6 7 7 5 8 8 8 6 8 4 0 9 3甲乙岳阳市一中2014届高三第六次质量检测数学试卷（文）(含答案)时量:120分钟 分值:150分一. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数ii i i i z ++⋅⋅⋅+++=1201432，则复数z 在复平面内对应的点为（ ）A.（0,1）B.（1,0）C.（0，-1）D.（-1,0） 2．若0a b >>，则下列不等式中总成立的是 （ ） A ． 11a b b a +>+ B ．11a b a b +>+C ． 11b b a a +>+D ．22a b aa b b+>+ 3．以下判断正确的是（ ）A.函数()y f x =为R 上的可导函数，则0)(0='x f 是0x 为函数()f x 极值点的充要条件.B.命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”.C.命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题.D.“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.4．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙,则下列判断正确的是（ ） A.x x <甲乙，甲比乙成绩稳定 B.x x <甲乙，乙比甲成绩稳定C.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D x x >甲乙，乙比甲成绩稳定5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ ）A ．2BC ．D ．6.已知数列{}n a 的通项公式是2123201421sin(),2n n a n a a a a π+=++++=则( ）A ．201320142⨯B ．201420152⨯C ．201320132⨯D ． 201420142⨯7．右图是函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω≤>>+=A x A y 图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将)(sin R x x y ∈=的图像上所有的点( )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.8．如图，P 是△ABC 所在的平面内一点，且满足BA ＋BC ＝23BP ，D ，E 是BP 的三等分点，则( )A ．BA ＝ECB ．BA ＋BC ＝DP C ．PA ＋PC ＝4BD D ．PA －PC ＝BC －BA9．已知偶函数||log )(b x x f a +=在(0，＋∞)上单调递减，则)2(-b f 与)1(+a f 的大小关系是( )A ．)2(-b f <)1(+a fB ．)1(+a f =)2(-b fC ．)2(-b f >)1(+a fD ．无法确定10.已知2120m m <<< ，且1log ,1log 2211-=-=m m m m a a ，则实数a 的取值范围是( ) A. 32<<a B.10<<a C. 21<<a D.43<<a 二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分.） 11．己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=BA C U .12. 在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线sin()4πρθ+=为 ．13．执行如右图所示的程序框图，输出的s 值为 .14. 设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则 22BF AF +的最小值为 . 15．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a =时，数列{}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a 的值为 ． 三、解答题(本大题共6大题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．(本题满分12分) 某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x ，y (2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？ (3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．17．(本题满分12分) 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-． （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值．18. (本题满分12分) 在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．19. (本题满分13分) 某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2014年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：)241)(1(21)(x x x x P -+=),12(*∈≤N x x （1）写出第x 月的需求量)(x f 的表达式；（2）若第x月的销售量⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-*∈<≤-=*),127(),961031(),71(,21)()(22N x x x x e x N x x x x f x g x（单位：件），每件利润)(x q 元与月份x 的近似关系为：xe x q x10)(=，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（4036≈e ）6 7 7 58 8 8 6 8 4 0 9 3甲乙20．(本题满分13分) 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 且直线y x b =+是抛物线22:4C y x =的一条切线。

(1)求椭圆1C 的方程；(2)过点1(0,)3S -的动直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由。

21.设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数．（I ）求函数()f x 的极值；（II ）数列{}n a 满足1a e =，112()3n na f e a +'=+．求证：数列{}n a 中不存在成等差数列的三项； （III ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．岳阳市一中2014届高三第六次质量检测数学试卷（文）时量:120分钟 分值:150分 命题人：戴毅二. 选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数ii i i i z ++⋅⋅⋅+++=1201432，则复数z 在复平面内对应的点为（ A ）A .（0,1）B .（1,0）C .（0，-1）D .（-1,0）2．若0a b >>，则下列不等式中总成立的是 （A ）A ． 11a b b a +>+ B ．11a b a b +>+C ． 11b b a a +>+D ．22a b aa b b+>+ 3．以下判断正确的是（ D ）A.函数()y f x =为R 上的可导函数，则'0()0f x =是0x 为函数()f x 极值点的充要条件.B.命题“2,10x R x x ∈+-<存在”的否定是“2,10x R x x ∈+->任意”. C.命题“在ABC ∆中，若,sin sin A B A B >>则”的逆命题为假命题. D.“0b =”是“函数2()f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件. 4．甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲、x 乙,则下列判断正确的是（ B ） A.x x <甲乙，甲比乙成绩稳定 B.x x <甲乙，乙比甲成绩稳定 C.x x >甲乙，甲比乙成绩稳定D x x >甲乙，乙比甲成绩稳定5.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为h 的值为（ B ）A B ．3C ．D ．6．已知数列{}n a 的通项公式是2123201421sin(),2n n a n a a a a π+=++++=则 （ B ）A ．201320142⨯B ．201420152⨯C ．201320132⨯D ． 