梦想不会辜负一个努力的人绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的标准差锥体体积公式222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积、h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.)6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π，其中0>ω，则=ω 2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率3.),(11R b a bi a ii∈+-+表示为，则b a += 4.{}73)1(2-<-=x x x A ，则A Z 的元素的个数 5.b a ,的夹角为120，,3,1==b a 则=-b a 56在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）， 随机选择了50位老人进行调查。

下表是这50位老人日睡眠时间的 频率分布表。

序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值（i G ） 频数 （人数） 频率 （i F ） 1 [4,5) 4.5 6 0.12 2 [5,6) 5.5 10 0.20 3 [6,7) 6.5 20 0.40 4 [7,8) 7.5 10 0.20 5[8,9)8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S 的值是 。

8.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b= ▲ 9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设p c b a ,,,均为非零实数，直线CP BP ,分别交AB AC ,于点F E ,，一同学已正确算的OE 的方程：01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-y a p x c b ，请你求OF 的方程： 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10。

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按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为11.的最小值xz y z y x R z y x 2,032,,,=+-∈*12. 在平面直角坐标系中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =13.若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值14.13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于B A ,两点，已知B A ,的横坐标分别为552,102 （1）求)tan(βα+的值（2）求βα2+的值。

16．在四面体ABCD 中，BD AD CD CB ⊥=,，且F E ,分别是BD AB ,的中点， 求证：（1）直线⊥EF 面ACD（2）面⊥EFC 面BCDB yxOAB梦想不会辜负一个努力的人17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点B A ,及CD 的中点P 处，已知km CD km AB 10,20==，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且B A ,与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道OP BO AO ,,，设排污管道的总长为ykm （1）按下列要求写出函数关系式：①设)(rad BAD θ=∠，将y 表示成θ的函数关系式②设)(km x OP =，将y 表示成x 的函数关系式（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

18．设平面直角坐标系xoy 中，设二次函数)(2)(2R x b x x x f ∈++=的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C 。

求： （1）求实数b 的取值范围 （2）求圆C 的方程（3）问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论。

19．（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：①当4=n 时求da 1的数值②求n 的所有可能值； （2）求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

20.若为常数2121,,,32)(,3)(21p p R x x f x f p x p x ∈⋅==--，且⎩⎨⎧>≤=)()(),()()(),()(212211x f x f x f x f x f x f x f （1）求)()(1x f x f =对所有实数x 成立的充要条件（用21,p p 表示） （2）设b a ,为两实数，b a <且),(,21b a p p ∈若)()(b f a f =求证：)(x f 在区间[]b a ,上的单调增区间的长度和为2ab -（闭区间[]n m ,的长度定义为m n -）。

2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)1【解析】本小题考查三角函数的周期公式。

2105T w w ππ==⇒=。

2【解析】本小题考查古典概型。

基本事件共66⨯个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P ==⨯。

3.【解析】本小题考查复数的除法运算， 1,0,11ii a b i-=∴==+，因此a b +=1。

4. 因为0∆<，所以A φ=，因此A Z φ=，元素的个数为0。

2bb示单位圆及其内部，因此4416P==⨯。

7.答案6.428.1yx'=，令112x=得2x=，故切点为(2,ln2)，代入直线方程，得1ln222b=⨯+，所以ln21b=-。

9.画草图，由对称性可猜想1111()()0x yc b p a-+-=。

事实上，由截距式可得直线:1x yABa b+=，直线:1x yCDc p+=，两式相减得1111()()0x yc b p a-+-=，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。

答案1111()()0x yc b p a-+-=。

10.前1n-行共用了123(1)n+++-(1)2n n-个数，因此第n行(3)n≥从左向右的第3个数是全体正整数中的第(1)32n n-+个，即为262n n-+。

11.【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。

由230x y z-+=得32x zy+=，代入2yxz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当3x z=时取“=”。

答案3。

12.【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。

如图，切线,PA PB互相垂直，又OA PA⊥，所以OAP∆是等腰直角三角形，故2ac=，解得2cea==。

答案213.【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。

因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B-，设(,)C x y，由AC==化简得22(3)8x y-+=，即C在以（3，0）为圆心，12ABC c cS AB y y∆=⋅⋅=≤答案14.使()0f x≥恒成立，只要min()0f x≥在[]1,1x∈-上恒成立。

22()333(1)f x ax ax'=-=-1当0a=时，()31f x x=-+，所以min()20f x=-<，不符合题意，舍去。

2当0a<时22()333(1)0f x ax ax'=-=-<，即()f x单调递减，min()(1)202f x f a a==-≥⇒≥，舍去。

在⎛⎝上单调递减。

所以min()min(1),f x f f⎧⎫⎪⎪=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭(1)400410f aaf-=-+≥⎧⎪≥⇒⇒=⎨=-≥⎪⎩②11a>⇒<时()f x在[]1,1x∈-上单调递减，min()(1)202f x f a a==-≥⇒≥，不符合题意，舍去。

综上可知a=4.答案4。

15.由条件得cos,cos10αβ==α为锐角，故sin0sin10αα>=且。

同理可得sin5β=，因此1tan7,tan2αβ==。

（1）17tan tan2tan()11tan tan172αβαβαβ+++==--⨯=-3。

（2）132tan(2)tan[()]11(3)2αβαββ-++=++=--⨯=-1，0,0,22ππαβ<<<<3022παβ∴<+<，从而324παβ+=。

16．：（I）E，F分别为AB，BD的中点EF AD⇒EF ADAD ACD EF ACDEF ACD⎫⎪⇒⊂⇒⎬⎪⊄⎭面面面。

（II）EF ADEF BDAD BDCD CBCF BD BD EFCF BDEF CF F⎫⎫⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪=⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪=⎪⎪⎭面为的中点又BD BCD⊂面，梦想不会辜负一个努力的人所以EFC D ⊥面面BC17． （I ）①由条件可知PQ 垂直平分AB ，()BAO rad θ∠=，则10AQ OA COS BAO COS θ==∠ 故10OB COS θ=，又1010tan OP θ=-，所以10101010tan y OA OB OP COS COS θθθ=++=++-2010sin 10(0)cos 4θπθθ-=+<<。

②()OP x km =，则10OQ x =-，所以OA OB ===所以所求的函数关系式为10)y x x =+<<。

（I ） 选择函数模型①。

22210cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)cos cos y θθθθθθ-----'==。

令0y '=得1sin 2θ=，又04πθ<<，所以6πθ=。

当06πθ<<时，0y '<，y 是θ的减函数；64ππθ<<时，0y '>，y 是θ的增函数。