专题07 二次函数与幂函数
1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.1
4 B ．4 C.22
D. 2
【解析】 设f (x )＝x α
，因为图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，代入【解析】式得：α＝－12，∴f (2)＝2－12＝
2
2
. 【答案】C
2．若函数f (x )是幂函数，且满足f f ＝3，则f (1
2
)的值为( )
A ．－3
B ．－13
C ．3
D.13
【解析】 设f (x )＝x α，则由
f
f
＝3，得4
α
2
α＝3.
∴2α
＝3，∴f (12)＝(12)α＝12＝13.
【答案】D
3．已知函数f (x )＝e x
－1，g (x )＝－x 2
＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]
D ．(1,3)
【答案】 B
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x ，x >0，
x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )．
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
【解析】 f (a )＋f (1)＝0⇔f (a )＋2＝0⇔⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
2a ＋2＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ≤0，
a ＋1＋2＝0，解得a ＝
－3. 【答案】 A
5 .函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b
2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}
【解析】 设关于f (x )的方程m [f (x )]2
＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象关于x ＝－b
2a
对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝
－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642
. 【答案】 D
6．二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是
( )．
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】 C
7．对于函数y ＝x 2
，y ＝x 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型． 其中正确的有________．
【解析】 从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 【答案】 ①②⑤⑥
8．若二次函数f (x )＝ax 2
－4x ＋c 的值域为[0，＋∞)，则a ，c 满足的条件是________．
【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，4ac －16
4a
＝0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a >0，
ac －4＝0.
【答案】 a >0，ac ＝4
9．方程x 2
－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．
【解析】 ∵⎩
⎪⎨
⎪⎧
α＋β＝m ，
α·β＝1，∴m ＝β＋1
β
.
∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋
1
β
在(1,2)上是增函数， ∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52.
【答案】 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，52 10．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x
－2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0， 则m 的取值范围是________．
零点小于－4，函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，2m <－m ＋
，
2m <－4，
－m
＋
或
⎩⎪⎨⎪⎧
m <0，
－m ＋
m ，
2m <1，－m ＋
－4，
解第一个不等式组得－4<m <－2，第二个不等式组无解，故所求m
的取值范围是(－4，－2)．
【答案】 (－4，－2)
11．设f (x )是定义在R 上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x <1时，y ＝f (x )的表达式
是幂函数，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.求函数在[2k －1,2k ＋1)(k ∈Z )上的表达式． 解 设在[－1,1)上，f (x )＝x n
，由点⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，18在函数图象上，求得n ＝3.
令x ∈[2k －1,2k ＋1)，则x －2k ∈[－1,1)， ∴f (x －2k )＝(x －2k )3
.又f (x )周期为2，
∴f (x )＝f (x －2k )＝(x －2k )3
.即f (x )＝(x －2k )3
(k ∈Z )． 12．已知函数f (x )＝x 2
＋2ax ＋3，x ∈[－4, 6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；
(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)[理]当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 解(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2
－4x ＋3＝(x －2)2
－1， 由于x ∈[－4,6]，
∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
13．设函数f (x )＝ax 2
－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，求实数a 的取值范围．
解 不等式ax 2
－2x ＋2>0等价于a >2x －2x
2，
设g (x )＝2x －2
x
2，x ∈(1,4)，则
g ′(x )＝
2x 2
－
x －x
x 4
＝－2x 2
＋4x x
4＝－2x x －x
4
，
当1<x <2时，g ′(x )>0，当2<x <4时，g ′(x )<0，
g (x )≤g (2)＝12
，
由已知条件a >1
2
，
因此实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x －k 2
＋k ＋2(k ∈Z )满足f (2)<f (3)． (1)求k 的值并求出相应的f (x )的【解析】式；
(2)对于(1)中得到的函数f (x )，试判断是否存在q >0，使函数g (x )＝1－qf (x )＋(2q －1)x 在区间[－1,2]上的值域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出q ；若不存在，请说明理由．
∵g (2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g (－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2
＋14q 处取得．
而4q 2
＋14q －g (－1)＝4q 2
＋14q －(2－3q )＝
4q －2
4q
≥0，∴g (x )max ＝4q 2
＋14q ＝17
8
，
g (x )min ＝g (－1)＝2－3q ＝－4.
解得q ＝2，∴存在q ＝2满足题意．。