2．若关于 x, y 的方程组 ⎨有无数多组解，则实数 a = _________． 4 x + ay - 2 = 05．若函数 f ( x ) = ⎨a x + 1 ( x ≥ 0)是 6．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 1，则目标函数 z = -2 x + y 的最小值为． ⎪ y ≤ 2， ⎪ n=⎨ 1 若⎪ b ⎩ n黄浦区 2017 年高考模拟考数 学 试卷 2017 年 4 月（完卷时间：120 分钟满分：150 分）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 1~6 题每题满分 4 分，第 7~12 题每题满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．函数 y = 2x - x 2 的定义域是．⎧ ax + y - 1 = 0， ⎩3．若“ x 2 - 2x - 3 > 0 ”是“ x < a ”的必要不充分条件，则 a 的最大值为．4．已知复数 z = 3 + 4i ， z = t + i (其中 i 为虚数单位)，且 z ⋅ z 是实数，则实数 t 等于．12 1 2⎧- x + 3a ( x < 0), ⎩ (a >0,且 a ≠1) R 上的减函数，则 a 的取值范围是．⎧ x + y ≥ 2，⎪ ⎩7. 已知圆 C : ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 和两点 A(-m , 0), B(m , 0)( m > 0) ，若圆 C 上至少存在一点 P ，使得 ∠APB = 90︒ ，则 m 的取值范围是．π π8.已知向量 a = (cos( + α ), 1) ， b = (1, 4) ，如果 a ∥ b ，那么 cos( - 2α ) 的值为．3 39．若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是．π 10．若将函数 f ( x ) = | sin(ωx - ) | (ω > 0) 的图像向左平移 8π 12个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω 的最小值是．11．三棱锥 P - ABC 满足： AB ⊥ AC ， AB ⊥ AP ， AB = 2 ， AP + AC = 4 ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是．（第 11 题图）12．对于数列{a } ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有 an是以 T 为n +T= a 成立，则称数列{a }n n周期的周期数列．设b = m (0 < m < 1) ，对任意正整数 n 都有 b 1n +1 ⎧b - 1 (b > 1)，n (0 < b ≤ 1)， n数列 {b }n是以 5 为周期的周期数列，则 m 的值可以是．(只要求填写满足条件的一个 m 值即可)二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．π π13．下列函数中，周期为 ，且在 [ π ， ]上为减函数的是（） 4 2π πA ．y=sin(2x + )B ．y = cos(2x + )2 2 π πC ．y=sin(x + )D ．y = cos(x + )2 214．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A ． 9πB ．10πC ．11πD ．12π15．已知双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍，则其渐近线方程为（ ）A ． 2x ± y = 0B ． x ± 2 y = 0C ． 4 x ± 3 y = 0D ． 3x ± 4 y = 016．如图所示， ∠BAC = 2π，圆 M 与 AB, AC 分别相切于点 D, E ，3AD = 1 ，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AP = x AD + y AE( x , y ∈ R) ，则 x + y 的取值范围是（）A ． [1,4 + 2 3]B ． [4 - 2 3,4 + 2 3]C ． [1,2 + 3]D ． [2 - 3,2 + 3]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分．）解答下列各题必须在答题 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．如图，在直棱柱 ABC - A B C 中， AA = AB = AC = 2 ， AB ⊥ AC ， D ,E ,F 分别是 1 1 11A B , CC , BC 的中点．1 11（1）求证： AE ⊥ DF ；（2）求 AE 与平面 DEF 所成角的大小及点 A 到平面 DEF 的距离．1 1n f ( p ) + f ( p ) +18．