第三章1.有两束方向相反的平行热中子束射到235U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强度为122110cm s --⋅。

自右面入射的中子束强度为1221210cm s --⨯⋅。

计算： （1）该点的中子通量密度； （2）该点的中子流密度；（3）设2119.210a m -∑=⨯，求该点的吸收率。

解：（1）由定义可知：1221310I I cm s φ+---=+=⨯（2）若以向右为正方向：1221110J I I cm s +---=-=-⨯ 可见其方向垂直于薄片表面向左。

（3）2122133119.21031010 5.7610a a R cm s φ---=∑=⨯⨯⨯⨯=⨯ 2.设在x 处中子密度的分布函数是：0(,,)(1cos )2x aEn n x E e e λμπ-Ω=+ 其中：,a λ为常数， μ是Ω与x 轴的夹角。

求： （1） 中子总密度()n x ；（2） 与能量相关的中子通量密度(,)x E φ; （3） 中子流密度(,)J x E 。

解：由于此处中子密度只与Ω与x 轴的夹角相关，不妨视μ为视角，定义Ω在Y Z -平面影上与Z 轴的夹角ϕ为方向角，则有：（1） 根据定义：可见，上式可积的前提应保证0a <，则有：（2）令n m 为中子质量，则2/2()n E m v v E =⇒= （等价性证明：如果不做坐标变换，则依据投影关系可得：则涉及角通量的、关于空间角的积分：对比：可知两种方法的等价性。

）（3）根据定义式：利用不定积分：1cos cos sin 1n nxx xdx C n +=-++⎰（其中n 为正整数），则： 6．在某球形裸堆（R=0.5米）内中子通量密度分布为 试求：（1）(0)φ;（2）()J r 的表达式，设20.810D m -=⨯；（3）每秒从堆表面泄露的总中子数（假设外推距离很小，可略去不济）。

解：（1）由中子通量密度的物理意义可知，φ必须满足有限、连续的条件（2） 中子通量密度分布：17510()sin()rr r Rπϕ⨯= 21cm s -- ()r D e rϕ→∂=-∂ （e →为径向单位矢量）（3）泄漏中子量=径向中子净流量×球体表面积 中子流密度矢量：∵()J r 仅于r 有关，在给定r 处各向同性 7.设有一立方体反应堆，边长9a =.m 中子通量密度分布为：已知20.8410,0.175.D m L m -=⨯= 试求： （1）()J r 的表达式；（2）从两端及侧面每秒泄露的中子数；（3）每秒被吸收的中子数（设外推距离很小，可略去）。

解：有必要将坐标原点取在立方体的几何中心，以保证中子通量始终为正。

为简化表达式起见，不妨设13210310cm s φ--=⨯。

（1） 利用斐克定律：0D φ= （2）先计算上端面的泄漏率：同理可得，六个面上的总的泄漏率为：其中，两端面的泄漏率为：1615.810;L s -=⨯侧面的泄漏率为：1713 1.210L L s --=⨯（如果有同学把问题理解为“六个面”上的总的泄露，也不算错）（3）由2/a L D =∑，可得：2/a D L ∑=由于外推距离可忽略，只考虑堆体积内的吸收反应率： 8.圆柱体裸堆内中子通量密度分布为其中，,H R 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计）。

试求： （1） 径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比； （2） 每秒从堆侧表面和两个端面泄露的中子数； （3） 设7,3H m R m ==,反应堆功率为510,410f MW b σ=，求反应堆内235U的装载量。

解：9.试计算0.0253E eV =时的铍和石墨的扩散系数。

解：查附录3可得，对于0.0253E eV =的中子：对于：同理可得，对于C ： 0.0917D m =10.设某石墨介质内，热中子的微观吸收和散射截面分别为σa =4.5×10-2靶和σs =4.8靶。

