肇庆市实验中学2005届高三《三角函数》专题训练三角函数训练(一)-同角三角函数关系1.命题p :α是第二象限角，命题q:α是钝角，则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 2.若角α满足sin αcos α<0,cos α-sin α<0,则α在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.集合M ={x |x =42ππ±k ,k ∈Z }与N ={x |x =4πk ,k ∈Z }之间的关系是( ) A.M N B.N MC.M =ND.M ∩N=∅4.已知下列各角(1)787°,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是( )A.(1)、(2)B.(2)、(3)C.(1)、(3)D.(2)、(4)5.设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于( )A.52B.-52C.51D.-51 6.若cos(π+α)=-23,21π<α<2π,则sin(2π-α)等于( )A.-23 B.23 C.21 D.±23 7.已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( ) A.若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B.若α、β是第二象限角，则tan α>tan β C.若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D.若α、β是第四象限角，则tan α>tan β8.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A.2B.1sin 2C.2sin1D.sin2 9.如果sin x +cos x =51,且0<x <π,那么cot x 的值是( )A.-34B.-34或-43C.-43D.34或-4310.已知①1+cos α-sin β+sin αsin β=0,②1-cos α-cos β+sin αcos β=0.则sin α的值为( )A.3101- B.351- C.212- D.221-三角函数训练(二)-同角三角函数关系1.tan300°+cot765°的值是_______.2.已知tan α=3,则sin 2α-3sin αcos α+4cos 2α的值是______.3.若扇形的中心角为3π,则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为______. 4.若θ满足cos θ>-21,则角θ的取值集合是______.5.设一扇形的周长为C (C >0),当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？6.设90°<α<180°,角α的终边上一点为P (x ,5),且cos α=42x ,求sin α与tan α的值.7.已知sin α是方程5x 2-7x -6=0的根，求)(cos )2cos()2cos()2(tan )23sin()23sin(22απαπαπαπαππα-⋅+⋅--⋅-⋅--的值. 8.已知sin α+cos α=-553,且|sin α|>|cos α|,求cos 3α-sin 3α的值. 9.已知sin(5π-α)=2 cos(27π+β)和3cos(-α)=- 2cos(π+β), 且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.1.若sin532=θ，542cos -=θ则θ在（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 Ｄ.第四象限 2.cos2125π＋cos 212π＋cos 125πcos 12π的值等于 ( ) A.26 B.23 C.45Ｄ.1+433.已知π＜α＜23π，且sin （23π＋α）＝54，则tan 2α等于 ( ) A.3 B.2 C.－2 Ｄ.－34.若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍ Ｄ.21m5.下列关系式中不正确．．．的是 ( ) A.sin α＋sin β＝2sin2βα+cos2βα-B.sin α－sin β＝2cos 2βα+cos 2βα-C.cos α＋cos β＝2cos 2βα+cos 2βα-Ｄ.cos α－cos β＝2sin 2βα+sin 2αβ-6.如果tan 312=α，那么cos α的值是 ( )A.53B.54C.－53 Ｄ.－547.化简)4sin()4cos()4sin()4cos(x x x x ++++-+ππππ的值是 ( ) A.tan 2xB.tan2xC.－tan x Ｄ.cot x8.