绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式:样本数据1x ,2x , ,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= ▲ .【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒= 【答案】102．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为 4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共 3 个，故316612P ==⨯ 【答案】1123．若将复数11ii +-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i++==-，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b +=锥体体积公式13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高 球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=【答案】14．若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 ▲ 个元素【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由2(1)37x x -<+得2560x x --<,(1,6)A =-∴，因此}{0,1,2,3,4,5A Z = ，共有6个元素．【答案】65．已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7【答案】76．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是 ▲【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7．某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为▲【解析】由流程图1122334455S G F G F G F G F G F =++++4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.08=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯6.42=【答案】6.42 8．设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是▲【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x =，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19．如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程： ( ▲ )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。

【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x yb a+=，直线CP ：1x y c p +=，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 【答案】11c b- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为▲【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n-个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11．设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz的最小值是▲【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15………………229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 【答案】312．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为▲【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得2c e a ==．13．满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值▲【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC， 根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 244x x-=，代入上式得 ABC S ∆=由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值【答案】14．设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为▲【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递()331f x ax x =-+减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：本大题共6小题，共90分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点．已知A B ，两点的横坐标分别是10（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．【试题解析】先由已知条件得cos 105αβ==，第（1）问求tan()αβ+的值，运用正切的和角公式；第（2）问求2αβ+的值，先求出tan(2)αβ+的值，再根据范围确定角的值。

【标准答案】（1）由已知条件即三角函数的定义可知cos 10αβ==， 因α为锐角，故sin 0α>，从而sin α==同理可得sin β==，因此1tan 7,tan 2αβ==.所以tan()αβ+=17tan tan 231tan tan 172αβαβ++==---⨯ ; （2）132tan(2)tan[()]111(3)2αβαββ-++=++==---⨯, 30,0,02,222πππαβαβ<<<<<+<又故从而由 tan(2)1αβ+=- 得 324παβ+=.()331f x ax x =-+A BC DEF B16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ．【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面ACD 内找一条直线和直线EF 平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。

【标准答案】 证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴E F ∥AD ，∵E F ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线E F ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，E F ∥AD ，∴E F ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵B D ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ． （1）按下列要求建立函数关系式：（i ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （ii ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

【解析】本小题主要考查函数最值的应用．（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-， 所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+≤≤ （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----== 令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y <，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y >，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边3km 处。