2u x 2
(2)
K=1
c const, const


单个Fourier分量初值:
K=2
u(x,0) exp(ikx), x
精确解：
1. u(x,t) exp[ik(x ct)]
2. u(x,t) exp(k 2t) exp[ik(x ct)]
的 k S x k
和右端的x
k 1u xk 1
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和al .
• 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3
15
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 四阶精度:
0Fj
1
Fj1 2
F j 1

a1
u j1
u j1 2

1 6


xux

ikx uˆ(t) exp(ikx)

ke
uˆ(t) exp(ikx),ke

i(kx)

i

x 2uxx k 2x2 uˆ(t) exp(ikx) kd uˆ(t) exp(ikx),kd 2
3
半离散方程的精确解


u(x j , t)

bl
l 0
u jl
2u j l2
u jl
相容要求：
l bl
l0
l 1
Taylor展开左端的x2k2Sk
和右端的x2
2k 2u x2k 2
的系数相等
得到代数方程组，求出系数l和bl .
• 获得S需要求解矩阵方程组
13
二阶导数的紧致差分(cont.)
耗散
27
耗散效应
u f
t x
m
2 m x 2 m 1
2m f x 2 m

m
2 m 1x 2 m
2m1 f x 2 m 1
• 5点六阶紧致：
Sj

5 12

2 x
S
j


2 x
(u
j
x2u j )
对角不占优?
14
一阶导数的对称型紧致差分
• 一般形式:
l
l0
Fjl
Fjl 2

al
l0
u jl u jl 2l
相容要求：
l al ( 1)
l0
l 1
于j处Taylor展开左端
奇数阶导数和偶数阶导数分开：
u f
t x
m
2 m x 2 m 1
2m f x 2 m

m
2 m 1x 2 m
2m1 f x 2 m 1
改写成：
u f
t x



x

m
2 m x 2 m 1
2m1 f x 2 m 1
u(x,t) expikx ct
u(x,t) exp k 2texpikx ct
要求数值格式：

kd 2 kr
1
0（0耗散要求；kr

0表示格式有正耗散，kr

0负耗散）
ki 1 (对 色散误差，要求保持原波速c）

4
4.2 高精度差分格式
S j
4 3

2u
j
1 12
u j2
2u j
u j2
六阶精度（7点）：
S
j
3 2

2u
j

3 20
u j2 2u j u j2
1 90
u j3 2u j u j3
10
4.2.2 紧致差分格式
• 同样的精度比传统差分的基架点少 • 截断误差的系数较小 • 二阶导数的(中心型)紧致差分 • 一阶导数的对称紧致差分 • 一阶导数的迎风紧致差分
F j 1

2 3
Fj

1 6
F j 1

u j1
u j1 2
• 也可从传统的二阶中心差分的截断误差的再次 离散
16
一阶导数的对称型紧致差分(cont.)
• 六阶精度:
1
6
F j 1

2 3
Fj

1 6
F j 1

1 30

2 x
Fj


x0u
j

1 15
x0u
j

x
要高。

F
j j1

Fj

aj
f j1 hj
fj
bj
f j f j1 h j1

j

1 1 j
,aj


2 j
(1 j )2
,bj

2 3 j (1 j )2

F
j j1

Fj

aj
f j1 hj
fj
bj
f j f j1 h j1

exp
ck
kr
t
expik
xj

c
ki
t
,
0



u(x j , t)

exp
kd 2
k
2 t

ck
kr
t
expik
xj

c
ki
t
,
0
微分方程精确解：
离散的初值：
u(x j ,0) exp(ikxj )
离散方程的精确解及其导数(无x) :
u( Fj Sj
xj
kk,tde)uu((utt)()tee)xxeppx((piikk(ixxkjjx))j
)
代入（3），（4）
微分方程精确解及其导数：

u(x,t) uˆ(t) exp(ikx)


5 6

x

1 6

x
u
j
c 0:
2 3
Fj

1 3
F
j 1


5 6

x

1 6

x
u
j
18
一阶导数的迎风紧致差分(cont.)
• 五阶迎风紧致格式(5点）：
c 0:
3
5
Fj

2 5
Fj1

1 60

x
u j2
u c Fj 0 t x
cFj

c Fj

c

F
j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
三阶迎风偏斜差分
Fj
1 6
2u j1 3u j-6u j-1 u j-2
Fj

l 0
al
u jl u jl 2l
6
传统型差分格式(cont)
逼近于一阶导数的四阶精度中心型差分
Fj
1 12
8(u j1u j1) ) (u j2u j2) )
(1)
五阶精度的迎风偏斜差分
F
j

1 60

x
3u j2
27u j1 47u j

1 4
u j2 u j2

17
一阶导数的迎风紧致差分
• 有数值耗散，抑制高频振荡
• 一般形式：
k Fjk ak u jk1 u jk
k
k
相容要求：
k ak 1
k
k
• 三阶迎风紧致格式(3点）：c 0:
2 3
Fj

1 3
F
j 1
2
模型方程及半离散方程(cont.)
半离散方程（ODE方程）
1. u c Fj 0
(3)
t x
2.
u t

c
Fj x


Sj x 2
(4)
其中
Fj
x

u x
,
Sj x 2

2u x 2
，例如Fj
1 2
u j1 u j1 ,
Sj
u j1 2u j u j1
11
二阶导数的紧致差分
• 传统型差分的截断误差项的再次离散
• 四阶紧致：
1 12
S
j 1

5 6
S
j

1 12
S
j 1

x2u
j
• 若边界点S0和SN已知，可用解三对角矩阵方程 得到所有网格点上的差分
12
二阶导数的紧致差分(cont.)
• 一般形式
l
l0
S jl
S jl 2
10,
ki

1 sin 3
30
9 sin 2 45sin
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
Sj x 2

2u x 2
S j

l 0
bl
u jl
2u j l2
u jl
相容：
bl 1
l 0
流动的扩散项一般用中心型差分