[0,1上对x 积分110122(1)(C C C C )n n nn n n n x dx x x x dx +=++++⎰⎰精心整理由微积分基本定理，得111100011(1)()11nn k k n k x C x n k ++=+=++∑ 所以1012111n nk n k C k n +=-=++∑。