试计算石墨的热中子扩散长度L 和吸收自由程λa ，比较两者数值大小，并说明其差异的原因。

12.计算3235,802/T K kg m ρ==时水的热中子扩散长度和扩散系数。

解： 查79页表3-2可得，293K 时：0.0016D m =，由定义可知： 所以:中子温度利用56页（2-81）式计算：其中，介质吸收截面在中子能量等于217.28100.0461M kT J eV =⨯= 再利用“1/v ”律：（若认为其与在0.0253eV 时的值相差不大，直接用0.0253eV 热中子数据计算：这是一种近似结果）利用57页的（2-88）式13.如图3-15所示，在无限介质内有两个源强为1Ss -，试求1P 和2P 点的中子通量密度和中子流密度。

16.设有一强度为21()I m s --⋅的平行中子束入射到厚度为a 的无限平板层上。

求： （1）中子不遭受碰撞而穿过平板的概率; （2）平板内中子通量密度的分布; （3）中子最终扩散穿过平板的概率。

解：（1） 0()/exp()t I a I a =-∑（2） 此情况相当于一侧有强度为I 的源，建立以该侧所在横坐标为x 原点的一维坐标系，则扩散方程为： 边界条件：（1）. 0lim ()x J x I →=（2）. lim ()0x x aJ a -→=方程的普遍解为：//()x L x Lx Ae Ce φ-=+ 由边界条件（1）可得： 由边界条件（2）可得： 所以：（3） 此问相当于求X a =处单位面积的泄漏率与源强之比：17.设有如图3-16所示的单位平板“燃料栅元”，燃料厚度为2a ,栅元厚度为2b ，假定热中子在慢化剂内据黁分布源（源强为S ）出现。

在栅元边界上的中子流为零（即假定栅元之间没有中子的净转移）。

试求：（1）屏蔽因子Q ，其定义为燃料表面上的中子通量密度与燃料内的平均中子通量密度之比；（2）中子被燃料吸收的份额。

解：（1）以栅元几何中线对应的横坐标为原点，建立一维坐标系。

在这样的对称的几何条件喜爱，对于所要解决的问题，我们只需要对0x >的区域进行讨论。

燃料内的单能中子扩散方程：222()()0,0d x x x a dx Lφφ-=<<边界条件：（1）. 0lim ()0x J x →=（2）. 0lim ()x x S φ→=通解形式为： ()c o s h (/)s i n h (x A x L Cx L φ=+ 利用斐克定律：()()sinh()cosh()d x Ax C x J x D D dx L L L L φ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦代入边界条件（1）：s i n h ()c o s h ()00A x C x DC D C L L L L L ⎡⎤-+=-=⇒=⎢⎥⎣⎦代入边界条件（2）：所以：（3） 把该问题理解为“燃料内中子吸收率/燃料和慢化剂内总的中子吸收率”，设燃料和慢化剂的宏观吸收截面分别为F a ∑和Ma ∑，则有：tan(/)tanh(/)()tan(/)()aFF F Fa a a F a Fa a F M FM F MF M a a a a a a a a F M dVdVa L a L L a Lb a S L a L b a dV dV dV dV φφφφφφφ∑∑∑∑===∑+∑-∑+∑-∑+∑∑+∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰回顾扩散长度的定义，可知：2//F Fa a L D L D L =∑⇒∑=，所以上式化为：（这里是将慢化剂中的通量视为处处相同，大小为S ，其在b 处的流密度自然为0，但在a 处情况特殊：如果认为其流密度也为0，就会导致没有向燃料内的净流动、进而燃料内通量为0这一结论！所以对于这一极度简化的模型，应理解其求解的目的，不要严格追究每个细节。