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( )A.5B.－5C.51 Ｄ.－511.设5π＜θ＜6π，cos2θ＝a ，则sin 4θ等于 ( ) A.－21a + B.－21a- C.－21a + Ｄ.－21a -2.若tannmA =2，则ｍcos A －ｎsin A 等于 ( ) A.ｎ B.－ｎ C.－ｍ Ｄ.ｍ3.若tan α＝－2且sin α＜0，则cos α＝ .4.tan5π＋tan 52π＋tan 53π＋tan 54π＝ .5.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝ .6.已知sin α＝31，2π＜α＜3π，那么sin 2α＋cos 2α＝ .7.cos 85πcos 8π＝ .8.sin （θ＋75°）＋cos （θ＋45°）－3cos （θ＋15°）＝ . 9.已知π＜θ＜23π，cos θ＝－54，则cos 2θ＝ . 10.tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝ . 11.若cos （α＋β）＝54，cos （α－β）＝－54，且2π＜α－β＜π，23π＜α＋β＜2π，则cos2α＝ ，cos2β＝ .12.求2sin160°－cos170°－tan160°sin170°的值.13.已知sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41，求cos4x 的值. 14.求证tan xx xx x 2cos cos sin 22tan 23+=- 15.若函数ｙ＝x 2－4px －2的图象过点(tan α，1)，及点(tan β，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）的值.三角函数训练(五)- 两倍角公式1．如果,532cos =θ那么θθ44cos sin +的值是（ ） A ．251 B.1 C.2517 D.2517-2．若,135)4cos(=+A π求sin2A 的值.3．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=. 4．已知,31)sin()sin(=-+βαβα求证：αβα422cos sin 2sin 41++为定值.5．已知α、)2,0(πβ∈，且,02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα求证：,22πβα=+并求αsin 、βsin 、αcos 、βcos 的值.6．若,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα则（ ）A ．a <b B.a >b C.ab <1 D.ab >2 7．已知θ是第三象限角，且95cos sin44=+θθ，那么θ2sin 等于（ ）A ．322 B. 322- C. 32D.32-1.命题甲：“x 是第一象限角”，命题乙：“sin x 是增函数”，则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.右图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜2π＝的图象，那么( ) A.ω＝1110，ϕ＝6π B.ω＝1110，ϕ＝－6πC.ω＝2，ϕ＝6πD.ω＝2，ϕ＝-6π3.已知cos x ＝94，x ∈(－2π，0)，则x 的值是( ) A.－ａrccos 94 B.π－arccos 94C.arccos 94D.2π－arccos 944.要得到函数y ＝sin(2x －4π)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A.向左平移4πB.向右平移4πC.向左平移8πD.向右平移8π5.函数y ＝sin 2(ωx )－cos 2(ωx )的周期T ＝4π，那么常数ω为( ) A.21 B.2 C.41D.4 6.函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝45πB.x ＝－2πC.x ＝8πD.x ＝4π7.函数y ＝ｌｏｇcos1cos x 的值域是( )A.［－1，1］B.(－∞，＋∞)C.(－∞，]0D.［0，＋)∞］8.如果｜x ｜≤4π，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是( ) A.212- B.221- C.－212+ D.－19.函数f (x )＝sin 25π+x ，ｇ(x )＝cos 25π+x ，则( )A.f (x )与ｇ(x )皆为奇函数B.f (x )与ｇ(x )皆为偶函数C.f (x )是奇函数，ｇ(x )是偶函数D.f (x )是偶函数，ｇ(x )是奇函数1.下列函数中，图象关于原点对称的是( )A.y ＝－｜sin x ｜B.y ＝－x ·sin ｜x ｜C.y ＝sin(－｜x ｜)D.y ＝sin ｜x ｜2.