（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分．在 ∆ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b , c ，且 b cos C , a cos A, c cos B 成等差数列．（1）求角 A 的大小；（2）若 a = 3 2 ， b + c = 6 ，求 AB + AC 的值．19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分．如果一条信息有 （n > 1,n ∈ N) 种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生 的 概 率 分 别 为 p , p ,, p ， 则 称 H = f ( p ) （ 其 中12n12nf ( x ) = - x log x, x ∈ (0,1) ）为该条信息的信息熵．已知 f ( ) = ．a 2 2（1）若某班共有 32 名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有 n 位选手（分别记为 A , A ,12, A ）参加，若当k = 1,2, , n - 1 时，选手nA 获得冠军的概率为 2 -k ，求“谁获得冠军”的信息熵 H 关于 n 的表达式．k20．（本题满分 16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分．设椭圆 M : x 2 y 2+ a 2 b 2 1 1 = 1(a > b > 0) 的左顶点为 A 、中心为 O ，若椭圆 M 过点 P(- , ) ，2 2且 AP ⊥ PO ．（1）求椭圆 M 的方程；（△2）若 APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求△APQ 面积的最大值；（3）过点 A 作两条斜率分别为 k , k 的直线交椭圆 M 于 D, E 两点，且k k = 1 ，求证：直线12 1 2DE 恒过一个定点．yx； 5. [ ，1)； 6.-4 ； 7. [3，7] ； 8. ；9. ；10. ； 11. (0, ] ；12. 5 - 2 （或xy故由 ⎨解得 ⎨ 故 n = (-2,3,1) ．…………9 分 ⎪⎩n ⋅ EF = x + y - 1 = 0,y = 3, 设 AE 与平面 DEF 所成角为θ ，则 sin θ = ，…………12 分 ⎪21．（本题满分 18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．若函数 f ( x ) 满足:对于任意正数 s, t ，都有 f (s) > 0, f (t ) > 0 ，且 f (s) + f (t ) < f (s + t ) ，则称函数 f ( x ) 为“L 函数”．1（1）试判断函数 f ( x ) = x 2 与 f ( x ) = x 2是否是“L 函数”；12（2）若函数 g ( x ) = 3x - 1 + a(3- x - 1) 为“L 函数”，求实数 a 的取值范围；（3）若函数 f ( x ) 为“L 函数”，且 f (1)= 1，求证：对任意 x ∈ (2k -1,2 k )(k ∈ N*) ，都有1f ( x ) - f ( ) >x x 2 - ． 2 x高三数学参考答案与评分标准一、填空题：（1~6 题每题 4 分；7~12 题每题 5 分）1. [0，2] ；2. 2 ；3. -1；4.3 42 37 3 3 4 3 - 18 7 2 3 2二、选择题：（每题 5 分）13.A14.D15. C 16.B三、解答题：（共 76 分）17．解：（1）以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴、 AC 为 y 轴、 AA 1，或 3 - 1）． 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系．由题意可知 A(0,0,0), D(0,1,2), E(-2,0,1), F (-1,1,0) ，故 AE = (-2,0,1), DF = (-1,0, -2) ，…………………4 分由 AE ⋅ DF = -2 ⨯ (-1) + 1⨯ (-2) = 0 ，可知 AE ⊥ DF ，即 AE ⊥ DF ．…………………6 分 （2）设 n = ( x , y ,1) 是平面 DEF 的一个法向量，又 DF = (-1,0, -2)，EF = (1,1,-1) ，zO⎧ n ⋅ DF = - x - 2 = 0, ⎧ x = -2, ⎩ | n ⋅ AE | 5 70= =| n | ⋅ | AE | 14 ⋅ 5 1432 （2） A 获得冠军的概率为1 -( + +1 1 2 2n -1 所以 AE 与平面 DEF 所成角为 arcsin70 14，5点 A 到平面 DEF 的距离为 AE ⋅ sin θ = 14 ．…………………14 分1418．