一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 3、圆周角定理的推论： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径。
O
O
圆心角定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对
的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两 条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等。
例1: 已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点，∠1=∠2。 求证：AC=BD
例2：把⊙O四等分
图中的圆周角有:
∠BAC ∠BAD ∠BDA ∠DBA ∠DAC
C
想一想；
一个圆的圆心与圆周角在位置上可能有几种 关系？请大家在练习本上画一画.
想一想一个圆的圆心与圆周角可能有几种关系？ A A A
O
B
.
C B
D
.O
O
C
.
C
D B
在这三个图中，哪个图形最特殊？其余两个可以转化成 这个图形吗？
探索研究：
Ａ
Ｏ
Ｂ
(2)若⊙O的半径为r,则等边 ABC三角形的边长为_______ 3r
Ｃ
例3：如图, ⊙O的直径垂直于弦CD，AB，CD相交 ⌒ ⌒ 于点E，∠COD=1000,求BC，AD的度数。 A O E C B D
C O A
1、请说出圆心角的定义
顶点在圆心的角叫圆心角。
2、如图，已知∠AOB=80°， B
O
B C
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠C+∠BAC =2∠BAC
1 ∴∠BAC= ∠BOC 2
A
O B D C
(2)当圆心O在圆周角∠BAC的内部时, 过点A作直径AD 1 由(1)得∠BAD= ∠BOD 2
1 2 ∠DAC=
∠DOC
1 2 ∴ ∠BAD+ ∠DAC=
∠DOC)
(∠BOD +
1 即: ∠BAC= 2
∠BOC
A
O D C (3)当圆心O在∠BAC的外部时,过点A作直径 1 1 AD,则由(1)得
2 ∠DAC=
∠DOC
2 ∠DAB=
∠DOB
B
1 ∴ ∠DAC--∠DAB= 2
(∠DOC -- ∠DOB)
1 即:∠BAC= 2
∠BOC
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
4、一条弧所对的圆心角的度数为950， 求这条弧的度数和它所对的圆周角的 度数。
C
此图，弧ADB所对的圆心角是？ ∠AOB 180° A 几度？ 圆周角又是谁？几度呢？
∠ACB 90 °
·
O D
B
圆周角定理的推论： （或直径半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径。
想一想：
1、已知：∠AOB=100°，求∠ACB的度数
如果圆周角和圆心角对着同一条弧，那么这两个 角存在怎样的关系？请告诉大家你的数学猜想。
命题：一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半。
A O O A O C D A
B
C
B
C
D B
⌒ 已知：如图，∠BOC和∠BAC分别是BC 所对的圆心角和圆周角
1 求证：∠BAC= ∠BOC 2
A
证明：（1）当圆心O在圆周角 ∠BAC的一边AB上时 ∵OA=OC ∴∠BAC=∠C
O
A C
B
2、若圆中一条弦把圆周分成1︰5两部 分,则这条弦所对的圆周角为多少度?
例1： 已知，如图，四边形
ABCD的四个顶点都在⊙O上。
求证：∠B+∠D=1800
A O D C
B E
若∠D=1200，则∠CBE是多少度？
课堂总结：
这节课我们都有什么收获？
1、圆周角的定义： 顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 2、圆周角定理：
1、圆即是轴对称图形，又是中心对称图形。 2、顶点在圆心的角叫做：圆心角。 做一做:判别下列各图中的角是不是圆心角，并
说明理由。
①
②
③
④
生活中圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
在同圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
A
⌒ ∵∠BAC和∠BOC都对BC
1 ∴∠BAC= ∠BOC 2
O B C
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
1、如图，已知在⊙ O 中，∠BOC =150°，求∠A
A
2、已知一条弧所对的圆周角等于500， 则这条弧所对的圆心角是多少度？
B
O C
3、已知一条弧的度数为400，求这条弧 所对的圆心角和圆周角的度数。
①求AB弧的度数； 80° ②延长AO交⊙O于点C，连结CB，
则∠C与圆心角∠AOB有什么不同呢?
圆周角: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交 的 角。
判断下列图形中的角是否是圆周角？并说明理由。
不是
不是
是
不是
不是
圆周角: 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的 角。
找一找:
请找出图中所有的圆周角
D A
O B
做一做： ⌒ 1、如图,在⊙O中,AB为直径，∠BAC=400,则AC的 0 0 ⌒ 度数为_______，BC的度数为_______ 80 100
A C O B
例2：如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结
OA,OB,OC。
(1)∠AOB、∠COB、∠AOC
1200 ,1200 ,120 的度数分别为__________ 0