函数y ＝3sin(πx ＋3)的振幅是 ，周期是 ，初相是 .3.2sin2cos cos x x xy -=的值域是 .4.若函数y ＝Acos(ωx －3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A ＝ ．5.在下列函数中：①y ＝4sin(x －3π)，②y ＝2sin(x －65π)，③y ＝2sin(x ＋6π)，④y＝4sin(x ＋3π),⑤y ＝sin(x －613π)关于直线x ＝65π对称的函数是 (填序号).6.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调递增的区间是 .7.函数y ＝tan x 53的周期为 ，y ＝sin 22x 的周期是 ，y ＝－cos(5x＋6π)的周期是 ． 8.在y ＝arcsin x 中，x ∈ ，y ∈ 的一个 .9.利用单位圆将sin2，sin3，sin4由小到大排列的顺序为 . 10.由y ＝sin x 变为y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y ＝sin(ωx ＋ϕ)；再把 坐标 原来的A 倍，就是y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(其中A ＞0).11.y ＝(2＋cos x )(5－cos x )的最大值为 ，最小值为 . 12.求)1lg(tan 1cos 2+-=x x y 的定义域.13.已知函数y ＝ａ－ｂcos x 的最大值是23，最小值是－21，求函数y ＝－4ａsin3ｂx 的最大值、最小值、周期、振幅、频率.14.若f (x )＝A sin(x －3π)＋B ，且f (3π)＋f (2π)＝7，f (π)－f (0)＝23，求f (x ). 15．若⎩⎨⎧=+=θθθθcos sin cos sin y x ，试求y ＝f (x )的解析式.三角函数训练(八)- 正、余弦定理1．在△ABC 中，已知C=2B ，求证：c 2－b 2=ab . 2．在△ABC 中，,22=c a ＞b ,C = 4π，且有tan A ·tan B =6，试求a 、b 以及此三角形的面积.3．已知△ABC 的面积为1，tan B =2tan ,21-=C ,求△ABC 的各边长. 4．已知：k 是整数，钝角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c（1）若方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+)1(32722k y kx ky x 有实数解，求k 的值.（2）对于（1）中的k 值，若,2sin k C =且有关系式C c B b A b c 222sin sin sin )(=+-,试求A 、B 、C 的度数.5．求值：︒︒+︒+︒80cos 20sin 380cos 20sin 226．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c =2b , A –C =3π，求sin B 的值.7．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（ ） A ．－41 B ．41 C ．－ 32 D ．32 8．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.三角函数训练（一）答案1、解析：“钝角”用集合表示为{α|90°<α<180°},令集合为A ；“第二象限角”用集合表示为{α|k ·360°+90°<α<k ·360°+180°,k ∈Z },令集合为B .显然A B . 答案：B2、解析：由sin αcos α<0知sin α与cos α异号；当cos α-sin α<0,知sin α>cos α.故sin α>0,cos α<0.∴α在第二象限.答案：B3、解法一：通过对k 的取值，找出M 与N 中角x 的所有的终边进行判断.解法二：∵M ={x |x =4π·(2k ±1),k ∈Z },而2k ±1为奇数，∴M N . 答案：A4、解析：787°=2×360°+67°,-957°=-3×360°+123°. -289°=-1×360°+71°,1711°=4×360°+271°. ∴在第一象限的角是(1)、(3). 答案：C5、解析：∵r=a a a 5)4()3(22-=+-.α为第四象限. ∴53cos ,54sin ==-==r x r y αα.故sin α+2cos α=52. 答案：A6、解析：∵cos(π+α)=-21,∴cos α=21,又∵23π<α<2π. ∴sin α=-23cos 12-=-α.故sin(2π-α)=-sin α=23. 答案：B7、答案：D8、解析：∵圆的半径r =1sin 2,α=2 ∴弧度l=r ·α=1sin 2. 