反函数求导法则
刘云
（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。

关键词：反函数；基本初等函数；求导
引 言
除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。

1. 反函数求导定理
若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有
[])(1)(1x f y f
'='-. 证明：
因为函数)(x f y =
在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y 等价于0)()(11≠-∆+=∆--y f y y f x ，并且当0→∆y 时有
0→∆x 。

因此
[]y y f y y f y f y ∆-∆+='--→∆-)()(lim )(11
01
)()(lim 0x f x x f x x -∆+∆=→∆ )(1)()(lim 10x f x
x f x x f x '=∆-∆+=→∆. 2.基本初等函数的导数和微分公式：
0)(='C
0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x
dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin ='
xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -='
xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan ='
xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -='
xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec ='
xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -='
xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广
(1)多个函数线性组合的导函数
∑∑=='='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，
其中),,3,2,1(n i c i =为常数。

（2）多个函数乘积的导函数
∑∏∏=≠==⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.
总结
通过反函数求导法则，可以简捷快速的求出反函数的导数，以及反函数的导数和原函数的导数及原函数之间的关系。

参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路。

数学分析（第二版）[M],北京：北京教育出版社，2004.6.。