0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
南京邮电大学、应用数理系
数理方程
2V V(t02 ,
t)
a2 2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)

V
(x,
0)

0,

t
0 x l,t 0, t 0, 0 x l,
方程为双曲型 方程为抛物型
a122 a11a22 0
方程为椭圆型
南京邮电大学、应用数理系
行波法
数理方程
一、行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
1 [(x at) (x at)] 1
(
x)

A sin
(2n 1)
2l
x,
n 0,1, 2,
ux x0 0
u 0 xl


2n 2l
1
2
,
X
n
(
x)

Acos (2n 1)
2l
x,
南京邮电大学、应用数理系
n 0,1, 2,
波动方程：
utt a2uxx 0
X ''(x) X (x) 0 T ''(t) a2T (t) 0
u u
x x
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)


wx wx
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）： X '' X 0
数理方程
u u
x0 xl
0

0


n
l
2

, Xn (x)

A sin
n
l
x,
n 1, 2,
ux ux
x0 xl
0
0



n
l
2

, Xn (x)

A cos
n
l
x,
n 0,1, 2,
u 0
x0

ux xl 0
2n 12l Nhomakorabea2
,
X
n
2W Wt(20,
t)
a2
2W x2
W (l,t
)

0,
W
(x,
0)


(
x),
W
(
x,
0)

(
x)

t
2V V(t02 ,
t)
a2
2V x2
V (l,t
f (x, ) 0,
t
),
V
(x, 0)

V
(x, 0)
南京邮电大学、应用数理系
r2R '' rR ' R 0 '' 0
n n2, n 0,1,2,3,
n An cos n Bn sin n
数理方程
r 2R'' rR' R 0,
R(0) . 若研究区域包括圆心，必须考虑该自然边界条件。
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数理方程
（2）、二维拉普拉斯方程的基本解.
v ln 1 r
(r x x0 2 y y0 2 )
使用镜像法求上半空间内的格林函数
u
(M
0
)


u
G n
ds
在狄利克雷问题中
u u
0 , (x, y, z) f (x, y, z)
G
u(M0 ) f (x, y, z) n dS
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数理方程
GM,M0
1
4
1 rM0M
1 rM1M

为上半空间 z 0 的格林函数.
G n
|


G z
| ,
z
rMM 0
Mp
M0 q
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数理方程
求解非齐次方程—特征函数法
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
u(l,t
f (x, ) 0,
t
),

u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),

t
u(x,t) V (x,t) W (x,t)
0 x l,t 0 t 0 0 xl
当=0时，R0 c0 d0 ln r, 当 =n2时, Rn cnr n dnr n
满足有界性条件 R(0) . 的通解为：
Rn cnr n n 0, 1, 2 , , dn 0, n 0,1, 2
在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两 边的系数，达到化简叠加系数的目的.
两个方向传播出去，波速为 a ，也即 :
f1(x at) 以速度 a 沿 x 负方向移动的行波 f2 (x at) 以速度 a 沿 x 正方向移动的行波
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数理方程 三维达朗贝尔公式物理意义： （1）空间任一点M在任意时刻t>0的状态完全由以该点为心， at为半径的球面上 初始状态决定；（2）三维空间的局部有 界域内的初始扰动导致空间各点在有限时段受扰，无持续后效； （3）三维空间局部初始扰动的传播有清晰的波前与波后。
定解问题或简称为定解问题。 南京邮电大学、应用数理系
三类基本方程在直角坐标系中的表示
一、 波动方程
utt a22u a2 (uxx uyy uzz )
二、热传导方程
ut a22u a2 (uxx uyy uzz )
三、拉普拉斯方程
2u 0 即uxx uyy uzz =0
x at
( )d
2
2a xat
u t0 (x)

ut t0 (x)
——达朗贝尔公式
( x )
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数理方程
u(x,t) f1(x at) f2 (x at)
通解的物理意义： 对无限长的弦的自由振动、无限长杆的自由纵振动、无限长理想 传输线上电流和电压变化而言，任意扰动总是以行波的形式分为
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数理方程
数学物理方程的分类
1、线性二阶偏微分方程的一般形式
a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f
f 0 该方程为齐次的 f 0 该方程为非齐次的
a122 a11a22 0 a122 a11a22 0
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数理方程
数理方程 定解问题＝泛定方程+定解条件 定解问题的适定性：解的存在性、解的唯一性和解的稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。
边界条件确定本征值和本征函数 初始条件确定级数叠加系数 要求掌握三类边界条件的常见例子（见第一章课件， 如边界吸热，放热，绝热，边界不受外力，自由冷却 等）以及初始条件的表述方法。
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解题步骤:
数理方程
写出定解问题
边界是否齐次 N 边界齐次化
Y
写出本征值、本征函数、待求 物理量的傅立叶级数展开式
方程非齐次项和初值条件的级 数展开
代入原泛定方程得到另一变量的微分方程和初值 写出解的表达式和系数
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数理方程
边界齐次化（考点）u(x,t) v(x,t) w(x,t)
u(0, t ) u(l , t )
1(t) 2 (t)

w(x,t) A(t)x
w(0,t) 1(t) w(l,t) 2 (t)

B(t
)
w(x,t) A(t)x B(t)
u(0,t) 1(t) ux (l,t) 2 (t)

三、傅里叶级数
f
(x)

a0

n1
(an
cos
nx
l

bn
sin
nx
l
)
a0

1 2l
l
f (x)dx
l
ak
1 l
l l
f (x) cos nxdx,
l
1l
nx
bk
l
f (x)sin
l
l
dx
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k 0
复数形式的傅里叶变换
F () f (x)eixdx
数理方程
拉普拉斯方程：
1、矩形区域：
uxx uyy 0
X X 0
Y Y 0
n y
n y
Yn Cne a Dne a
2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）：
2u 1 u 1 2u 0
r2 r r r 2 2 ''( ) ( ) 0, ( ) ( 2 ),
f (x) 1 F ()eixd
2
傅里叶变换式 傅里叶逆变换式
数理方程
南京邮电大学、应用数理系
分离变量(傅立叶级数)法
数理方程
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分 方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。