小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S i：S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S A CD &BCD ；反之，如果S A A CD S A B CD，则可知直线AB平行于CD .④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的咼之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC 上）,则S A ABC : S A ADE（AB AC）：（AD AE）图⑴图⑵三、蝶形定理任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”）：① S1 :S2 S4 : S3或者MS S2 S4② AO:OC s S2 : S4 S3 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：①S1: S3a2: b2C②S i: S3: S? : S4 a2 : b2 : ab : ab ；③S的对应份数为a b2.四、相似模型（一）金字塔模型 (二）沙漏模型① AD AE DE AF ； ABAC BC AG '② ADE ：ABC AF ：AG .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形 （只要其形状不改变, 不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如 下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似 比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型） 在三角形 ABC 中，AD , BE , CF 相交于同一点 O ，那么SABO ： SACO BD ：DC . 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 为ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称 为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径 典型例题【例1】 如图，正方形 ABC 啲边长为6, AE 1. 5, CF 积为【解析】连接DE DF 则长方形EFGH 勺面积是三角形DEF 面积的二倍.三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,S A DEF 6 6 1.5 6 2 2 6 24.5 4 216.5 ,所以长方形 EFGH面积为33.【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米, 那么长方形的宽为几厘米？A _ jD G2.长方形EFGH 勺面BC【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半.证明：连接AG .（我们通过厶ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起）.T 在正方形ABCD 中，SA ABG- AB AB 边上的高,21•I S A ABG-S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）二正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等.长方形的宽8 8 10 6.4（厘【例2】 长方形ABCD 的面积为36cm 2 , E 、F 、G 为各边中点, 意一点，问阴影部分面积是多少？【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下图：所以阴影部分的面积是：S 阴影18 S EBF 18 4.5 13.5解法二：特殊点法.找H 的特殊点，把H 点与D 点重合， 那么图形就可变成右图：这样阴影部分的面积就是 DEF 的面积，根据鸟头定理，则有:1 1 1 1 1 1 1 S 阴影 S ABCD S AED S BEF S CFD 36 363636 13.5 .22 22 22 2【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边 二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法， 假设P 点与A 点重合，贝S 阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1和丄，所以阴影部分的面积为4662 （丄1 15平方厘米.4 6同理,£ ABGS EFGB.H 为AD 边上任1—S DHC ,而 2可得S EHBI S2S ABCD S AHBS CHBS CHD36即S EHBSBHFSD HG而SEBF1 BE BF 1 G AB) (222 221 SAHB、S FHB—SCHB 2、 S D HG1二(SAHB S CHBS CHD )1 36 18 22SEHB S BHF S DHGS阴影SEBF1 BC) 36 4.58（法2）连接PA、PC .由于PAD 与PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的［，同理可知4左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的〕，所以阴6影部分的面积为62 (1 1) 15平方厘米.4 6【例3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70, AB 8 , AD 15 , 四边形EFGO 的面积为 ____________ .【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的 面积.由于长方形ABCD 的面积为15 8 120 ,所以三角形BOC 的面积为120 1 30，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为120 - 70 20 ；4 4又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为1201-30，所以2 4四边形EFGO 的面积为30 20 10 .另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 三角形AFC 面积 三角形 BFD 面积 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 三角形BFD 面积为长 方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部 分的面积，即120 70 50，所以四边形的面积为60 50 10 .