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田间试验与统计分析
Field Experiment and Statistical Analysis
方差分析的线性数学模型
• 方差分析的数学模型就是指试验资料的数
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总变异：dfT nk 1
nk 1 (k 1) (nk k ) (k 1) k (n 1)
dfT df t df e
df t k 1, df e k (n 1)
因为 MSe 是σ2 的无偏估计量， MSt
是
n
2
2 的无偏估计量，所以
为2
MSe的数学期望（mathematical
2 expectation）， n 2 为MSt的数学
期望。又因为它们是均方的期望值
（expected value），故又称期望均方，
简记为EMS（expected mean squares）。
田间试验与统计分析
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第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定 二、自由度与平方和的分解 三、F检验 四、多重比较 五、单一自由度的正交比较*
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• 其中SSi、dfi（i=1,2,…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱk）分别表示由试验
资料中第i个 处理的n个观测值算得的平方 和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是 误差方差的无偏估计量。
i
）间的差异，二是本身的
所计算的处理间均方MSt实际上是 的无偏估计量。
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n
n
2
2
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n
k
n
( xij x ) [( xi x ) ( xij xi )]2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
[( xi x ) 2 2( xi x )( xij xi ) ( xij xi ) 2 ]
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2 • 显然，各 S 的合并方差 S（以各处理内 e 的自由度n-1为权的加权平均数）也是σ2的 无偏估计量，且估计的精确度更高。很容 2 易推证处理内均方MSe就是各 S的合并。 i
2 i
SSe MSe df e
i 1 j 1 k
k
n
n ( xi x ) 2 ( xi x ) ( xij xi ) ( xij xi ) 2
2 i 1 k i 1 j 1 i 1 j 1
k
n
k
n
n ( xi x ) ( xij xi ) 2
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一、线性模型与基本假定 • 假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察 值，其数据结构和符号如表5.1。
• 每个观察值可用如下数学模型表示：
xij i ij
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自由度和平方和的简便计算公式
2 k n x 2 SST xij nk i 1 j 1 2 1 k 2 x 平方和：SS t xi n i 1 nk SS SS SS T t e
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• 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处
理效应
i
的差异上。我们把
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•
（i=1,2,…,k）表示第i个处理观测值
2 i
总体的方差。如果所分析的资料满足这 个方差同质性的要求，那么各处理的样 本方差 S , S ,, S
2 1 2 2 2 k
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三、F检验
• 方差分析的一个基本假定是要求各处理观
测值总体的方差相等，即

2 1 2 2 2 k
2
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xij x .. ( xi . x ..) ( xij xi .) x .. ti eij
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四川农业大学生物统计课程组 Sichuan Agricultural University
Dr. 刘永建 All Rights Reserved
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2 当处理效应的方差 =0，亦即各处理
观测值总体平均数μ i（i=1，2，…,k）相等时， 处理间均方MSt与处理内均方一样，也是误差
ai2 k 1

( i ) 2 k 1
称为效应方差，它也反映了各处理观测值总体 平均数的变异程度，记为 。
2
k 1
2 a 2 i
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方差σ2的估计值。
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方差分析就是通过MSt 与MSe的比较来推 2 断 是否为零即 i 是否相等。统计学已证 2 明，在 =0的条件下，服从自由度df1=k-1 与df2=k（n-1）的F分布。即
dfT nk 1 自由度：df t k 1 df df df T t e
SSt SS e SST MST , MS t , MS e dfT df t df e
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x ij i ij
•
x ij 表示为总平均数μ、处理效应α 、试验
误差εij 之和。由εij相互独立且服从正态分布 N（0，σ2），可知各处理Ai(i=1，2，…，k) 所属总体亦应具正态性，即服从正态分布 N(μi,σ2)。尽管各总体的均数可以不等或相 等，σ2则必须是相等的。
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• 这是因为处理观测值的均数间的差异实际上
包含了两方面的内容：一是各处理本质上的
差异即 i（或
(xi x)2 抽样误差。统计学上已经证明， 2 k 1 2 是 的无偏估计量。因而，我们前面
据结构或者说是每个观察值的线性组成部 分，它是进行方差分析的基础。
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• 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正 态性（normality）、方差的同质性 （homogeneity）。 • 这也是进行其它类型方差分析的前提或 基本假定。
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(xij xi )2 k (n 1)
SS1 SS2 SSk k (n 1) df1 df 2 df k