专题 求函数值域的常用方法及值域的应用三、值域的概念和常见函数的值域 ........................................................................................ - 1 - 四、求函数值域（最值）的常用方法 ..................................................................................... - 1 -4.1.直接法 ................................................................................................................. - 1 - 4.2配方法 .................................................................................................................. - 2 - 4.3换元法 .................................................................................................................. - 3 - 4.4基本不等式法 ........................................................................................................ - 4 - 4.5函数的单调性（导数）法 ......................................................................................... - 5 - 4.6数形结合法 ........................................................................................................... - 7 - 4.7函数的有界性法 ..................................................................................................... - 8 - 4.8分离常数法 ........................................................................................................... - 9 - 4.8 三角函数中的值域问题 ......................................................................................... - 10 - 五、高考真题汇编 ............................................................................................................ - 11 -三、值域的概念和常见函数的值域1、定义：函数值y 的取值围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.， 反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.四、求函数值域（最值）的常用方法 4.1.直接法从自变量x 的围出发，推出()y f x =的取值围。

或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。

例：求函数2xy =，[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例：求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦例 求函数216x y -=的值域。

解析：161602≤-≤x Θ， 41602≤-≤∴x故 所求函数的值域为 []40，∈y 。

练习1、求函数()1y x =≥的值域。

)+∞2、求函数y = [)1,+∞3、求函数1y =的值域。

4、（2013理）y =()63a -≤≤的最大值为( )A.9B.92C.3 【答案】B 4.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

解：2242(2)6y x x x =-++=--+，∵[1,1]x ∈-，∴2[3,1]x -∈--，∴21(2)9x ≤-≤∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例2：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =值域为[]0,2.4.3换元法利用代数换元，将所给函数转换成易求值域的函数， 形如()1y f x =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数t =；[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例1.求下列一元二次函数的值域： ;,32)1(24R x x x y ∈+-=.4sin 2cos )3(];2,1[,324)2(21+--=∈+-=+x x y x y x x解析： 例}{;2|.2),,0[1)0(,32.0,,)4(22≥≥∴+∞∈=≥+-=⇔∴≥∴∈=y y y t t t t y t R x x t 即原函数的值域为：对称轴方程又原函数令ΘΘ}{;113|],4,2[13].4,2[,32].4,2[],2,1[,2)5(2≤≤∴∉=∈+-=⇔∴∈∴∈=y y t t t t y t x t x 该函数值域为：对称轴）同理，与题（原函数令ΘΘ}{.62|],1,1[12].1,1[,32],1,1[sin .3sin 2sin 4sin 2)sin 1()6(222≤≤∴-∈=-∈+-=⇔∴-∈=+-=+---=y y t t t t y x t x x x x y 该函数值域为：对称轴）类似，与题（原函数令原函数变形为Θ例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.练习（1）求函数2y x =+ （2） 求函数的值域。

答案（1）令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。

∴函数2y x =+5(,]4-∞。

（2）令，则，（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以 （2）当t=0时，y=0。

综上所述，函数的值域为： 4.4基本不等式法利用a b +≥，应满足三个条件①0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例1 求函数12++=x x y 的值域.解答:211112≥++==+++x x x x y , 当且仅当1=x 时""=成立. 故函数的值域为),2[+∞∈y .例2 求函数1222+++=x x x y 的值域.分析: 用基本不等式，关键是凑出有倒数关系的两个数之和的形式，本题目标就是在分子中分解出)"1("+x 项来, 可运用的方法是（1）待定系数法：设: 22))(1(2++=+++x x c b x x , 将左边展开是)()1(2c b x b x ++++,故而21=+b , 2=+c b . 解得1=b , 1=c . 从而原函数1111)1)(1()1(+++++++==x x x x x y ;（2）换元法：设t x =+1，则原式化为tt t f 1)(+= 接下类怎么办？因为1+x 的符号不确定，因此需要分类讨论： ⅰ)当1->x 时, 01>+x ,011>+x , 此时2≥y , 等号成立, 当且仅当0=x .ⅱ)当1-<x 时, 0)1(>+-x , 011>-+x , 此时有211)1(11)1(11)1)(1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=++++=x x x x x x x y , 等号成立, 当且仅当2-=x .综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞⋃--∞∈y .例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=> ⎪-⎝⎭.解：11,022x t x >∴=->Q ，则原函数化为112()2f t t t =++12t t ∴+≥=，当且仅当12t t=时，即12x +=时等号成立，12y ∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 1．（2012年春）函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______.4.5函数的单调性（导数）法利用导数求值域（最值）是求函数值域的基本方法，务必掌握例如，()()0,0bf x ax a b x=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题.例．求函数x x y 1+=在区间()+∞∈,4x 上的值域。

分析与解答：011'2>-=x y ，所以该函数在此区间上单调递增于是：函数xx y 1+=在区间()+∞∈,4x 上的值域为),417[+∞。