【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36, E 是AD 的三等分点，AE 2ED ，则S 1SOEN23 1 6 12.7 .25【例4】 已知ABC 为等边三角形，面积为400, D 、E 、F 分别为三边的中点， 已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形HBC )【解析】因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的 中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角 形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有S ABCS S ABN S AMCS AMHN,阴影部分的面积为 _________ .【解析】如图，连接OE .根据蝶形定理，ON : NDS COE : S CDE:SCAECDE21:1 ,所以OM : MAS BOE : S BAE1S :S_ S BDE : SBAE 21:4，所以 S OEM1SOEA.又 S OED1 13 4S 矩形 ABCD3, SOEA2S OED 6，所以阴影部分面积为:即400 S丙200 200 S AMHN，所以S W S AMHN .【例5】 【解析】 又S 阴影 S ADF S ? S ^ S AMHN, 所以1 S 阴影 S?足 SW S ADF 1434004女口图，已知 CD 5 , DE 7 , EF 15 , FG 左边部分面积是 38,右边部分面积是 是 __________ . 连接AF , BD .根据题意可知，CF 5 7 1515所以，SBEFSCBF, S BEC21 15 于疋： S ADG286 ,线段AB 将图形分成两部分，65,那么三角形ADG 的面积7 15 6 28 ；217， S AEGS ADG ， SAEDS ADG，' 28 28 '12 S CBF 65 ； s ADG S CBF 38 ； 27 28 27 可得S ADG 40 .故三角形ADG 的面积是40.女口图在 △ ABC 中，D,E 分别是 AB,AC 上的点，且 AD: AB 2:5 , AE : AC 4:7 , S AADE 16平方厘米，求△ ABC 的面积. 连接 BE , S ADE : S ABE AD : AB 2 :5 (2 4) :(5 4), S A ABE : S A ABC AE : AC 4:7 (4 5): (7 5), 所以 S A ADE : S A ABC (2 4):(7 5),设 S A ADE 8份，则S A ABC 35份，S A ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC 的面积是70平方厘米.由此我们得到一 个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角 (相等角 或互补角)两夹边的乘积之比. 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1,那么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】连接BE .27 ； DG12 S CBF27±S'28S A DG【例6】 【解析】 …S VABC 3S VABE又 T AB 5AD…S VADES V ABEEC 3AE 5 S VABC 15，…S VABC 15S VADE 15 .【巩固】如图，三角形 ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 连接AD . 【解析】 【例7】 【解析】-BE 3 , AE 6• • AB 3BE , S VABD 又 T BD DC 4, …S V ABC 2 S V ABD ，…S V ABC 6S V BDE , S 乙 5S ?.如图在A ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB: AD 5:2 , AE: EC 3:2 , S A ADE 12平方厘米，求 △ ABC 的面积. 连接 BE , S A ADE : S A ABE AD : AB 2:5 (2 3):(5 3)3S VBD ES^ABE : S ^ABC AE : AC 3: (3 2)(3 5) : (32) 5,所以 ADE : ABC (32) : 5 (32)6:25，设S^ ADE 6份，则S^ ABC 25份, $△ADE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC 的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共 角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 女口图，平行四边形 ABCD , BE AB , CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ，平 行四边形ABCD 的面积是2 ,求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积 比.连接AC 、BD .根据共角定理•.•在 △ ABC 和厶BFE 中， ABC 与 FBE 互补，• ABC AB BC 11 1…S A FBE BE BF 口 3 •又S △ ABC 1 , 所以S A FBE 3 .冋理可彳得 S A GCF 8 , SA DHG 15 , SA AEH 8 . 所以 S EFGH S A AEH S A CFG S A DHG S A BEF S ABCD 8 815+3+2 36.所以注z 丄.SEFGH36 18如图所示的四边形的面积等于多少？ 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接 求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角 形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图 形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的 面积.因此，原来四边形的面积为12 12 144.(也可以用勾股定理) 【例10】如图所示，ABC 中，ABC 90 , 作正方形ACDE ，中心为O ,求OBC的面积. 