答案：B9、分析：若把sin x 、cos x 看成两个未知数，仅有sin x +cos x =51是不够的，还要利用sin 2x +cos 2x =1这一恒等式.解析：∵0<x <π,且2sin x cos x =(sin x +cos x )2-1=-2524. ∴cos x <0.故sin x -cos x =57cos sin 4)cos (sin 2=-+x x x x ,结合sin x +cos x =51,可得sin x =54,cos x =-53,故co t x =-43.答案：C10、分析：已知条件复杂，但所求很简单，由方程思想，只要由①、②中消去β即可. 解析：由已知可得：sin β=ααsin 1cos 1-+,cos β=ααsin 1cos 1--.以上两式平方相加得：2(1+cos 2α)=1-2sin α+sin 2α. 即：3sin 2α-2sin α-3=0.故sin α=3101-或sin α=3101+ (舍). 答案：A三角函数训练(二)答案1、解析：原式=tan(360°-60°)+cot (2×360°+45°)=-tan60°+cot45°=1-3. 答案：1-32、分析：将条件式化为含sin α和cos α的式子，或者将待求式化为仅含tan α的式子.解法一：由tan α=3得sin α=3cos α,∴1-cos 2α=9cos 2α. ∴cos 2α=101. 故原式=(1-cos 2α)-9cos 2α+4cos 2α=1-6cos 2α=52. 解法二：∵sin 2α+cos 2α=1.∴原式=52194991tan 4tan 3tan cos sin cos 4cos sin 3sin 222222=++-=++-=++-ααααααααα. 答案：523、分析：扇形的内切圆是指与扇形的两条半径及弧均相切的圆. 解析：设扇形的圆半径为R ，其内切圆的半径为r ,则由扇形中心角为3π知：2r +r =R ,即R =3r .∴S 扇=21αR 2=6πR 2,S 圆=9πR 2.故S 扇∶S 圆=23. 答案：234、分析：对于简单的三角不等式，用三角函数线写出它们的解集，是一种直观有效的方法.其过程是：一定终边，二定区域；三写表达式.解析：先作出余弦线OM =-21，过M 作垂直于x 轴的直线交单位圆于P 1、P 2两点，则OP 1、OP 2是cos θ=21时θ的终边.要cos θ>-21,M 点该沿x 轴向哪个方向移动？这是确定区域的关键.当M 点向右移动最后到达单位圆与x 轴正向的交点时，OP 1、OP 2也随之运动，它们扫过的区域就是角θ终边所在区域.从而可写出角θ的集合是{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z }.答案：{θ|2k π-32π<θ<2k π+32π,k ∈Z } 5、解：设扇形的中心角为α，半径为r ,面积为S ，弧长为l,则：l+2r =C ,即l=C -2r .∴16)4()2(212122C C r r r C lr S +--=⋅-==.故当r =4C时，S max =162C ,此时：α=.2422=-=-=CCC rr C r l∴当α=2时，S max =162C .6、解：由三角函数的定义得：cos α=52+x x ,又cos α=42x , ∴34252±=⇒=+x x x x . 由已知可得：x <0,∴x =-3.故cos α=-46,sin α=410,ta n α=-315.7、解：∵sin α是方程5x 2-7x -6=0的根.∴sin α=-53或sin α=2(舍). 故sin 2α=259,cos 2α=⇒2516tan 2α=169.∴原式=169tan cot )sin (sin tan )cos (cos 222==⋅-⋅⋅-⋅ααααααα. 8、分析：对于sin α+cos α,sin α-cos α及sin αcos α三个式子，只要已知其中一个就可以求出另外两个，因此本题可先求出sin αcos α,进而求出sin α-cos α,最后得到所求值.解：∵sin α+cos α=-553, ∴两边平方得：1+2sin αcos α=⇒59sin αcos α=52. 故(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=51.由sin α+cos α<0及sin αcos α>0知sin α<0,cos α<0. 又∵|sin α|>|cos α|,∴-sin α>-cos αcos α-sin α>0. ∴cos α-sin α=55. 因此，cos 3α-sin 3α=(cos α-sin α)(1+sin αcos α)=55×(1+52)=2557. 评注：本题也可将已知式与sin 2α+cos 2α=1联解，分别求出sin α与cos α的值，然后再代入计算.9、分析：运用诱导公式、同角三角函数的关系及消元法.在三角关系式中，一般都是利用平方关系进行消元.解：由已知得sin α=2sin β ①3cos α=2cos β ②由①2+②2得sin 2α+3cos 2α=2.