5.2.1 方差分析的假定 （1）对每个总体，响应变量服从正态分布。 例题中，每组学生的考试成绩必须服从正态 分布。 （2）响应变量的方差，对所有总体都相同。 例题中，每组学生的考试成绩的方差必须相 同。 （3）观察值必须是独立的。例题中，每组的 考试每个学生的考试成绩都与其他学生的考 试成绩独立。
2 302.4667 4.256098
12 71.06667 14
练习：某项研究报告得出这样的结论：个体经营 者感受到的工作压力要比非个体经营者大。在该 项研究中，为了度量一些模棱两可和容易混淆的 方面，设计了15个问题来评估工作压力。这15 个问题的选择范围都是从强烈同意到强烈反对， 等级分为1-5分。对每个人，15个问题的等级分 之和在15-75之间，等级分越高表明工作压力越 大。假设在一项类似的研究中，有20个这样的 选择题，等级分为1-5分。随机选取了15名房地 产代理商、15名建筑商和15名股票经纪人，对 他们的工作压力进行了度量。数据资料见 stress.xls。对于显著水平0.05，检验三种职业之 间的工作压力是否存在显著差异。
第五章 方差分析
5.1 方差分析的基本概念
5.2 方差分析的基本原理
5.3 方差分析：k个总体均值相等性检验
5.1 方差分析的基本概念
在实际应用中常常要探讨不同实验条件 或处理方法对结果的影响。通常是比较不同 实验条件下总体均值间差异。方差分析是检 验多个总体均值间差异是否显著的一种统计 方法。 简言之，方差分析是k个总体均值相等性 的检验 。
5.3 方差分析：k个总体均值相等性检验
H 0 : 1 2 k H1 : k 个总体的均值不全相等 式中
j 第j个总体的均值
我们假定从k 个总体或处理中的每一个选取一个 容量为n j的简单随机样本。 对于所得样本数据，令 xij 第j个处理的第i个观测值 n j 第j个处理的观测值个数 x j－第j个处理的样本均值 s 2 第j个处理的样本方差 j s j 第j个处理的的样本标准差
例：为了比较四种不同肥料对小麦亩产量的影响， 取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差不多的土地， 分成16块。化肥品种记为A1 ，A2 ，A3 ，A4，每种肥 料施在四块土地上，得亩产量如下：
实验指标
肥料品种A
A1 A2 A3 A4

亩产量 981，964，917，669 607，693，506，358 791，642，810，705 901，703，792，883
图1 零假设为真时，样本均值的抽样分布
现在，我们计算例题中每组的样本均值，以 及上面关于样本均值的抽样分布的均值和方 差。 如果当零假设为真时，此时总体方差的处理 间估计值是什么呢？总体方差的处理内估计 值是什么呢？
图1 零假设为假时，样本均值的抽样分布
当零假设为真时，处理间估计方法才是总 体方差σ2的一个好的估计量；如果零假设为 假，处理间估计方法将高估总体方差，如图2， 样本均值之间的变异性变大，此时用处理间 估计方法得到的总体方差的估计值将变大。 但，在两种情形下，处理内估计都是总 体方差σ2的一个好的估计量。 因此，如果零假设为真，则两个估计量 应该很接近，即它们的比值接近于1；如果零 假设为假，则处理间估计将大于处理内估计， 且，它们的比值将比较大。
第j个处理的样本均值和样本方差：
xj
x
i 1
nj
ij
nj ( xij x j ) 2
i 1 nj
s2 j
nj 1

x
x
j 1 i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k
nj
ij
nT
nT n1 n2 nk
5.3.1 总体方差的处理间估计
总体方差σ2的处理间估计量称为处理均方 (mean square due to treatments)，记为MSTR.
方差分析中常用的术语有： （1）实验指标（响应变量或因变量）：将要考 察的结果，用大写字母X、Y等表示。 （2）实验因素（自变量或因子）：影响实验指 标的条件，常用大写字母A、B、 C等表示。 （3）因素水平（因子水平或处理）：因素所处 的某种特定状态，常用代表该因素 的字母加下 标表示，如A1、A2、B1、B 2等表示。 （4）方差分析：对于影响一个指标的众多因素， 若仅使一个(或一个以上)因素发生变化，而其他 因素均保持不变 (或控制在一定范围内)，分析这 一个(或一个以上)因素对指标的影响是否显著， 称为单因素(或多因素)方差分析。
MSTR
n j ( x j x )2
j 1
k
k 1
SSTR k 1
SSTR为处理平方和（sum of squares due to treatments);分母k-1表示与SSTR相联系的自 由度。
5.3.2 总体方差的处理内估计
总体方差σ2的处理内估计量称为误差均方(mean square due to error)，记为MSE.
B2
607，358 981，964 810，705 657，703
B3
实验因素
810，705
因素水平
792，883 843，766 901，703
问施肥品种、土壤种类对小麦产量有无影响。
两因素方差 分析
5.2 方差分析的基本原理
例：一位教师采用3种不同的教学方法进行教 学，现在想要检查3种不同的教学方法的效果， 为此随机地选取了水平相当的15位学生。把 他们分成3组，每组5个人，每一组用一种方 法教学，一段时间后，这位教师给这15位学 生进行统考，统考成绩(单位：分)见表1。试 检验这3种教学方法的效果有没有显著差异。
MSE
(n
j 1
k
j
1) s
2 j
nT k
SSE nT k
SSE为误差平方和（sum of squares due to error); 分母表示与SSE相联系的自由度。MSE是以每个 处理内部的变异为基础的，它不受零假设是否为 真的影响。因此，MSE永远给出σ2的无偏估计。

表1 学生的考试成绩
方法
A1 1 A2 2 A3 3
实验指标 X
统考成绩
75 81 73 62 85 79 71 68 60 58 92 75 73 90 81
5.2.2 推理思路： 总体方差的处理间估计与处理内估计 如果零假设为真，样本均值的变异性 “小”；如果样本均值的变异性“大”则支 持备择假设。 当零假设为真时，可以利用样本均值间的 变异性建立σ2的一个估计，这一估计称为总 体方差σ2 的处理间估计。 同时，每个样本方差都给出了σ2的一个无 偏估计。可以将σ2的个别估计组合或合并成 一个总的估计。这一估计为σ2的合并或处理 内估计。它不受总体均值是否相等的影响。
实验因素
因素水平
问施肥品种对小麦产量有无影响。
单因素方差分析
例：为了比较四种不同肥料、三种土壤对小麦亩产量的 影响，化肥品种为A1 ，A2 ，A3 ，A4，土壤记为B1， B2，B3每种肥料施在四块土地上，得亩产量如下：
土壤种类 肥料品种 A1 A2 A3 A4
实验指标
B1
693，506 810，705 791，642 917，669
5.3.3 方差估计量的比较：F检验

5.3.4 ANOVA表
总平方和：
SST ( xij x )
j 1 i 1
k
nj
2
它的自由度是多少？
SST = SSTR + SSE
表2 教学方法例子的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F
处理
误差 总计
604.9333
852.8 1457.733