【解析】如图，将OAB 沿着O 点顺时针旋转90，到达OCF 的位置.由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B 、C 、F 三点在一条直线上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边 BF 为5 38,所以它的面积为82 - 16 .4根据面积比例模型，OBC 的面积为16 5 10 .8【例11】如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形 ABE ,AEB 90 , AC 、BD 交于O .已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三 角形OBE 的面积.【解析】如图，连接DE ，以A 点为中心，将 ADE 顺时针旋转90到ABF 的位置.【例8】 【解析】 【例AB 3 , BC 5 ,以AC 为一边向 ABC 夕卜那么 EAF EAB BAF EAB DAE 90，而 AEB 也是 90 , 形AFBE 是直角梯形，且 AF AE 3 ,所以梯形AFBE 的面积为： 【解析】如图，我们将BCD 平移使得CD 与AF 重合，将DEF 平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了.这样就组成了一个长方形BGFD , 它的面积与原六边形的面积相等， 显然长方形BGFD 的面积为24 18 432 平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米.【例13】如图，三角形 ABC 的面积是1 , E 是AC 的中点，点 D 在BC 上，且【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC 2DE , F 是DG 的中点. 影部分的面积是多少平方厘米？平方厘米.【例14】四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点0(如图所示).如果三角形ABDS A ADE 1S A 21 ADC—2 2S 38 ABC13，所以 BF FESA ABDSA ADE1-,11 11 1 11S A DEFS A DEBS A BEC——S A ABC22 323 212方法二：连接DE ，由题目条件可得到S A ABD2S A ABC2，而 S ACDE2 3 - 2& ABC所以四边3 5 3 - 12( cm 2).2又因为ABE 是直角三角形，根据勾股定理, 所以S ABD 那么S BDE1 2 -AB 2 17( cm 2).2AB2 2AE BE2 23 534 ,所以S OBE1—S BDE2・5( cm 2).BD:DC 1:2 , AD 与 BE 交于点 F . 【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理, 设S A BDF 1份，则 如图所标所以S DCEF12S A DCF 2份， 则四边形DFEC 的面积等于 _______ .生1, EC ' S A EFC 3份， ABF S^ ACFSA ABF BD - DC 2 3份，& ABF S A CBF SA AEF5_123 .所以则四边形DFEC 的面积等于12 .【解析】设S A DEF 1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影討BCD5 1212 5( cm 2)，S ABD S ABE S ADE S ABDS A FBE17【例12】如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED , AF CD , BC EF ，且有AB 平行 于ED , AF 平行于CD , BC 平行于EF ,对角线FD 垂直于BD ,已知FD 24 厘米，BD 18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？的面积等于三角形BCD 的面积的1，且AO 2 , DO 3，那么CO 的长度3是DO 的长度的 _________ .【解析】在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决； ⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件 S VABD : S/BCD 1：3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又 观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得 到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边 形”，于是可以作AH 垂直BD 于H , CG 垂直BD 于G ,面积比转化为高之 比.再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结 果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而 主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.解法一：T AO ：OC S ABD ：S BDC 1：3，二 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:3 2:1 .解法二：作 AH BD 于 H , CG BD 于G .• 1 • • …AO —CO ，…OC 2 3 6，…OC:OD 6:32:1 .3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成 4个三角形，其中三个三角形的面 积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG:GC ?【解析】⑴根据蝶形定理 ,^/BGC 1 2 3 , 那么S V BGC 6； ⑵根据蝶形定理，AG:GC 12:361:3 .【例15】如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，A CEF 、△ OEF 、△ODF 、△BOE 的面积依次是2、4、4和6.求：⑴求A OCF 的面积；⑵求A GCE 的面积.