习题及参考答案5.1 一个点电荷 Q 与无穷大导体平面相距为d ，如果把它移动到无穷远处，需要作多少功？解：用镜像法计算。

导体面上的感应电荷的影响用镜像电荷来代替，镜像电荷的大小为-Q ，位于和原电荷对称的位置。

当电荷Q 离导体板的距离为x 时，电荷Q 受到的静电力为 2)2(042x Q F επ-=静电力为引力，要将其移动到无穷远处，必须加一个和静电力相反的外力2)2(042x Q f επ=在移动过程中，外力f 所作的功为d Q d dx dx Q dx f 016220162επεπ=⎰∞⎰∞= 当用外力将电荷Q 移动到无穷远处时，同时也要将镜像电荷移动到无穷远处，所以，在整个过程中，外力作的总功为dq8/2επ。

也可以用静电能计算。

在移动以前，系统的静电能等于两个点电荷之间的相互作用能：d Q d Q Q d Q Q q q W 082)2(04)(21)2(042122211121επεπεπϕϕ-=-+-=+= 移动点电荷Q 到无穷远处以后，系统的静电能为零。

因此，在这个过程中，外力作功等于系统静电能的增量，即外力作功为dq8/2επ。

5．2 一个点电荷放在直角导体部（如图5-1），求出所有镜像电荷的位置和大小。

解：需要加三个镜像电荷代替 导体面上的感应电荷。

在（-a ，d ） 处，镜像电荷为-q ，在（错误！无效。

镜像电荷为q ，在（a ，-d ）处，镜像电荷为-q 。

5．3 证明：一个点电荷q 和一个带有电 荷Q 、半径为R 的导体球之间的作用力为 ]2)22(2[04R D DRq D D qR Q q F--+=επ 其中D 是q 到球心的距离（D ＞R ）。

证明：使用镜像法分析。

由于导体球不接地，本身又带电Q ，必须在导体球加上两个镜像电荷来等效导体球对球外的影响。

在距离球心b=R 2/D 处，镜像电荷为q ＇= -Rq/D ；在球心处，镜像电荷为D Rq Q q Q q /2+='-=。

点电荷q 受导体球的作用力就等于球两个镜像电荷对q 的作用力，即]2)2(2[04]2)(22[04DR D D q R D D q R Q q b D q D qq F --++=-'+=επεπ]2)22(2[04R D DRqD D q R Q q--+=επ 5．4 两个点电荷+Q 和-Q 位于一个半径为a 的接地导体球的直径的延长线上，分别距离球心D 和-D 。

（1）证明：镜像电荷构成一电偶极子，位于球心，偶极矩为2a 3Q/D 2。

（2）令Q 和D 分别趋于无穷，同时保持Q/D 2不变，计算球外的电场。

解：（1）使用导体球面的镜像法叠加原理分析。

在球应该加上两个镜像电荷：一个是Q 在球面上的镜像电荷，q 1 = -aQ/D ，距离球心b=a 2/D ；第二个是-Q 在球面上的镜像电荷，q 2 = aQ/D ，距离球心b 1=-a 2/D 。

当距离较大时，镜像电荷间的距离很小，等效为一个电偶极子，电偶极矩为232)1(1DQa b b q p --= （2）球外任意点的电场等于四个点电荷产生的电场的叠加。

设+Q 和-Q 位于坐标z 轴上，当Q 和D 分别趋于无穷，同时保持Q/D 2不变时，由+Q 和-Q 在空间产生的电场相当于均匀平板电容器的电场，是一个均匀场。

均匀场的大小为204/2D Q επ，方向在-e z 。

由镜像电荷产生的电场可以由电偶极子的公式计算：）θθθεπsin cos 2(34e r e r P E +=）θθθεπsin cos 2(230432e r e Dr Qa +-=5．5 接地无限大导体平板上有一个半径为a 的半球形突起，在点（0，0，d ）处有一个点电荷q （如图5-5），求导体上方的电位。

解：计算导体上方的电位时，要保持 导体平板部分和半球部分的电位都为 零。

先找平面导体的镜像电荷q 1 = -q ， 位于（0，0，-d ）处。

再找球面镜像 电荷q 2 = -aq/d ，位于（0，0，b ）处， b= a 2/d 。

当叠加这两个镜像电荷和原电荷共同产生的电位时，在导体平面上和 图5-5 球面上都不为零，应当在球再加上一个镜像电荷q 3 =aq/d ，位于（0，0，-b ）处。

