固体物理 固体物理
布里渊区
主讲人： 主讲人：许本超 答疑人： 答疑人：李海龙 封福明
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内容
• • • • • • • • • 1.倒易空间 2. 布里渊区基本概念 3. 典型格子的第一布里渊区 4.布里渊区的几何性质 5. 衍射条件在布里渊区诠释 6.布里渊区中的K点 7.布里渊区和能带的关系 8.布里渊区和费米面 9.MS计算能带实例图
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7.2布里渊区和能带的关系
能带论的基本出发点: 能带论的基本出发点 固体中的电子可以在整个固体中运动 电子在运动过程中要受晶格原子势场的作用 由于周期场的微扰， 由于周期场的微扰，
E
E6
E(k)函数在布里渊区 函数在布里渊区
允许带
E5
边界k=± 边界 ±nπ/a处出现 处出现
3.2体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的F.B.Z 体心立方晶格的 体心立方晶格的倒格子为面心立方晶格
可以看出， 可以看出，面心立方倒 格子（即体心立方晶格） 格子（即体心立方晶格） 的F.B.Z为正菱形十二 为正菱形十二 面体（非正十二面体） 面体（非正十二面体）
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3.3面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的 面心立方晶格的F.B.Z 面心立方晶格的倒格子为体心立方晶格
如右图所示， 如右图所示，黑框为体心立方 倒格子，取其体心（黄点） 倒格子，取其体心（黄点）作 为原点，红点（8个 为原点，红点（8个）为此原 点最相邻的倒格点，蓝点（6 点最相邻的倒格点，蓝点（ 个）为此原点次相邻倒格点 可以看出， 可以看出，体心立方倒 格子（即面心立方晶格） 格子（即面心立方晶格） 的F.B.Z为截角的八面体 为截角的八面体 十四面体） （十四面体）
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3. 典型格子的第一布里渊区
3.1简单立方晶格的F.B.Z 简单立方晶格的F.B.Z 简单立方晶格的
简单立方晶格的倒格子也是简单立方晶格
可以看出， 可以看出，简单立方倒 格子（即简单立方晶格） 格子（即简单立方晶格） 的F.B.Z也为简单立方体 也为简单立方体
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1 1 k ⋅ G = G 2 2
2
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6.布里渊区中的K点
• 在各种周期性边界条件的第一性原理计算方法中，需要涉 及到在布里渊区的积分问题，例如总能、电荷密度分布， 以及金属体系中费米面的确定等等。 如果采用普通的在布里渊区内均匀选取k点的方法，那 如果采用普通的在布里渊区内均匀选取 点的方法， 点的方法 么为了得到精确的结果点的密度必须很大， 么为了得到精确的结果点的密度必须很大，从而导致 非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。 非常大的计算量。这使得计算的效率非常低下。 因此，需要寻找一种高效的积分方法， 因此，需要寻找一种高效的积分方法，可以通过较少的 点运算取得较高的精度。而这些k点被称之为 点被称之为“ 点运算取得较高的精度。而这些 点被称之为“平均值 或者“特殊点” 点”或者“特殊点”。
(a)
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8.布里渊区和费米面 布里渊区和费米面
空间中能量为常数E 的点构成的曲面。 费米面就是 k 空间中能量为常数 F的点构成的曲面。 *费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 费米面是基态时电子占据态与非占据态的分界面 *费米面是能级等于费米能级的等能面 费米面是能级等于费米能级的等能面 * 在 k 空间，自由电子的等能面是球面，所以自由电子的费米面是个球面 空间，自由电子的等能面是球面， *但是在晶体中，电子要受到周期性势场的微扰作用，因此其费米面在 但是在晶体中， 但是在晶体中 电子要受到周期性势场的微扰作用， 布里渊区的边界处发生了畸变
(a)扩展区图： (a)扩展区图：在不同的布里渊区画 扩展区图 出不同的能带。 出不同的能带。 (b)周期区图：在每一个布里渊区中周期 b)周期区图： 周期区图 性地画出所有能带(强调任一特定波矢k的 (b) 性地画出所有能带(强调任一特定波矢 的 能量可以用和它相差K 的波矢来描述) 能量可以用和它相差 h的波矢来描述)。 (c) (c)简约区图：将不同能带平移适当的 c)简约区图： 简约区图 倒格矢进入到第一布里渊区内表示( 倒格矢进入到第一布里渊区内表示(在 简约布里渊区内画出所有的能带) 简约布里渊区内画出所有的能带)。 能带理论（ 是讨论晶体（包括金属、 能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体 和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。 和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。
d hlk
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布里渊区(Brillouin 2. 布里渊区(Brillouin zone) 基本概念
定义：在倒易点阵中，取任意格点为原点，被倒 定义：在倒易点阵中，取任意格点为原点， 格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、 格矢的垂直平分面（布拉格面）包围的、围绕着 原点的最小区域称为F.B.Z(第一布里渊区 。 第一布里渊区)。 原点的最小区域称为 第一布里渊区 说明：并不是原点 说明： 仅到最近邻的倒格 点的倒格矢的中垂 面所围成的区域叫 F.B.Z