解：（1）由 b cos C , a cos A, c c os B 成等差数列，可得 b c osC +c c osB = 2a c os A ，…………………2 分故 sin B c osC + s inC cos B = 2sin Acos A ，所以 sin( B +C) = 2sin Acos A ，………4 分 又 A + B + C = π ，所以 sin(B + C) = sin A ，故 sin A = 2sin Acos A ，又由 A ∈ (0, π) ，可知 sin A ≠ 0 ，故 cos A =（另法：利用 b cos C +c cos B = a 求解）1 π，所以 A = ． …………………6 分 2 3（△2）在 ABC 中，由余弦定理得 b 2+ c 2- 2bc c osπ3 = (3 2) 2 ， …………………8 分即 b 2 + c 2 - bc = 18 ，故 (b + c)2 - 3bc = 18 ，又 b + c = 6 ，故 bc = 6 ，………………10 分所以 AB + AC 2= ( AB + AC )2 = AB 2 + AC 2 + 2 A B ⋅ AC=| AB |2 + | AC |2 +2 | AB | ⋅ | AC | cos A …………………12 分= c 2 + b 2 + bc = (b + c)2 - bc = 30 ，故 AB + AC = 30 ．…………………14 分1 19．解：（1）由 f ( ) =2 1 1 1 1，可得 - log = ，解之得 a = 2 . …………………2 分2 2 a 2 21由 32 种情形等可能，故 P = (k = 1,2, ,32) ， ……………………4 分k1 1所以 H = 32 ⨯ (- log 32 2 32) = 5 ，答：“谁被选中”的信息熵为 5 ．……………………6 分n 2 4 + 1 1 1 ) = 1 - (1- ) =2n -1 2n -1 2n -1，……………8 分 当 k = 1,2, , n -1时， f ( p ) = -2-k log 2-k = k 2 k n - 1 ，又 f ( p ) =k n n -1，1 2 3 n - 1 n - 1故 H = + + + + +2 4 8 2 2n -1，……………………11 分1 12 n - 2 n - 1 n - 1H = + + + + +2 4 8 2n -1 2n 2n，1 1 1 1 1 1 4以上两式相减，可得 H = + + + + = 1 - ，故 H = 2 - 2 2 4 8 2n -1 2n -1 2n，答：“谁获得冠军”的信息熵为 2 - 4 2n．……………………14 分20．解：（1）由 AP ⊥ OP ，可知 k 1 1AP ⋅ k OP= -1 ，又 A 点坐标为 (-a,0), 故 2 ⋅ 2 = -1 ，可得 a = 1 ， ……………………………2 分1 1 - +a -2 21 1⨯ = 1 2 3 6 = 2k π (k ∈ Z) ，即 θ = 2k π -3k 2 + 1 1 + 3k 2 1 1 + 3k 2 1 + 3k 21 + 3k2 1 + 3k 2 k=E k 2 + 3 k 2 + 3 x - x k 2 - 3 1 - 3k 3(k 2 + 1) - 1 2k 2 1 11 1 1因为椭圆 M 过 P 点，故 + = 1 ，可得 b 2 = ，4 4b 2 3所以椭圆 M 的方程为 x 2 + y 2 1 3= 1 ． ……………………………4 分（2）AP 的方程为 y - 0 x + 1 =- 0 - + 1 2 2，即 x - y + 1 = 0 ，3由于 Q 是椭圆 M 上的点，故可设 Q (cos θ , sin θ ) ，……………………………6 分3所以 S 1 2 ∆APQ = 2 2⨯cos θ - 3 sin θ + 1 3 2 ……………………………8 分πcos(θ + ) + 1 4 3 6当 θ + ππ 6 (k ∈ Z) 时， S∆APQ取最大值．故 S1+ ．……………………………10 分 6 4法二：由图形可知，若S∆APQ取得最大值，则椭圆在点 Q 处的切线 l 必平行于 AP ，且在直线AP 的下方．…………………………6 分设 l 方程为 y = x + t (t < 0) ，代入椭圆 M 方程可得 4x 2 + 6tx + 3t 2 - 1 = 0 ，由 ∆ = 0 ，可得 t = ± 2 3 2 3，又 t < 0 ，故 t = - ．…………………………8 分3 3所以 S ∆APQ 1 2 |1 - t | 3 1 的最大值 = ⋅ ⋅ = + ．……………………………10 分2 2 2 6 4（3）直线 AD 方程为 y = k ( x + 1) ，代入 x 2 + 3 y 2 = 1 ，可得13k 2 - 1(3k 2 + 1)x 2 + 6k 2 x + 3k 2 - 1 = 0 ， x ⋅ x = 1 ，1 1 1 A D 11 - 3k2 1 - 3k 2 2k又 x = -1，故 x = ， y = k ( 1 + 1) = 1 ， ………………12 分A D D 1 1 11 - 3k2 1同理可得 x = ， y = 2 ，又 k k = 1 且 k ≠ k ，可得 k = 且 k ≠ ±1 ，E E 1 2 1 2 2 1 2 2 12k 2k 1 -1 k2 -3 2k y - y k 2 + 3 1 + 3k 2 2k所以 x = 1 ， y = 1 ， k D = 1 1 = 1 ，E E 2 1 1 E D 1 1 1 k 2 + 3 1 + 3k 2 112k 2k 1 - 3k 2直线 DE 的方程为 y - 1 = ( x -1 ) ，………………14 分 1 + 3k2 3(k 2 + 1) 1 + 3k 21 1 11 - 3k2 3(k 2 + 1)令 y = 0 ，可得 x = 1 - = -2 ．