）21.在一无限均匀非增值介质内，每秒每单位体积均匀地产生S 个中子，试求： （1）介质内的中子通量密度分布；（2）如果0x =处插入一片无限大的薄吸收片（厚度为t ,宏观吸收截面为a '∑），证明这时中子通量密度分布为（提示：用源条件0lim ()(0)/2a x J x t φ'→=-∑）解：（1） 建立以无限介质内任一点为原点的坐标系（对此问题表达式比较简单），建立扩散方程：2a D S φφ-∇+∑= 即：2a S D Dφφ∑∇-=- 边界条件：1. 0,φ<<+∞2. ()0,0J r r =<<+∞ 设存在连续函数()r ϕ满足： 22φϕ∇=∇ （1）21a S D D Lφϕ∑-= （2） 可见，函数()r ϕ满足方程221Lϕϕ∇=，其通解形式：由条件（1）可知：0C =,由方程（2）可得：()()()/exp //a a r r S A r L S φϕ=+∑=-+∑再有条件2可知：0A =，所以：（实际上，可直接由物理模型的特点看出通量处处相等这一结论，进而其梯度为0）（2）此时须以吸收片中线上任一点为原点建立一维直角坐标系，想考虑正半轴，建立扩散方程：2a D S φφ-∇+∑= 即：2,0a Sx D Dφφ∑∇-=-> 边界条件：i. 0,φ<<+∞ ii. 0lim ()(0)/2,a x J x t φ'→=-∑iii. lim ()0x J x →∞=对于此“薄”吸收片，可以忽略其厚度内通量的畸变。

参考上一问中间过程，可得通解形式：()exp(/)exp(/)/a x A x L C x L S φ=-++∑ 由于条件ii 可得：lim ()()()22a a x a aAD CD t S tL SJ x A C C A A C L L D ''→=-=-∑++⇒-=∑++∑∑ 由条件iii 可得：0C = 所以：()221aa a a tL S SA A A D D tL ''-=∑+⇒=∑⎛⎫--∑ ⎪∑⎝⎭对于整个坐标轴，只须将式中坐标加上绝对值号，证毕。

22.假设源强为21()S cm s --⋅的无限平面源放置在无限平板介质内，源强两侧平板距离分别为a 和b （图3-17），试求介质内的中子通量密度分布（提示：这是非对称问题，0x =处的边界条件应为：） （1）中子通量密度连续；（2）000lim(()())x x J x J x S εεε=+=-→ - =解：以源平面任一一点味原点建立一维直角坐标系，建立扩散方程：边界条件： i. 1200lim ()lim ()x x x x φφ→→=; ii. 000lim ()()x x J x J x S εεε=+=-→⎡⎤ - =⎣⎦; iii. 1()0a φ=; iv. 1()0b φ-=; 通解形式：由条件i ：12C C = （1） 由条件ii:12112200lim()lim cosh()sinh()cosh()sinh()x x d d D x x x x DD A C A C Sdx dx L L L L L φφ→→⎡⎤-+=--++=⎢⎥⎣⎦ 2112SL SLA A A A D D⇒=-⇒=-（2） 由条件iii ，iv:1111sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)A a L C a L C a L A a L +=⇒=- (3) 2222sinh(/)cosh(/)0cosh(/)sinh(/)A b L C b L C b L A b L -+-=⇒=(4) 联系（1）可得：12tanh(/)/tan(/)A A b L a L =- 结合（2）可得： 所以：23.在厚度为2a 的无限平板介质内有一均匀体积源，源强为31()S m s --∙，试证明其中子通量密度分布为（其中d 为外推距离）证明：以平板中线上任一点位原点建立一维直角坐标系，先考虑正半轴，建立扩散方程：2a D S φφ-∇+∑= 即：2,0a Sx D Dφφ∑∇-=->边界条件：i. 0,φ<<+∞ ii. 0lim ()0,x J x →= iii. ()0a d φ+=参考题21，可得通解形式：()sinh(/)cosh(/)/a x A x L C x L S φ=++∑ 由条件ii 可得： 再由条件iii 可得：()cosh()0cosh()aa a d S Sa d C C a d L L φ++=+=⇒=-+∑∑ 所以：cos(/)()cosh()1cosh()cosh()a a a S x S S x L x a d a d L L L φ⎡⎤⎢⎥=-+=-⎢⎥++∑∑⎢⎥∑⎣⎦由于反曲余弦为偶函数，该解的形式对于整个坐标轴都是适用的。