即：sin 2α+3(1-sin 2α)=2. ∴sin 2α=⇒21sin α=±22,由于0<α<π,所以sin α=22. 故α=4π或43π. 当α=4π时，cos β=23,又0<β<π,∴β=6π,当α=43π时，cos β=-23,又0<β<π,∴β=65π. 综上可得：α=4π,β=6π或α=43π,β=65π.三角函数训练(三)答案1、解：由sin532=θ＞22，cos 2θ＝－54＜－22得2θ为第二象限角. 即2ｋπ＋43π＜2θ＜2ｋπ＋π （ｋ∈Ｚ）∴4ｋπ＋23π＜θ＜4ｋπ＋2π （ｋ∈Ｚ）∴θ在第四象限. 答案：Ｄ 2、解：原式＝sin 212π＋cos 212π＋sin 12πcos 12π＝1＋21sin 6π＝45 答案：C3、解：由sin （23π＋α）＝－cos α＝54，π＜α＜23π，得cos α＝－54，2π＜2α＜43π∵cos α＝1－2sin22α ∴sin 2α＝10103cos2α＝－1010 ∴tan 2α＝－3答案：Ｄ4、解：∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ 即：m =+θθtan 1tan 2 又∵sin2θ＝m2tan 1tan 22=+θθ 答案：B5、解：因为sin α－sin β＝2cos 2βα+sin2βα-.答案：B6、解：cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα. 答案：B7、解：原式＝x x x x x x x x 2cos 12sin )22sin(1)22cos()]4sin()4[cos()4(sin )4(cos 222+-=+++=++++-+ππππππ x x x tan cos 2cos sin 22-=-=α答案：C8、解：由sin α＝135，α在第二象限得cos α＝－1312. ∴tan2α＝5cos 1sin =+αα 答案：A三角函数训练(四)答案1、解：∵cos 2θ＝1－2sin 24θ 5π＜θ＜6π 45π＜4θ＜23π ∴sin 24θ＝21a - 即sin4θ＝－21a -.答案：Ｄ2、解：ｍcos A －ｎsin A ＝ｍ·.2tan 12tan22tan 12tan 1222m AAn A A -=+⋅-+- 答案：C3、解：由⎪⎩⎪⎨⎧-==+2cos sin 1cos sin 22αααα得cos α＝55.答案：55 4、解：原式＝tan 5π＋tan 52π＋tan （π－52π）＋tan （π－5π）＝tan 5π＋tan52π－tan52π－tan 5π＝0. 答案：05、解：∵3π＜θ＜27π ∴23π＜2θ＜47π又∵sin θ＝532tan 12tan22-=+θθ∴tan2θ＝－3. 答案：－36、解：∵2π＜α＜3π ∴π＜2α＜23π（sin2α＋cos 2α）2＝1＋sin α＝34∴sin2α＋cos 2α＝－332.答案：－332 7、解：cos85πcos 8π＝cos （2π＋8π）cos 8π＝－sin8πcos 8π＝－21sin 4π＝－42.答案：－428、解：设θ＋15°＝α原式＝sin （α＋60°）＋cos （α＋30°）－3cos α＝sin αcos60°＋cos αsin60°＋cos αcos30°－sin αsin30°－3cos α＝0. 答案：09、解：由π＜θ＜23π得2π＜2θ＜43π又cos θ＝2cos 22θ－1＝－54∴cos2θ＝－1010.答案：－1010 10、解：原式＝tan （19°＋26°）（1－tan19°tan26°）＋tan19°tan26°＝1. 答案：111、解：∵2α＝（α＋β）＋（α－β）∴cos2α＝cos ［（α＋β）＋（α－β）］＝－257∵2β＝（α＋β）－（α－β） ∴cos2β＝cos ［（α＋β）－（α＋β）］＝－1. 答案：－257－112、解：原式＝2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.360sin 220cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin 20cos 10cos 40sin 20cos )10sin 20sin 20cos 10(cos 20cos 20sin 2=︒=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒+︒=︒︒︒+︒︒+︒︒=13、解：由sin （x －43π）cos （x －4π）＝－41 ⇒21［sin （2x －π）＋sin （－2π）］＝－41 ⇒sin2x ＝－21⇒cos4x ＝1－2sin 22x ＝21.14、证明：左边＝2cos23cos 2sin23cos 2cos 23sin 2cos 2sin 23cos 23sin x x x x x x x x x x -=- x x x x x x x 2cos cos sin 2)cos 2(cos 21)223sin(+=+-＝右边. 15、解：由条件知tan α、tan β是方程 x 2－4px －2＝1的两根.∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2三角函数训练(五)答案1、分析：先化简θθ44cos sin +为（.cos sin 2)cos sin 22222θθθθ-+即为.)cos (sin 212θθ-然后用倍角公式：.22sin cos sin θθθ=⋅用532cos =θ可得2516)2(sin 2=θ ∴原式.251725421=⋅-= 答案：C2、分析：角2A 与A +4π不是倍角关系，但)4(222A A +=+ππ，故我们可以结合诱导公式与倍角公式来解决这个问题.解：169119)135(21]1)4(cos 2[)4(2cos )22cos(2sin 22=⨯-=-+-=+-=+-=A A A A πππ3、分析：因为α是2α的半角.所以可以将等式右边用倍角公式展开证得.证明：∵2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα==⋅=+ 同理，2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 所以原式成立.4、分析：求证一个三角函数式为定值，就是证它等于一个常数.我们发现已知条件算式的左边是两个角的正弦函数相乘的形式，所以我们得用如下公式：).cos()cos(sin sin 2βαβαβα+--=证明：∵)]()cos[()]()cos[(βαβαβαβα--+--++)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+=)sin()sin()cos()cos(βαβαβαβα-+--+-)sin()sin(2βαβα-⋅+-=∴32312)sin()sin(22cos 2cos -=⨯-=-+-=-βαβαβα ∵αβα422cos sin 2sin 41++)(324121)32(21414121)2cos 2(cos 21)2cos 2(sin 412cos 412cos 21412cos 21212sin 41)]2cos 1(21[)2cos 1(212sin 41222222常数=++-⨯+=++-++=+++-+=++-+=βαααααβααβα ∴原命题成立.5、分析：本题前半部分实际上是一个给值求角类型题，因此在确定βα2+范围的前提下，利用两个已知条件，求得βα2+的某一三角函数值.而要求βα2+的三角函数值必须用到和角公式，且应找到β2sin 、β2cos 与角α的三角函数值之间的关系.解：由已知得：ααββαcos sin 32sin sin 21sin 322=-= 即αβ2sin 32cos = ① ααβcos sin 32sin = ② ∴βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+ 0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα∵α、)2,0(πβ∈, ∴)23,0(2πβα∈+ 于是有22πβα=+，原式成立.由①2+②2得：22222)cos sin 3()sin 3(2sin 2cos αααββ+=+1sin 9 sin 9)cos (sin sin 922222==+=ααααα即得∵)2,0(πα∈， ∴322sin 1cos 31sin 2=-==ααα 将91sin 2=α代入1sin 2sin 322=+βα得：1sin 2)31(322=+⨯β 即31sin 2=β ∵)2,0(πβ∈ ∴33sin =β 36cos =β6、分析：此题可用倍角公式化简后再比较.把a =+ααcos sin 的两边平方，则有ααsin 2sin 2+αα2cos cos +22sin 1a =+=α，同理.2sin 12b =+β因,40πβα<<<所以,2220πβα<<<则,,2sin 2sin 22b a <<βα而a ＞0,b ＞0,则有a ＜b .答案：A7、分析：此题主要考查同角三角函数关系及倍角公式22244)cos (sin cos sin θθθθ+=+θθ22cos sin 2-,95)2(sin 2112=-=θ则,98)2(sin 2=θ因θ为第三象限角，则,0cos ,0sin <<θθ即.02sin cos sin 2>=⋅θθθ所以.3222sin =θ 答案：A三角函数训练(六)- 三角函数图象和性质答案1、解析：由x 是第一象限角推不出sin x 是增函数，如)62sin(3sin ,623ππππππ+〉+〈但； 由sin x 是增函数也推不出x 是第一象限角，如sin x 在区间]0,2[π-是增函数，但]0,2[π-内的所有角都不是第一象限角.答案：D2、解析：由点(0，1)在其图象上，可知1＝2sin ϕ，又｜ϕ｜＜2π，∴ϕ＝6π. 又∵1211πω＋6π＝2π⇒ω＝2. 答案：C3、解析：∵arccos 94∈(0，2π)，而x ∈(－2π，0) ∴x ＝－arccos 94. 