201420142⨯7．右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(00A ω>>，，||2πϕ≤)图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图像上所有的点( A )A .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. B .向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.C .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变. D .向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.8．如图，P 是△ABC 所在的平面内一点，且满足BA ＋BC ＝23BP ，D ，E 是BP 的三等分点，则( B )A ．BA ＝ECB ．BA ＋BC ＝DP C ．PA ＋PC ＝4BD D ．PA －PC ＝BC －BA9．已知偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上单调递减，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是(A ) A ．f (b －2)<f (a ＋1) B ．f (b －2)＝f (a ＋1) C ．f (b －2)>f (a ＋1)D ．无法确定的10.已知2120m m <<< ，且1log ,1log 2211-=-=m m m m a a ，则实数a 的取值范围是( C ) A. 32<<a B.10<<a C. 21<<a D.43<<a 二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分.）11．己知全集U R =，集合{}R x x x A ∈>+=,21|，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x xx x B ,02|， 则()=BA C U }10|{≤<x x .12. 在极坐标系中，圆4cos ρθ=的圆心到直线sin()4πρθ+=13．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 2 .14. 设双曲线22143x y -=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则 22BF AF +的最小值为 11 .15．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用符号x 〈〉表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：①1a a =〈〉；②11(0)0(0)n nn n a a a a +⎧〈〉≠⎪=⎨⎪=⎩．（Ⅰ）若a =时，数列{}n a 通项公式为 ；（Ⅱ）当13a >时，对任意*n N ∈都有n a a =，则a的值为 ． 15.答案：（Ⅰ）1na =；1-或12【解析】（Ⅰ）若a=时，11a ==-,则21a ===． （Ⅱ）当13a >时，由n a a =知，1a <，所以1a a a =〈〉=，21a a =〈〉，且1(1,3)a ∈．①当1(1,2)a ∈时，211a a a 1=〈〉=-，故1112aa a -=⇒=（12a =舍去） ②当1[2,3)a ∈时，212a a a 1=〈〉=-，故21a a a1-=⇒=（1a =舍去）综上，1a =-或12三、解答题(本大题共6大题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16．(本题满分12分)某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株，杉树与槐树的树干周长(单位：cm)的抽查结果如下表：(1)求x ，y (2)如果杉树的树干周长超过60 cm 就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？ (3)树干周长在30 cm 到40 cm 之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．解 (1)按分层抽样方法随机抽取100株，可得槐树为40株，杉树为60株， ∴x ＝60－6－19－21＝14，y ＝40－4－20－6＝10. 估计槐树树干周长的众数为45 cm. (2)1460×600＝140， 估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B 1，B 2，B 3，D ，设D 为有虫害的那株，基本事件为(D )，(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )，(B 1，B 2，D )，(B 1，B 3，D )，(B 2，B 1，D )，(B 2，B 3，D )，(B 3，B 1，D )，(B 3，B 2，D )，(B 1，B 2，B 3)，(B 1，B 3，B 2)，(B 2，B 1，B 3)，(B 2，B 3，B 1)，(B 3，B 1，B 2)，(B 3，B 2，B 1)共16种，设事件A ：排查的树木恰好为2株，事件A 包含(B 1，D )，(B 2，D )，(B 3，D )3种， ∴P (A )＝316.17．(本题满分12分) 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-． （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值． 17．解:（Ⅰ）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-，化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=，即sin3sin cos B C A B +=（）， 故sin 3sin cos A A B =． 因为sin A ≠0， 所以1cos =3B ． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为4BC BA ⋅=，所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B ．所以12BC BA ⋅=，即12ac =． ①又因为2221cos =23a cb B ac +-=， 整理，得2240a c +=． ②联立①② ⎩⎨⎧==+,12,4022ac c a ，解得⎩⎨⎧==,6,2c a 或⎩⎨⎧==.2,6c a ………………………………………………………12分18. (本题满分12分) 在如图所示的组合体中，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点．（Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面1A BC ⊥平面1A AC ；（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比．（Ⅰ）∵侧面11ABB A 是圆柱的的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点，∴AC BC ⊥， 又圆柱母线1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥BC ， 又1AA AC A =，∴BC ⊥平面1A AC ，∵BC ⊂平面1A BC ，∴平面1A BC⊥平面1A AC ； （Ⅱ）设圆柱的底面半径为r ，母线长度为h ， 当点C 是弧AB 的中点时，,AC BC ==111212))33A BCCB V h r h -=⋅⋅⋅=,2=V r h π圆柱， ∴111=2:3A BCC B V V π-圆柱：．19. (本题满分13分) 某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2014年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量)(x P 件与月份x 的近似关系是：)241)(1(21)(x x x x P -+=),12(*∈≤N x x （1）写出第x 月的需求量)(x f 的表达式；（2）若第x 月的销售量⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤+-*∈<≤-=*),127(),961031(),71(,21)()(22N x x x x e x N x x x x f x g x（单位：件），每件利润)(x q 元与月份x 的近似关系为：xe x q x10)(=，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e 6≈403） x ）﹣（122a b 2y x b =+是抛物线22:4C y x =的一条切线。