这时，三个镜像电荷和原电荷共同产生的电位在导体平面和球面上都为零。

而且三个镜像电荷在要计算的区域以外。

导体上方的电位为四个点电荷的叠加，即）（332211041rq r qr q R q+++=επϕ其中21]2)(22[d z y x R -++=21]2)(22[1d z y x r +++= 21]2)(22[2b z y x r -++= 21]2)(22[3b z y x r +++= 5．6 求截面为矩形的无限长区域（0<x<a ，0<y<b ）的电位，其 四壁的电位为0,0,==）（）（b x x ϕϕ0,0=）（y ϕ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=by b by U b y b yUy a 2),1(020,0,）（ϕ解：由边界条件0,0,==）（）（b x x ϕϕ知，方程的基本解在y 方向应该为周期函数，且仅仅取正弦函数，即 )(sin b n nkynk nY π==在x 方向，考虑到是有限区域，选取双曲正弦和双曲余弦函数，使用边界条件0,0=）（y ϕ，得出仅仅选取双曲正弦函数，即 x b n shnX π=将基本解进行线性组合，得bxn n b x n sh n C ππϕ∑∞==1sin待定常数由x=a 处的边界条件确定，即bxn n b xn sh nC y a ππϕ∑∞==1sin),( 使用正弦函数的正交归一性质，有dy by n b y a b a n sh n C bπϕπ⎰=0sin ),(22]cos sin 2)[(0sin 020b b y n y n b b y n n b b U dy b y n b y U b πππππ-=⎰]2cos 222sin 2)[(0ππππn n b n n b b U-=2]cos sin 2)[(02cos 0sin )21(0b b b y n y n b b y n n b b U b b b y n n bU dy b yn b yb b U πππππππ---=⎰- πππππππn b n b b U n n b b Un n n bU cos 02sin 2)(0)2cos cos 0++--=（2cos20ππn bn b b U-化简以后得dy b y n b y a b an sh n C bπϕπ⎰=0sin ),(2=2sin2202ππn n b U 求出系数，代入电位表达式，得b x n shb y n ba n n n Un πππππϕsin sin2sin22041∑∞== 5．7一个截面如图5-7所示的长槽，向y 方向无限延伸，两则的电位是零，槽y →∞，φ→0，底部的电位为 00,U x =）（ϕ求槽的电位。

解：由于在x=0和x=a 两个边界的 电位为零，故在x 方向选取周期解，且仅仅取正弦函数，即)(sin a n nk xnk n Xπ== 图5-7在y 方向，区域包含无穷远处，故选取指数函数，在y →∞时，电位趋于零，所以选取由基本解的叠加构成电位的表示式为yy n k e nY -= 由基本解的叠加构成电位的表示式为ay n ea x n n n ππϕ-∑∞==sin 1C待定系数由y=0的边界条件确定。

在电位表示式中，令y=0，得a xn n nU πsin 1C 0∑∞==)cos 1(00sin 02πππn n aUdx a xn a U a n C-=⎰= 当n 为奇数时，πn UnC 04=，当n 为偶数时，00=C 。

最后，电位的解为ay n e ax n n U n πππϕ-∑∞==sin45,3,15．7 若上题的底部的电位为00,U x =）（ϕaxπ3sin重新求槽的电位。

解：同上题，在x 方向选取正弦函数，即)(sin an nk x nk nX π==，在y方向选取yn k e nY -=。

由基本解的叠加构成电位的表示式为ay n ea x n n n ππϕ-∑∞==sin 1C将y=0的电位代入，得0U a xπ3sin a xn n nπsin1C ∑∞== 应用正弦级数展开的唯一性，可以得到n=3时，03C C =，其余系数00=C ，所以ay e axππϕ33sin 0U -=5．9 一个矩形导体槽由两部分构成，如图5-9所示，两个导体板的电位分别是U 0和零，求槽的电位。

解：将原问题的电位看成是两个电 位的叠加。

一个电位与平行板电容 器的电位相同（上板电位为U 0，下 板电位为零），另一个电位为U ，即U y a+=Uϕ 图5-9其中，U 满足拉普拉斯方程，其边界条件为 y=0 , U=0 y=a , U=0 x=0时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-=-=20,02,000,0U a y ay U ay a a y U U ay U y ）（ϕx →∞时，电位U 应该趋于零。

U 的形式解为ayφ=U 0a x n e a yn n nU ππ-∑∞==sin 1C待定系数用x=0的条件确定。

=）（y ,0U ay n n n U πsin1C ∑∞==dy ay n a y U n C aπ⎰=0sin ),0(22]cos sin 2)[(0sin 020a a y n y n a a y n n a a Udy a y n a y U aπππππ--=-⎰ ]2cos 222sin 2)([0ππππn n a n n a a U+-=2]cos sin 2)[(02cos 0sin )21(0a a a y n y n a a y n n a a U a a a y n n aU dy a yn a ya a U πππππππ---=⎰- πππππππn a n a a Un n a a Un n n aU cos 02sin 2)(0)2cos cos 0++--=（2cos20ππn an a a U-化简以后，得到dy a y n a y U n C aπ⎰=0sin ),0(2=2cos 0ππn n a U只有偶数项的系数不为零。

将系数求出，代入电位的表达式，得a xn ea y n n n Un y a Uππππϕ-∑∞=+=sin 2cos 02,4,20K5．10 将一个半径为a 的无限长导体管平分成两半，两部分之间互相绝缘，上半(0<Ф<π）接电压U 0，下半（π<Ф<2π）电位为零，如图5-10，求管的电位。