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5. 衍射条件在布里渊区诠释
只有从原点到布里渊区的边界的矢量K 才能满足衍射条件。 只有从原点到布里渊区的边界的矢量 h才能满足衍射条件。
证明：如右图所示， 为原点， 点为倒易空间任意格点 点为倒易空间任意格点， 证明：如右图所示，以O为原点，D点为倒易空间任意格点，其对应 为原点 点坐标为(h,l,k)) 倒格矢为 G =hb +lb2 +kb3 (即D点坐标为 即 点坐标为 D 1 为原点O出发并终止于 垂直平分面的任意向量。 出发并终止于OD垂直平分面的任意向量 垂直平分面的任意向量。 波失 k 为原点 出发并终止于
则有 k = 2π
λ
, G =
2π ，根据勾股定理有： d hlk
D
GD
2 k sin θ = G ，代入上式，整理可得 ： 2 d hlk sin θ = λ 此即布拉格方程。 同理，对应倒格点 C 点也有此性质 对应波长为 λ ，衍射角 2θ ，衍射晶面指数 hlk
θ
k1
k
O
GC
C
一般用向量方 程来表示布里 渊区此项性质
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9.MS计算能带实例图 计算能带实例图
半导体SnO2的晶体结构和布里渊区图 半导体
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25 20 15 10
Energy/eV
5 0 -5 -10 -15 -20
Γ
Z
F
Q
Γ
SnO2的能带结构图，其带隙 的能带结构图， 的大小为2.4eV 的大小为
20
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有了倒格子基矢，可 构成倒格矢。 Kh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 倒格子也具有周期性， 其中h1 h2 h3为任意整 数，由倒格矢Kh确定 的空间叫倒格子空间 倒格子空间。 倒格子空间
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倒格子和正格子的关系
(1)正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 π)3 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于(2 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 (2)倒格失 h=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族 倒格失K 倒格失 正交,正格子中一族晶面转化成了倒格 （h1h2h3）正交 正格子中一族晶面转化成了倒格 子中的一个倒格点。 (3)倒格失 h的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成 倒格失K 倒格失 的模与晶面族（ 2π 反比 K =
E4
E3
E2
不连续，能量的突 不连续， 禁 变为： Eg = E+ − E− = 2 U n 允许带带 变为：
允许带
E1
称为能隙，即禁带宽度， 称为能隙，即禁带宽度， 这是周期场作用的结果
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−
3π −2π π O − a a a
π a
2π 3π a a
k
扩展区图
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7.3布里渊区能带的三种图像表示方法
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1.倒易空间
一. 倒格子 （先在基矢坐标系中讨论) 1. 定义： 正格子基矢 a1 a2 a3 定义： 倒格子基矢 b1 b2 b3 2π i=j ai · bj = 0 i≠j 即i≠j ai ⊥ bj
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝c (A) 其中 为正格子初基元胞体积，同时，由定义 2π a1·b1＝2π , c = （B） Ω 比较（A）,（B）式得 2π b1＝ （a2×a3） Ω 2π 2π 类似可得 b2＝ Ω 3×a1） b3＝ (a1×a2) （a Ω
作二维一、 作二维一、二、三和四价原子正方格子费米面
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• 由于晶格的周期性，通常在简约布里渊区作费米面 • 移动各个分片，即第二、三、四布里渊的分片到第一布里渊区，按不 同能带作费米面
Cu的费米面 金属中电子为自由电子，费米面在低温时能较好地解释金属的许多特 性。半导体、绝缘体用价带、导带以及费米能级的关系来确定。
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4.布里渊区的几何性质 布里渊区的几何性质
倒易空间内的B.Z会无重叠的填满整个波矢空间， 会无重叠的填满整个波矢空间， 倒易空间内的 会无重叠的填满整个波矢空间 并随格点做周期型排列
证明： 证明：如右图所示 O2 d 2 D点为空间内任意一点，O1点为距 点为空间内任意一点， 点为空间内任意一点 点最近的倒格点， 离D点最近的倒格点，O2点为其它 点最近的倒格点 D 任意一倒格点， 任意一倒格点，则d1≦d2. O1 d 1 当d1<d2时，D∈O1的F.B.Z ∈ d1=d2时，D在B.Z边界上 在 边界上 所以D点不能同时在两个倒格点的 所以 点不能同时在两个倒格点的 布里渊区内 F.B.Z就是原胞的一种划分方式，又被称为倒易点阵的维格纳－赛茨 就是原胞的一种划分方式， 就是原胞的一种划分方式 又被称为倒易点阵的维格纳－ 原胞。 原胞。 事实上各级B.Z的体积均相等，都等于倒格子原胞。 的体积均相等，都等于倒格子原胞。 事实上各级 的体积均相等