三角函数典型习题
1 ．设锐角ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =.
(Ⅰ)求B 的大小;
(Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围.
2 ．在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22
sin 2sin
=++C
B A . （I ）试判断△AB
C 的形状;
（II ）若△ABC 的周长为16,求面积的最大值.
3 ．已知在ABC ∆中,A B >,且A tan 与B tan 是方程0652
=+-x x 的两个根.
(Ⅰ)求)tan(B A +的值; (Ⅱ)若AB 5=,求BC 的长.
4．在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.2
12
2
2
ac b c a =
-+ (1)求B C
A 2cos 2
sin 2
++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.
5．已知函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，． （1）求)(x f 的最大值和最小值；
（2）2)(<-m x f 在ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
6．在锐角△ABC 中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,已知.3tan )(2
2
2
bc A a c b =
-+
(I)求角A;
(II)若a=2,求△ABC 面积S 的最大值｡
7．已知函数2
()(sin cos )+cos2f x x x x =+.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的最大值,并写出x 相应的取值.
8．在
ABC ∆中,已知内角A ． B ．C 所对的边分别为a 、b 、c ,向量
(
2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,且//m n ｡
(I)求锐角B 的大小;
(II)如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值｡
答案解析
1【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2
B =, 由AB
C ∆为锐角三角形得π6
B =
. (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-
- ⎪6⎝
⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos sin 22A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
2【解析】:I.)4
2sin(22sin 2cos 2sin
2
sin
π
π+=+=+-C C C C C
2
242π
ππ==+∴
C C 即,所以此三角形为直角三角形. II.ab ab b a b a 221622+≥+++=,2
)22(64-≤∴ab 当且仅当b a =时取等号,
此时面积的最大值为()
24632-.
3【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程0652
=+-x x 的两根tan 3,tan 2A B ==. ∴tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++=
-23
1123
+==--⨯
(Ⅱ)∵
180=++C B A ,∴)(180B A C +-=
.
由(Ⅰ)知,1)tan(tan =+-=B A C ,
∵C 为三角形的内角,∴sin C =
∵tan 3A =,A 为三角形的内角,∴sin
A =
, 由正弦定理得:
sin sin AB BC
C A
=
∴
2
BC==
8【解析】:(1) //
m n⇒2sinB(2cos2
B
2-1)=-3cos2B
⇒2sinBcosB=-3cos2B ⇒tan2B=- 3
∵0<2B<π,∴2B=2π
3,∴锐角B=
π
3
(2)由tan2B=- 3 ⇒B=
π
3或
5π
6
①当B=
π
3时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)
∵△ABC的面积S△ABC=1
2acsinB=
3
4ac≤ 3
∴△ABC的面积最大值为 3
②当B=
5π
6时,已知b=2,由余弦定理,得:
4=a2+c2+3ac≥2ac+3ac=(2+3)ac(当且仅当a=c=6-2时等号成立)
∴ac≤4(2-3)
∵△ABC的面积S△ABC=1
2acsinB=
1
4ac≤ 2- 3
∴△ABC的面积最大值为2- 3
4【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=
1
4
2
sin
2
A C
+
+cos2B=
4
1
-
(2)由.
4
15
sin
,
4
1
cos=
=B
B得∵b=2,
a2+c2=
1
2ac+4≥2ac,得ac≤3
8
, S△ABC=
1
2ac si nB≤
3
15
(a=
c时取等号)
故S△ABC的最大值为
3
15
5【解析】（Ⅰ）
π
()1cos221sin22
2
f x x x x x
⎡⎤
⎛⎫
=-+=+
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
∵
π
12sin2
3
x
⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
．
又ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π
2633x -∴≤≤，
即π212sin 233x ⎛⎫
+-
⎪⎝
⎭
≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ42
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，
14m <<∴，即m 的取值范围是(1
4)，． 6【解析】:(I)由已知得2
3
sin 23cos sin 2222A A A bc a c b ⇒=⋅-+
又在锐角△ABC 中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC 中,扣1分] (II)因为a=2,A=60°所以bc A bc S bc c b 4
3
sin 21,42
2
==
+=+ 而42422
2
≤⇒≥+⇒≥+bc bc bc bc c b 又344
3
43sin 21=⨯≤==
bc A bc S 所以△ABC 面积S 的最大值等于3
7【解析】:(Ⅰ)因为222()(sin cos )+cos2sin 2sin cos cos cos2 f x x x x x x x x x =+=+++
1sin2cos2 x x =++ ( ))4
x π+
所以,22
T π
π=
=,即函数()f x 的最小正周期为π
(Ⅱ)因为02
x π
≤≤
,得
524
4
4
x π
π
π
≤+
≤
,所以有sin(2)14x π≤+≤
1)4x π-≤+即01)14x π
≤+≤
所以,函数()f x 的最大值为1 此时,因为524
4
4x π
π
π≤+
≤
,所以,242x ππ+=,即8
x π
=。