答案：A4、解析：当x →x －8π时，2x →2(x －8π)＝2x －4π答案：D5、解析：∵y ＝－cos(2ωx )，T ＝ϖπ22=4π ∴ω＝41.答案：C6、解析：∵y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ， ∴x ＝－2π是它的一条对称轴. 答案：B7、解析：由题意知0＜cos1＜1，0＜cos x ≤1,∴y ≥0. 答案：D8、解析：f (x )＝(1－sin 2x )＋sin x ＝－(sin x －21)2＋45由｜sin x ｜≤22，知当sin x ＝－22时f (x )ｍｉｎ＝－(－22－21)2＋45＝221-.答案：B9、解析：∵f (x )＝sin ＝25π+x =sin(25π＋2x )＝cos 2xｇ(x )＝cos(2x ＋25π)＝－sin 2x答案：D三角函数训练(七)- 三角函数图象和性质答案1、解析：∵点(x ,y )关于原点的对称点P (－x ，－y )，把P 点坐标逐一代入选择支，知y ＝－x ·sin ｜x ｜关于原点对称.答案：B2、答案：3 2 33、解析：由2sin2cos cos x x x y -=＝2sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x --＝)42sin(22sin 2cos π+=+x x x , x ≠2k π+2π＋,k ∈Z ∴y ≠±)42sin(,2π+∴x ＜1 ∴y ∈(－2，2) 答案：(-2，2) 4、答案：π 5 5、解析：∵y ＝4sin(65π－3π)＝4sin 2π＝4，y 取最大值.∴x ＝65π为它的一个对称轴. 又y ＝sin(65π－613π)＝sin 23π＝－1 ∴x ＝65π是对称轴. 答案：①⑤6、解析：当x ∈(k π－2π，k π＋2π)时，y ＝2tan x 是增函数, 当x ∈(k π－π，k π)时，y ＝cos x 是增函数,∴当x ∈(k π－2π，k π)时，y ＝2tan x 与y =cos x 均是增函数. 答案：(k π-2π，k π)k ∈Z 7、答案：35π 2π 52π 8、答案：［0，1］ ［0，2π］ 角 9、答案：sin4＜sin3＜sin210、答案：|ϕ | |2ϕ| 纵 扩大到 11、解析：∵y ＝－cos 2x ＋3cos x ＋10＝－(cos x －23)2＋449 当cos x ＝－1时，y ｍｉｎ＝6当cos x ＝1时，y ｍｉｎ＝12答案：12 612、解：由题意得 )(322242)(4324232320tan 1tan 21cos 11tan 01tan 11cos 2Z k k x k k x k k x Z k k x k k x k x x x x x x ∈+≤〈〈〈-⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠∈+〈〈-+≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-〉≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+〉+≥-πππππππππππππππ或 13、解：当ｂ＞0时x y b a b a b a 3sin 21212123-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+x b a b a b a b 3sin 21212123,0⇒=⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-〈时当 ∴最小值是－2，最大值是2，T ＝32π A ＝－2(ｂ＞0)或2(ｂ＜0＝，f ＝π23. 14、解：由已知得： 3)3sin(2)(3232232372132)0()(7)2()3()3sin()(+π-=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=++⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-π=π+π+π-=x x f B A B A B A B A B f f f f B x A x f 15、解：由x ＝sin θ＋cos θ⇒x 2＝1＋2sin θcos θ⇒sin θcos θ＝212-x ∴y ＝f (x )＝sin θcos θ＝212-x 又x ＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋4π) 而｜sin(θ＋4π)｜≤1 ∴｜x ｜≤2， ∴y ＝f (x )＝21x 2－21，x ∈［－2，2］． 三角函数训练(八)- 正、余弦定理答案1、分析：利用正弦定理的变式a =2R sin A ,b =2R sin B .证明：设△ABC 的外接圆半径为R .