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定解问题求解之一—行波法
无界一维波动问题
utt a 2u xx 0 u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
的特殊求解——达朗贝尔公式
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
utt a2u f (M , t ) 属于双曲型
ut a2u f (M , t ) 属于抛物型
属于椭圆型
2 a12 a11a12 0
－稳态方程 u f ( M , t )
判定依据
双曲型 2 a12 a11a12 0 抛物型 2 a12 a11a12 0 椭圆型
第二篇 数学物理方程
•1
基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法 定解问题求解之分离变量法 定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
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数理方程基本知识
数学物理方程主要是指数学物理所涉及的偏微分 方程，有时也包括相关的积分方程、微分积分方 程，或者说物理规律用数学语言描述出来的偏微 分方程就是数学物理方程。 数学物理方程研究一些物理量在某些特定条件下 按照物理规律变化的情况。这些物理量所满足的
t 0 t 0
泛定方程的齐次与非齐次；边界条件的类型；是否有初 始条件； 可用的方法：行波法(达朗贝尔公式)，分离变量法+傅 里叶级数法+冲量定理法+叠加原理，Green函数(+冲量 定理)，积分变换法；
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基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
Deu ( x, y, z ) u x ( x0 , y0 , z0 ) cos u y ( x0 , y0 , z0 ) cos u z ( x0 , y0 , z0 ) cos
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数理方程基本知识
梯度
Deu ( x, y, z ) gardu e u u u gardu i j k x y z
沿方向 e cos ,cos ,cos 方向导数，记作
u( x, y, z; t ) 沿射线
y y0 cos
Deu( x, y, z)
如同一元函数导数反应的是函数变化率一样，方向导 数反应的是数量场在点 ( x0 , y0 , z0 ) 出沿方向e对距离的 变化率。
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泛定方程的建立
16
泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－扩散方程结合高斯定律
q Du q ku
－热传导定律结合高斯定律
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泛定方程的建立
从物理角度看三大类泛定方程
－波动方程(描述波的传播、杆振动、电路中电流传播等物 理现象的泛定方程)
utt a2u f (M , t ) 其中齐次情况下f(M,t)=0
gradu称为数量场u的梯度，它的方向与u在M点上升的 最快的方向同向
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数理方程基本知识
发散量
对于一般的矢量场 a
散度
和封闭曲面 ，我们称 a
向着
的外法矢量 n 方向流过 的流量为发散量 ad s

单位体积的发散量在点M0处的极限称为矢量场在点M0
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定解问题求解之三—Green函数法
定解问题转化为格林函数的定解形式
泊松方程的基本积分公式
各类边值条件下格林函数解的形式
－第一类边值问题的积分表示式
或者两者皆有(视偏微分方程中对时间变量求导的阶数而定) 注：1.初始条件描述物理量的状态为整个系统并非单个点; 2.稳定场问题没有初始状态；
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定解条件的确定
边界条件
边界上物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值也可以线性组合，具体分为三种边界条件： 第一类 第二类
物理规律具有共性,它反映的是同一类物理现象的
共同规律。物理量受某些特定条件约束，所产生
的物理问题又各具有自身的特殊性，即个性。
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数理方程基本知识
具有共性的物理规律可以用偏微分方程的形式描述
，这些方程在不附加个性条件的情况下称为泛定方
程。 约束物理量的特定条件可以使符合共性物理规律的 物理量确定，或者说，也能够使满足泛定方程的解 确定下来，这些特定条件都可以称为定解条件。我 们研究数理方程的目的就是为了确定方程的解，进 而研究特定条件下物理量确定值或变化情况。
u (r , t ) f ( M , t )

狄里希利问题
u 诺依曼问题 f (M , t ) n u 第三类 u (r , t ) f (M , t ) n
注：边界问题同样需要与阶数相同的条件个数来确定解
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定解问题的形成及分析
utt a 2 u F (M, t) u u (r , t ) f (M , t ) n u (r , t ) (M), ut (r , t ) (M)
d 2w dw p( z ) q( z ) w 0 2 dz dz w( z0 ) C0 , w( z0 ) C1
常点和奇点的定义及判别
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基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
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a11uxx 2a12uxy a22uyy b1ux b2uy cu f 0
定解条件的确定
初始条件
t=0时刻物理量的状况，数学上可以是物理量本身的值
u( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
也可以是对时间变量的导数
ut ( x, y, z) t 0 ( x, y, z)
齐次泛定方程，非齐次边界条件定解问题
utt a 2u xx 0 u x 0 (t ), u x l (t )(0 x l ) u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－构建函数取 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) ，利用构建的函数
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数理方程基本知识
－劈形算符符合矢量运算
2 2 2 = 2 2 2 x y z
－Laplace算符 2 2 2 = 2 2 2 x y z
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数理方程基本知识
场的概念
物理量在空间或一部分空间上的分布就称为场
数量场和矢量场
如果描写场的量是数量函数，也就是没有方向性
－确定泛定方程解的傅里叶级数形式(通过齐次方程分离变
量推导)，保证基函数不变，系数改变，
u ( x, t ) Tn (t ) X n ( x)
n 1

通过分离变量确定
－回代非齐次方程利用待定系数法求解关于 Tn (t ) 的级数解
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定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案二)
－求解思路(具有变量分离形式的试探解 u X ( x)T (t ) )
－回代入方程探讨关于x的特征值及特征函数
u t 0 ( x), ut
t 0
( x)
－根据边界条件确定特征值及特征函数
－傅里叶级数确定含时间函数级数形式的系数

n at n at n x u ( x, t ) ( An cos Bn sin )sin l l l n 1
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数理方程基本知识
我们研究的这些定解条件或者约束物理量的特定条 件大体可以分为两大类，一类关乎于环境对物理量 发展过程的约束，这类约束主要体现于物理环境周 围边界的物理状况，即边界条件。另一类关乎于物 理量发展的历史状况，或者说这个物理量之前是什 么样的，这类约束主要体现于时间上我们人为定义
从何时开始针对于物理量的研究，或者说这个物理
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定解问题求解之二—分离变量法
非齐次泛定方程，齐次边界条件定解问题(方案一)
utt a 2uxx F ( M , t ) u t 0 ( x), ut u x 0 0, u x l 0(0 x l )
t 0
( x)
－结合分离变量法与傅里叶级数法
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基本知识
定解问题的确立及分析
定解问题求解之行波法
定解问题求解之分离变量法
定解问题求解之Green函数法 定解问题求解之积分变换法
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泛定方程的建立
如何获得给出问题的泛定方程？
－将各类不均匀的非线性的物理问题以微分转化为均匀的
线性的符合已知物理规律的问题； 例如：线的振荡问题通过分析线元受力获得； 杆的纵振动通过分析杆微元受力获得； 浓度扩散通过分析微小均匀体积内的扩散获得； 温度扩散通过分析微小均匀体积内温度获得
，只有大小之分，这个场就是数量场，如温度场 ，压力场；如果描写场的量是矢量函数就称这个 场为矢量场，如速度场、电磁场、引力场
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数理方程基本知识
场的表示
除用点的函数来描写场的物理、力学性质外，常在
场中按一定规则绘出曲面或曲线来表示场中物理量 分布； 数量场 矢量场 分量
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u u( x, y, z; t )
A P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
其中A中各个分量代表了场矢量在x,y,z三个方向的
数理方程基本知识
方向导数 数量场函数 u
x x0 cos
z z0 cos 的差商的极限存在，则称此极限为数量场在点 ( x0 , y0 , z0 )