23
Suresh A & Huynh HT (1997) 的高阶MP格式
fj 1/2=fj 1/2 min mod(f min fj 1/2, f max fj 1/2)
High-order (linear) part
MP part (limiter)
f
j 1/ 2
f j1/2 f min
if if
5% 误差
1 0.5
00
1
2
3
17
4） 分辨率优化
原则： 牺牲精度、提高分辨率
方法： 1） 构造含自由参数的差分格式 u j F ( ,uk ) 2） 计算出格式的色散、耗散误差特性； 3） 调整自由参数，使得色散、耗散特性最优
ki
3 2.5
2 1.5
1 0.5
00
1st order upwind 2nd order center 3rd order upwind 5th order upwind 5th order upwind compact 6th order central 6th order central compact exact
精度： 充分小网格 情况下的误差特性 分辨率： 有限尺度网格 情况下的误差特性
x 0
例：
格式1 格式2
u x
j
a1u j3
a2u j2
.......10
5u x5
x4
u x
j
b1u j3
b2u j2
....... 0.1
4u x4
x3
误差
4阶精度 3阶精度
显然： x 足够小的情况下， 格式1误差更小 x 并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小
后面的数据必须等待前一步计算完成，难以直接并行
20
B) 并行方法1： 流水线法
流水线示意图
步骤： 1) 计算 d(:,:) 2) for k=1,M { 如果 myid=0, 计算 F(k,0), 否则 从myid-1接收 F(k,0); for i=1,N1 (N1=N/P) 计算 F(k,i); 如果myid ≠P-1 向 myid+1 发送 F(k,N1) }
YF-23，风洞实验5,500小时，CFD计算15,000机时
YF17
YF17
YF23
6
● 90年代， CFD 在飞机设计中发挥了主力作用 波音777， CFD占主角
● 2000 之后， CFD 取代了大部分风洞实验 波音787：全机风洞实验仅3次
● 航天领域，CFD发挥着实验无法取代的作用 实验难点：复现高空高速流动条件
f MD
f AV
1 2
d
M j
1/2
A. Suresh, H.T. Huynh, Accurate Monotonicity-Preserving Schemes with Runge-Kutta Time Stepping. J. Comput.
单
度计算
精度不易提高
复杂外形的工程 计算
9
➢ 差分法 vs 有限体积法
… j-2 j-1 j j+1 …
差分法： 离散微分方程（一维离散）
U F1 F2 0 t x y
坐标变换 计算空间
每一维独立处理 一维重构（一维Taylor展开）
例如：
f x
j
a1 f j2
a2
f j1
a3
fj
a4 f j1
PPW 2 2 x kx
= PPW 2
每个波长里面2个网格点， 谱方法的分辨率， 差分法的极限
16
3） 格式的分辨率： Fourier分析
u(x j ) eikxj
du ikeikxj dx
uj
k x
eikx j
k kr iki 修正波数 k ikx i
精确解 差分解
耗散误差
商飞北研培训讲座 2018-10-10
高精度差分格式及 可压缩湍流数值模拟
（一）
李新亮 中国科学院力学研究所
1
提纲
Part 1. 高精度差分格式 Part 2. 湍流模拟方法 Part 3. OpenCFD及可压缩湍流直接数值模拟 Part 4. 激波-边界层干扰的数值研究
2
提纲
Part 1. 高精度差分格式 1. 前言 2. 高精度高分辨率差分格式 格式的精度、分辨率及优化 常用的高分辨率格式： 紧致格式、TVD/保单调格式； WENO格式 3. 群速度控制格式
➢ 新方法： 迎风紧致格式；群速度控制格式； 加权群速度控制格式(WGVC-M); 优化的保单调格式OMP; 优化的MUSCL方法
13
二、 高精度、高分辨率差分格式
