三阶迎风偏斜差分 1 2u j 1 3u j -6u j-1 u j-2 6 1 1 k r cos 2 4 cos 3, ki sin 2 8 sin 6 6 五阶迎风偏斜差分 Fj 1 3u j 2 30u j 1 20u j 60u j 1 15u j 2 2u j 3 60 1 1 k r cos3 6 cos 2 15 cos 10, ki sin 3 9 sin 2 45sin 30 30 F j
数： 微分方程精确解及其导 ˆ (t ) exp(ikx) u ( x, t ) u xu ikx u ˆ (t ) exp(ikx) ke u ˆ (t ) exp(ikx), ke i (kx) i x 2 x 2 u k 2 x 2 u ˆ (t ) exp(ikx) k d u ˆ (t ) exp(ikx), k d xx


要求数值格式： kd 1 2 kr 0（0耗散要求；k r 0表示格式有正耗散， k r 0负耗散） ki 1 (对 色散误差，要求保持原 波速c）

4
4.2 高精度差分格式
• 特别适用于光滑问题 • 减少网格点数 • 应用于湍流等多尺度问题
5
4.2.1 传统型差分格式


J-3
J-2 J-1 J
J+1 J+2 J+1 J+2 J+3
J-2
J-1 J
7
传统型差分格式(cont)
迎风偏斜差分的应用： u u c 0 t x Fj u c 0 t x cFj c F j c F j
8
传统型差分对模型方程的逼近特性
• 所有中心型差分：无耗散 • 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 • 可从差分格式的精确解分析色散和耗散
直接由网格点的函数值线性组合 N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定系数
u x x F j al u j l 1 u j l Fj
l
相容性：
a
l
l
1
中心型差分： u j l u j l F j al 2t)
3
半离散方程的精确解
ki kr u ( x j , t ) exp ck t expik x j c t , 0 kd 2 ki kr u ( x j , t ) exp 2 k t ck t expik x j c t , 0 微分方程精确解： u ( x, t ) expik x ct u ( x, t ) exp k 2 t expik x ct
逼近于一阶导数的四阶 精度中心型差分 1 Fj 8(u j 1u j 1) ) (u j 2 u j 2 ) ) (1) 12 五阶精度的迎风偏斜差 分 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (2) 60 1 F j x 3u j 2 27u j 1 47u j 13u j 1 2u j 2 (3) 60

K=1

单个Fourier分量初值 : u ( x,0) exp(ikx), 精确解： 1. u ( x, t ) exp[ik ( x ct )]
K=2
x
2. u ( x, t ) exp( k 2t ) exp[ik ( x ct )]
2
模型方程及半离散方程(cont.)
9
传统型差分格式(cont.)
• 二阶导数的差分逼近
2u 2 x 2 x u j l 2u j u j l S j bl l2 l 0 相容： Sj
b
l 0
l
1
流动的扩散项一般用中 心型差分 四阶精度（ 5点）： 4 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 3 12 六阶精度（ 7点）： 3 3 1 S j 2u j u j 2 2u j u j 2 u j 3 2u j u j 3 2 20 90
半离散方程（ODE方程） 1. Fj u c 0 t x Fj Sj u 2. c 2 t x x 其中 Fj (3) (4)
u S j 2u 1 , 2 2 ，例如F j u j 1 u j 1 , S j u j 1 2u j u j 1 x x x x 2 离散的初值： u ( x j ,0) exp(ikx j ) 离散方程的精确解及其 导数(无x) : u ( x j , t ) u (t ) exp(ikx j ) F j ke u (t ) exp(ikx j ) S j k d u (t ) exp(ikx j ) 代入（3），（4）
(四) 高精度差分格式及其数值解 的逼近程度分析
• 指大于二阶精度的格式 • 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离 传播的速度和幅值 • 用于计算噪声、DNS等 • 有传统高精度差分和紧致差分两种
1
4.1模型方程及半离散方程
模型方程 1. u u c 0 t x u u 2u 2. c 2 t x x c const, const (1) (2)