容易验证:原型边界条件与模型边界条件完全等效; 即满足边界条件相似
将比例常数代入原型边界条件 : bu = ; bz = ; um zm Hp ; 并注意条件 : bz = Hm
up
zp
※初始条件相似性问题
对原型:
初始条件 : u p |t p =0 = q p ; (外荷载一次性施加)
对模型: 初始条件 : um |tm =0 = qm ;
′ l′ l′ 1 = 1 = L 相似定数 l′2′ l′2
2 、物理相似
两系统物理相似：指在几何相似的系统中，进行着同一 性质的物理变化过程，且两系统中各同名的物理量存在 固定的比例常数⎯相似常数。 同名物理量指表征同一物理属性的物理量； 同名的物理量存在固定的比例常数：指两系统中所有向 量（矢量）在对应点和对应时刻，方向相同，大小成比 例。所有标量在对应点和对应时刻，大小成比例。 如果两系统中，进行的物理过程的数学物理方程结构形式 相同，但其过程的物理本质不同⎯称两系统为“拟似”。如地 基固结和热扩散。
f(t)
如图所示的单自由度系统，其质量块 m在外力f(t)作用下的运动方程为：
m
k
y
c
m
d 2 y dt 2
+ η
dy dt
+ k y =
f (t )
(1)
f(t)
m
ky
d2y dt2
η
其中:η为粘性阻尼系数; k为弹簧系数; f(t) 为激振力; y:振动位移.
dy dt
对原型：
m
d 2yp
p
dt
室内固结试验与压缩曲线
室内固结试验与压缩曲线
• 用环刀切取扁园柱体，一般高2厘 米，直径应为高度2．5倍，面积为 30cm2或50 cm2,试样连同环刀一起 装入护环内，上下有透水石以便试 样在压力作用下排水。 • 在进水石顶部放一加压上盖，所加 压力通过加压支架作用在上盖，同 时安装一只百分表用来量测试样的 压缩。 • 由于试样不可能产生侧向变形而只 有竖向压缩。于是，我们把这种条 件下的压缩试验称为单向压缩试验 或侧限压缩试验。
弹性力学的基本方程
平衡方程
⎧ ∂σ x ∂τ yx ∂τ zx ⎪ ∂x + ∂y + ∂z + f x = 0 ⎪ ⎪ ∂τ xy ∂σ y ∂τ zy + fy = 0 + + ⎨ ∂z ∂y ⎪ ∂x ⎪ ∂τ xz ∂τ yz ∂σ z + fz = 0 + + ⎪ ∂z ∂y ⎩ ∂x
② 几何条件相似
所有具体现象都发生在几何形状的空间内。
③ 物理条件相似
指两系统所有对应的物理量成比例⎯有相似常数存在。 对应的物理 量包括：时间、空间、速度，如
′′ τ 1′′ τ 2 τ ′′ = = LL = = C时间相似常数 τ ′ τ 1′ τ 2 τ′
l′′ ′ l′2′ l′ 1 几何相似常数 = = LL= = C l ′ ′ l′ l l 1 2
η
η = η
t t
p m
p m
;
(4)
k
f
t
=
代入原型方程并整理得：
Bm B y B B
2 t f
mm
Bη B y Bk B y d 2 ym dy m + ηm + k 2 Bt B f dt m Bf dt m
m
y m = f m (t )
(5)
要使得该方程与模型方程等价，则必有：
Bm B y B B
u0 − u u Uz = = 1− u0 u0
土层平均固结度为:
• 对于附加应力为均匀分布的情况
∫
H
0
u0 dz = pH
由此可见,相同时间因子时,土层固结程度是相同的.