1 + 3k2 1 + 3k 211故直线 DE 过定点 (-2,0) ． ………………16 分x + 1 x + 1 1 - x 2 3 y2 3E D D t 2 + 3 t 2 + 3D E t t 1]（法二）若 DE 垂直于 y 轴，则 x = - x , y = y ，ED EDy y y 2 y2 1此时 k k = D ⋅ = == 与题设矛盾． 1 2 DEDD若 DE 不垂直于 y 轴，可设 DE 的方程为 x = ty +s ，将其代入 x 2 + 3 y 2 = 1 ，可得 (t 2 + 3) y 2 + 2tsy + s 2 - 1 = 0 ，可得 y + y = D E -2ts s 2 - 1, y ⋅ y =D E，………12 分又 k k = 1 2 y y y yD ⋅E = = 1 ，x + 1 x + 1 (ty + s + 1)(ty + s + 1)D E D E可得 (t 2 - 1)y y + t (s + 1)(y + y ) + (s + 1)2 = 0 ，………………14 分D E D Es 2 - 1 -2ts 故 (t 2 - 1) + t (s + 1) + (s + 1)2 = 0 ，t 2 + 3 t 2 + 3可得 s = -2 或 -1，又 DE 不过 A 点，即 s ≠ -1 ，故 s = -2 ．所以 DE 的方程为 x = ty - 2 ，故直线 DE 过定点 (-2,0) ．………………16 分21．解：（1）对于函数 f ( x ) = x 2 ，当 t > 0, s > 0 时， f (t ) = t 2 > 0, f (s) = s 2 > 0 ， 111又 f (t ) + f (s) - f (t + s) = t 2 + s 2 - (t + s)2 = -2ts < 0 ，所以 f (s) + f (t) < f (s + t) ，1 111 1 1故 f ( x ) = x 2 是“L 函数”.………………2 分1对于函数 f ( x ) = 2x ，当 t = s = 1 时， f (t ) + f (s) = 2 > 2 = f (t + s) ，2 2 2故 f ( x ) = 2x 不是“L 函数”. ………………4 分（2）当 t > 0, s > 0 时，由 g ( x ) = 3x - 1 + a(3- x - 1) 是“L 函数”，可知 g (t ) = 3t - 1 + a(3-t - 1) > 0 ，即 (3t - 1)(3 - a) > 0 对一切正数 t 恒成立，又 3t - 1 > 0 ，可得 a < 3t 对一切正数 t 恒成立，所以 a ≤ 1 ．………………6 分由 g (t ) + g (s) < g (t + s) ，可得 3s +t - 3s - 3t + 1 + a(3-s -t - 3-s - 3-t + 1) > 0 ，故 (3s - 1)(3 - 1)(3s +t +a) > 0 ，又 (3t - 1)(3s - 1) > 0 ，故 3s +t +a > 0 ， 由 3s +t +a > 0 对一切正数 s, t 恒成立，可得 a + 1 ≥ 0 ，即 a ≥ -1 ．………………9 分 综上可知，a 的取值范围是 [-1， ．………………………10 分 （3）由函数 f ( x ) 为“L 函数”， 可知对于任意正数 s, t ，都有 f (s) > 0, f (t ) > 0 ，且 f (s) + f (t ) < f (s + t ) ，令 s = t ，可知 f (2s) > 2 f (s) ，即故对于正整数 k 与正数 s ，都有f (2 s ) f (s)> 2 ，………………………12 分f (2 k s) f (2 k s) f (2 k -1 s) = ⋅ ⋅ f (s) f (2 k -1 s) f (2 k -2 s)⋅f (2 s ) f (s) > 2k，………………………………14 分 1对任意 x ∈ (2k -1,2 k )(k ∈ N*) ，可得 ∈ (2-k ,21-k ) ，又 f (1)= 1 ，x2k x所以 f ( x ) > f ( x - 2k -1 ) + f (2k -1 ) > f (2k -1 ) ≥ 2k -1 f (1) = > ，…………………16 分2 21 1 2同理 f ( ) < f (21-k ) - f (21-k - ) < f (21-k ) ≤ 21-k f (1)= 21-k < ，x x x1 x 2故 f ( x ) - f ( ) > - ．……………………………18 分x 2 x。