1. 格式的精度、 分辨率及优化 1) 差分格式精度： 截断误差的阶数
u x
j
1 2x
(u j2
4u j1
3u j )
7
6
f j ( f j+1 f j1) / 2x
5 阶迎风差分格式
f j (2 f j3 15 f j2 60 f j1 20 f j 30 f j1 3 f j2 ) / 60x
优点： 易于推广到高阶格式 不足： 要求网格足够光滑， 不易处理复杂外形
10
有限体积： 离散积分方程 （多维离散）
1
2
3
18
2. 常用的高分辨率格式 1） 紧致格式
✓引入导数信息、 联立求解
j-1
j
j+1
Fj
f x
j
普通格式： Fj =af j1 bf j cf j1
显式给出差分表达式；
紧致格式： Fj1+Fj + Fj1=af j1 bf j cf j1 隐式给出差分表达式；
6阶对称紧致 1/ 3Fj1 Fj 1/ 3Fj1 (28( f j1 f j1) ( f j2 f j2 )) / 36x 5阶迎风紧致 2 / 5Fj1 3/ 5Fj (3 f j1 44 f j1 36 f j 12 f j1 f j2 ) /120x
0
1
x0 , y0
11
➢高精度差分法： 复杂流动的精细模拟 典型应用： 湍流精细模拟 （直接数值模拟、 大涡模拟）
湍射流的涡量分布：DNS
RANS
12
➢ 湍流精细模拟 与 高精度格式
➢ 激波给可压湍流DNS的数值方法带来巨大挑战 矛盾： 低耗散 vs. 抑制振荡（需要耗散）
➢ 2003年以前， 多采用人工粘性（或滤波); 近期, 多采用WENO 格式 不足： 耗散较大， 计算量大
3u x3
j
x2
O(x3)
截断误差
方法1： Taylor展开，计算截断误差项 （非线性格式推导困难）
方法2： 数值实验
ln err
给定一测试函数（可精确求导），计算 误差对网格尺度的依赖关系
n = 斜率
err Axn
ln err ln A nln x
ln(x)
14
2) 差分格式的分辨率
ki
色散误差
1st order upwind
2nd order center
3
3rd order upwind
5th order upwind
5th order upwind compact
2.5
6th order central 6th order central compact
exact
2
1.5
精度高、守恒性好、易于 处理复杂网格
精度高
算法简单，可处理复杂外 形
缺点
适用范围
处理复杂网格不够 相对简单外形的
灵活
高精度计算
不易提高精度（二 复杂外形的工程 阶以上方法复杂） 计算
对于复杂方程处理 多用于固体力学
困难
等
计算量大；
复杂外形的高精
捕捉激波（限制器）度计算
难度大
外形、边界条件简 简单外形的高精
MP bound, using lower
f max min[max(fj, fj 1, f MD ), max(fj, f UL, f LC )]
order interpolation
f UL
fj 4(fj fj 1) f LC
fj
1 2
(fj
fj 1)
4 3
d
M j
1/2
f AV
1 2
(fj
fj 1)
U 1 F nds 0
t
k
控制体边界上进行重构
u(x,
y)
u
x0
,
y0
(x
x0
)
x
+(
y
y0
)
y
u
1 2!
(x
x0
)
x
(
y
y0
)
y
2
u
...
•多维重构（多维Taylor展开）， 推广到高阶精度复杂
优点： 对网格光滑性要求不高，可处理复杂外形 不足： 推广到高阶精度难度大
实验 优点： 直接、可靠、最终验证方式 不足： 周期长、费用高
计算
优点： 周期短、费用低 不足： 受模型及算法限制，需验证
5
计算流体力学(CFD): 在航空航天领域得到广泛应用 ● 1970 年代， 飞机设计主要依赖风洞实验
YF-17研制，风洞实验13,500小时 ● 1980年代，CFD逐渐发展， 部分取代实验
3
一、 前言
• 计算流体力学: Computational Fluid Dynamics 简称CFD
计算流体力学是通过数值方法求解流体力学控 制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此 预测流体运动规律的学科