bz2 = 1000000 bt = bcv
研究和应用: 固结软土中单桩负摩擦离心机模型试验研究 • 工程概况 浙江国华宁海发电厂位于浙江省宁波市宁海县强 蛟镇西北的团结塘海堤东侧的滩涂上,拟建电厂建设规 模为4×600MW燃煤机组。 • 工程地质资料显示,主厂区地表下有5m至15m厚的淤 泥层,其下有粉质粘土层、粉质粘土混砾砂层和凝灰岩 层等。设计采用桩基础,根据电厂总平面布置方案,厂址 场地由开山及滩涂回填而成,滩涂最大回填厚度达8m以 上。在软土地基上大面积回填引起固结沉降,其对桩基 的负摩阻力的影响必须通过试验进行研究。 本次试验分为现场桩基负摩阻力试验和负摩阻力 离心机模型试验两部分。试验数量均为2组4根试桩 1
Terzaghi单向固结理论
单向固结微分方程
∂u ∂u = Cv 2 ∂t ∂z
2
固结系数
Cv =
k v Es
γw
kv = γ wmv
⎧边界条件 : ⎪ ⎪ ⎨边界条件 : ⎪ ⎪ ⎩初始条件 :
u |z =0 = 0; ∂u |z = H = 0; ∂z u |t =0 = q;
(上边界完全透水) (底边界完全隔水) (外荷载一次性施加)
• 土是均质、各向同性且饱和 的; • 土粒和孔隙水是不可压缩 的，土的压缩完全由孔隙体 积的减小引起; • 土的压缩和固结仅在竖直方 向发生; • 孔隙水的外排符合达西定 律，土的固结快慢决定于它 的渗透速度; • 在整个固结过程中，土的渗 透系数、压缩系数视为常数; • 地面上作用着连续均布荷载 并且是一次施加的;
对原型
Cvp
∂ up
2
∂z p
2
2
=
∂u p ∂t p
(1)
p表示原型
对模型
∂ um ∂um Cvm 2 = ∂z m ∂tm
up um ; bcv = cvp cvm
(2)
m表示模型
取比例常数 : bu =
代入原型方程(1)得:
; bz =
zp zm
; bt =
tp tm
(3)
2 b b ⎛ cv u ⎞ ∂ um ⎛ bu ⎞ ∂um ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C = vm 2 2 ⎜ b ⎟ ⎜ b ⎟ ∂t z ∂ m ⎝ z ⎠ ⎝ t⎠ m
对原型
⎧边界条件 : u p |z p =0 = 0; ⎪ ∂u p ⎨ ⎪边界条件 : ∂z |z p = H p = 0; p ⎩
(上边界完全透水) (底边界完全隔水)
对模型
⎧边界条件 : um |zm =0 = 0; ⎪ ∂um ⎨ ⎪边界条件 : ∂z |zm = H m = 0; m ⎩
(上边界完全透水) (底边界完全隔水)
2 t f
=
Bη B y Bt B
f
=
Bk B y B
f
=1
相似指标有三个：
Bm B y B B
2 t f
;
Bη B y Bt B
f
;
Bk B y B
f
.
相似准数也有三个： π 1
my = 2 ; t f
π
2
=
η y
t f
;
π3
k y = . f
例2、地基压缩固结试验的相似理论问题
Terzaghi单向固结理论
（1）、几何相似 （2）、时间相似 （3）、物理参数的相似 （4）、初始条件的相似 （5）、边界条件的相似
• 单值条件包括：几何条件、初始条件、 边界条件以及对所研究的现象有重大影 响的物理条件等。 • 对于常温静态弹性应力分析问题，主要 考虑的是几何条件、载荷条件、约束条 件和泊松比条件。 • 而对运动学 运动学和动力学的问题，则还要考 虑初始条件和时间条件等。在复杂的模 型实验中，要求单值条件完全相似是有 困难的，但应尽量保持相似。
1、相似第一定理： 对于彼此相似的现象，其相似指标为 1 ，或者其相似准数为常量。 例1：对于牛顿第二定律
F = ma
两系统分别有
令：
F ′ = m ′a ′ F ′′ = m ′′a ′′
(1) (2)
F ′′ = C F F ′
m ′′ = C m m ′
a ′′ = C a a ′
(3) (4)
2 p
+η
dy
p
p p
dt
+ k
p
y p = f p (t )
(2)
对模; η + k m 2 dt m dt m
m
y m = f m (t )
(3)
取下列比例常数：
B B
m
= =
m m k k
p m
p m
; B ; B
y
= = f f
y y
p m
p m
; B ; B
将(3)代入(2)得
C F F ′ = C m m ′C a a ′
因为两系统相似,(1)、(4)两式等价
∴ C F = CmCa
CF Ci = =1 CmCa
再将(3)代入相似指标得
称为相似指标
F ′′ F′ = m ′′a ′′ m ′a ′
F =π ma
= 常数
称为相似准数
例1、单由度系统的受迫振动问题相似理论
二、 现象相似的条件
⎧现象相似的性质：彼此相似的现象具有的性质 ⎨ ⎩现象相似的条件：满足什么条件现象才能相似
⑴ 相似的前提条件(必要条件)
单值条件相似(几何条件、物理条件、初始条件及边界条 件相似)是现象相似的必要条件。 ①两系统中发生同类物理现象
用同一方程描述。例如：流体在管道中流动；流体流过平板。
第三章 模型试验理论与技术
§3.1概述 原型试验：在实际建筑物、构筑物或机械设备上进行的试
验；
优点：试验成果直接、真实、可靠； 缺点：有些试验不能做或成本太高。如大型建筑物、构筑物及贵重设备的破 坏性试验，极限性能试验、优化方案的比较试验等。