习题五 Z 变换1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。
nnn n nn n z a z a -==∑∑+=01))(1()1()1)(1(1111212a z az a z a az az a za az az ---=---=-+-=-)(21)()2(n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=)1(21)()3(--⎪⎫⎛-=n u n x n)1(,1)()4(≥=n n x )5()6()1||()()1(<=a an x n∞====<<<<z z az a z az a z a az ,0 1, 11,1 零点为：极点为：即：且收敛域：解：(2) 由z 变换的定义可知：n n-∞1(∑∞=-=12n n n z zz212--=12111--=z 21 12 <<z z 即：收敛域：(0 21==z z 零点为：极点为：解： (4) ∑-⋅∞==11)(n nz nz X∞--∙∙11)(n z dX 11n ∞--解：因此，收敛域为 ：1>z∞==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω解：(6))1(,1)()4(≥=n nn x 10),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω1,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos )(]sin )sin(cos )[(cos( )()cos()( 20101201012010100000>+---=+-⋅-+--⋅=∴⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅=⋅+=---------z zz z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设[则而的收敛域为则 )()( 1 )( X n y Ar n x z z Y n ∴⋅=>2 . 解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得)431)(211)(211(2111111----+-+-=Z jZ jZ Z)431)(211)(411()211)(211()(11211-----++++-=Z Z Z Z Z Z XX(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 :(1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二>(3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三>X z z z X z z z X z z X )3( 41z ,41121)( )2( 21z ,411211)( )1( )(,,.31121<--=>--=----反变换的部分分式法求以下留数定理用长除法z x （（21（11221114112)(--+=-=z z z X ,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为按降幂排列分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x∙∙∙-+---2141211z z112111211--++z z211412121------z z z241-z--∙∙∙2111（1 221⎥⎦⎢⎣-=z，是因果序列由于 )( n x0)( 0 =<n x n 时，故)(21)( n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=所以（1）(iii)部分分式法：212111411211)(121+=+=--=---z z z z z z X 因为 21>z所以 )(21)(n u n x n⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=（2）-∞=⋅⋅+=478 n z 所以 )1(417)(8)(--⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅=n u n n x nδ（2）(ii)留数定理法:41)( 21)(1，为设<=⎰-z c dz z z X jn x c n π 内的逆时针方向闭合曲线时：当 0 <n1)(-n z z X 在c 外有一个单极点41=z)0( ,)41(7 ])([Re )(411<⋅=-=∴=-n z z X s n x n z n时：当 0 =nX 当 (x(3)(i). 长除法： 因为极点为az 1=，由a z 1>可知,)(n x 为因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ∙∙∙+-+-+---221)1(1)1(11z a a az a a a aaz a z az 11--+-1)1(1)1()1(--+----zaa a a a aa-111x n x ([]1111 )(Re )( 1)( 0 11111⎫⎛⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅---===>---==x x z z a z a z a z z X s n x az c z z X n nn n n az az 一个单极点内有在时：当 (a a n x ⎪⎭ ⎝ )1(1)1()(1-⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅-+⋅-=n u a a a n a nδ4. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为)1)(211(1)(11----=z z z X(a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。
(b)将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开式求 )(n x ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。
注意：不管哪种表示法最后求出x （n ）应该是相同的。
解：且 (b) (X)()212( n u n⎪⎭⎫⎝⎛-=5．对因果序列,初值定理是)(lim )0(z X x z ∞→=,如果序列为 0>n 时0)(=n x ,问相应的定理是什么?)( n x 讨论一个序列,其z 变换为：值。
试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X分析：这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， [解： (∴X 31)0()0()0(31213lim )(lim )0(024lim)(lim )0( )( 212201012=+=∴=-===-==∞→∞→→→x x x z z z X x z zz X x n x z z z z ）（）（为因果序列：则6. 有一信号)(n y ,它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的2112512419127)(---+--=z z z z X关系是: )1()3()(21+-*+=n x n x n y其中 )(21)(1n u n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛= ，)(31)(2n u n x n⎪⎭⎫⎝⎛=已知 111)]([--=az n u a Z n ，a z >。
变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z分析：而所以 [][])1()3()(21+-⋅+=n x Z n x Z z Yz z z z 311211113-⋅-=--)21)(3(33---=z z z7. 求以下序列)(n x 的频谱)(ωj e X 。
(1) )(0n n -δ (2) )(n u e an - (3) )()(0n u e n j ωα+- (4) )cos()(0n n u e an ω-解：)1( 111)2(---=∙z e a ωωωj a e z j e e z X e X j --=-==∴11 |)()([]1)()(0011 )()()3(-+-+--==∙∙∙z e n u e Z z X j n j ωαωα)(011|)()(ωωαωω+--=⋅-==∴j e z j e e z X e X j[])cos()()()4(0n n u e Z z X an ω-=∙∙∙aa a e z e z e z 220101cos 21cos 1------+--=ωω∴8.⎰-∴⋅=∴⋅=ππωωωωωωωπd e e X eXe X e X e Y z X z X z Y n j j j j j j )()(21)()()( )()()( 212121)()()()(2121n x n x n y d e e Y nj j *===⎰-ππωωωπ)0()0( )()( |)()( )()(21 21002102121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*=∴===-∑⎰ππωωωπ⎰-==∙∙∙πωωππωωωωπd e e X n x d e e X n x n j j n j j )(1)( )(21)(2211∴=9解 ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≠⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛--πωπωωωωk N k k N e N j 2 ,,2 ,2s i n 2s i n 21为整数()()2s in 2s in )( 2 ωωπωωN e X k j =≠∴，时当。
和即可得到所需的时，当 )(arg )( 5ωωj j e X e X N =()()[]2s i n 2s i n a r g 21)(a r g ωωωωN N e X j +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=(()(c 由帕塞瓦尔公式可得：∑⎰∞--∞==n n x d eX j 22)(2)(πωππωπ28=)(d ∵∑∞--∞==n nj j e n x e X ωω)()(∴∑∞--∞=-=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()( ()1N2 N2 , 21+<≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=n n n N πωππω即[]ωωd e dX n x jn DTFT j )()()(=-由帕塞瓦尔公式可得：πππωωππω)490256491019(2)(2|)()(|2)(2222=++++++++==-=∑∑⎰∞∞--∞=-∞=n n n x n n x jn d d e dX j11 解：)(a [])()(ωj e X n x DTFT -=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT --=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT -=--ωωωωc o s)(2 ]()]([1j j j eX e e X n x DTFT --=+=)()]([ )(ωj e X n x DTFT b **=-)](Re[ 2)()()([*2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+=因而： (c) ∑∞-∞=-=n nj j en x e X ωω)()(则∑∞-∞=--=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()(而 ==12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 )1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y(a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应；(c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。