∵C =2B ,sin(B+C )=sin AabB A R BC B C R B C B C B C B C R B C B C R B C R b c ==-+⋅=+-⋅-+⋅=-+=-=-∴sin sin 4 )sin()sin(4 2cos 2sin 22cos 2sin 24 )sin )(sin sin (sin 4 )sin (sin 4222222222 则原式成立.2、分析：由已知可求tan A +tan B ,这样可求得tan A 和tan B 的值.只需求sin A 、sin B 的值，就可利用正弦定理求a 、b.解：∵tan A +tan B =tan(A +B )·(1－tan A tan B )=－tan C (1－tan A tan B )=－tan 4π(1－6)=5 又∵tan A ·tan B =6,且a ＞b ，则tan A ＞tan B∴tan A =3,tan B =2 则552sin ,10103sin ==B A 由正弦定理，得5106221010322sin sin =⋅==C A c a 52422558510621sin 215582255222sin sin =⋅⋅⋅===⋅==∆C ab S C B c b ABC 3、分析：综合利用同角三角函数关系式、正弦定理和三角形的面积公式进行计算. 解：∵tan B =21,∴sin B =552cos ,55=B 又∵tan C =－2,55cos ,552sin -==∴C C b B A b a Bb A a CB C B C B A 53sin sin sin sin 53552552)55(55 sin cos cos sin )sin(sin ==∴==⋅+-⋅=+=+= 则 则S ΔABC =15525321sin 212=⋅⋅=b C ab 解得3,315==a b 则再由正弦定理得3152sin sin ==A C a c 4、分析：由方程组有实数解，求得k 值，由已知关系式，讨论k 的取值范围和角的取值.解：（1）将原方程组消去y 后 ，化为：0373222=+-+-k k kx x由Δ)373(4422+--=k k k ≥0得3722+-k k ≤0即(k －3)(2k －1)≤0,21≤k ≤3 ∵k 为整数，∴k =1，2，3（2）∵△ABC 为钝角三角形∴0＜sin C ＜1∴k 取1，22sin =C ，则C 为45°或135° 0))((0)(sin 2,sin 2,sin 2sin sin sin )(222332222=----=-+⋅-∴====+-bc b c a b c c b a b c CR c B R b A R a Cc B b A b c 则而若c=b ，则B =45°或135°，与△ABC 是钝角三角形相矛盾.∴a 2－c 2－b 2－bc =0 则212222-=-+bc a c b ∴cos A =－21,A =120° ∵C =45°,C =135°(舍去)，B =180°－120°－45°=15°5、分析：根据原式的结构特征，联想到余弦定理，所以可用构造三角形的方法求值. 解：构造△ABC ，使A =20°，B =10°，C =150°，设△ABC 的外接圆的半径为R .由正弦定理得：a =2R sin20°,b =2R sin10°,c =2R sin150°∵c 2=a 2+b 2–2ab cos C4180cos 20sin 380cos 20sin 150cos 10sin 20sin 810sin 420sin 422222222=︒︒+︒+︒︒︒︒-︒+︒=∴即R R R R6、分析：本题考查学生分析题意，运用三角知识进行三角变换及发掘三角形中隐含条件的能力.要解决这个问题，必须具备一些相关知识，包括正弦定理、诱导公式、和差化积、同角三角函数基本关系、倍角公式等知识，因此，这是一道较综合的考题.从已知条件出发，可将边的关系运用正弦定理化为角的关系，然后进行正确的三角变换，从而将此问题解决.解：∵a+c =2b ,∴sin A +sin C =2sin B 由和差化积公式得2cos 2sin 42cos 2sin 2B B C A C A =-+ 8394134322cos 2sin2sin 4132sin 12cos 20432sin 2sin 2233,02cos 2sin2=⨯⨯===-=∴<<==∴=->=+B B B B B B B B C A B C A 于是即ππ 7、分析：先用正弦定理：C c B b A a sin sin sin ==可求出a ∶b ∶c =3∶2∶4， 所以可设a =3k ,b =2k ,c =4k ,再用余弦定理：kk k k k C ab c b a C 2321649cos 2cos 222222⋅⋅-+=-+=可得 即.41cos -=C答案：A8、分析：先画图，再利用正弦定理求解.解：如图所示，∠SMN =15°+30°=45°∠SNM =180°－45°－30°=105°∴∠NSM=180°－45°－105°=30° )26(2021)26(10)26(10105sin 2030sin -=÷--=∴︒=︒MN MN 由正弦定理 答：货轮的速度为)26(20-里/小时.。