【解析】 ⑴根据题意可知，△ BCD 的面积为2 4 4 6 16 ,那么△ BCO 和CDO 的面 积都是16 2 8，所以△ OCF 的面积为8 4 4 ；⑵由于△ BCO 的面积为8, △ BOE 的面积为6,所以A OCE 的面积为8 6 2 ,根 据蝶形 定理，EG:FG S COE :S COF 2:4 1:2, 所以S GCE : S GCF EG : FG 1: 2 ,1 1 2那么 S GCE- S CEF ；2 —.1 2 3 3【例16】 如图，长方形 ABCD 中，BE:EC 2:3 , DF :FC 1:2，三角形DFG 的面积 为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积.【解析】连接AE , FE .•/ SABD—S BCD，…AH1CG ，二 SAOD 31S 3 DOC因为BE: EC 2:3 , DF:FC 1:2 , 所以s 阴影2 2 4份，所以s 阴影：S 正方形1: 3，所以s 阴影1平方厘米.【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，三 角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 ____________________ 平方厘米.【解析】连接DE ,根据题意可知BE:AD 1:2 ,根据蝶形定理得s 梯形"2）9（平方厘米），S A ECD 3（平方厘米），那么S WABCD 12（平方厘米）.【例18】已知ABCD 是平行四边形，BC:CE 3:2，三角形ODE 的面积为6平方厘 米.则阴影部分的面积是 ______________ 平方厘米.【解析】连接AC .由于 ABCD 是平行四边形， BC:CE 3:2，所以CE: AD 2:3 , 根据梯形蝶形定理， S VCOE : S VAOC : S VDOE : S VAOD 2 : 2 3: 2 3： 34：6：6：9 , 所以S VAOC 6 （平方厘米），S VAOD 9 （平方厘米），又 S VABC S VACD 6 9 15（平方厘米），阴影部分面积为6 15 21（平方厘 米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE.2根据蝶形疋理，SOCD SOAE SOCE SOAD 4 936，故 SOCD 36, 所以sOCD 6（平方厘米）.【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 ______________平方厘米.【解析】连接AE .由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么S OCD S OAE . 根据蝶形定理，SOCD SOAE SOCE SOAD2 816，故 SOCD 16,S /DEF(3 11但 1s(丿s 长方形ABCD s 长方形ABCD.5 3 210因为 SVAED S 长方形 ABCD, AG : GF —2 2 —5:1 10因为,所以 SVAGD5S V GDF 10平方S/AFD — S 长方形 ABCD， 所以长方形6【例17】【解析】 ABCD 的面积是72平方厘米.如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米， 影部分的面积.因为M 是AD 边上的中点，所以AM : BC 道 SA AMG:S A ABG ： S A MCG ： S A BCG 12：（1 2）:（12）:22SA MCDM 是AD 边上的中点.求图中阴 1:2，根据梯形蝶形定理可以知1:224，设 S A AGM1 份，则1 2 3份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，所以S°CD 4（平方厘米）.另解：在平行四边形ABED中，S ADE 1S YABED1 16 8 12 （平方厘米），2 2所以S AOD 12 8 4（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）.【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为____________ 平方厘米.【解析】连接DE、CF .四边形EDCF为梯形，所以S EOD S VFOC，又根据蝶形定理，S EOD S FOC S EOF S COD , 所以S EOD S FOC S EOF S COD 2 8 16，所以S EOD 4（平方厘米），S ECD 4 8 12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面积为12 2 24平方厘米，四边形OFBC的面积为24 5 2 8 9（平方厘米）.【例20】如图，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK:KB 1:3，则BKD的面积是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，BDK和ACK的面积是相等的.而AK :KB 1:3，所以ACK的面积是ABC面积的丄1,那么BDK的面积也是ABC面积的-.1 3 4 4由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM DE，可见ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.那么BDK的面积为48 1 12 .4【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB , BC , CD , DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m，那么，（m n）的值等于__________ .n【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积.如下图所示，在左图中连接EG .设AG与DE的交点为M .左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的［，所4 以三角形AMD的面积为12 1 1】.又左图中四个空白三角形的面积是2 4 8相等的，所以左图中阴影部分的面积为1 1 4丄.8 2如上图所示，在右图中连接AC、EF .设AF、EC的交点为N .可知EF // AC且AC 2EF .那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的丄，所以三角形BEF的面积为12 1 1 1，梯形AEFC的面积为 1 1 ?.4 2 4 8 2 8 8在梯形AEFC中，由于EF:AC 1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1 2:1 2: 22 1: 2: 2: 4 ,所以三角形EFN 的面积为 丄，那么四边形BENF的面积为-—1 .而右图中四个空2 4 248 246白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为那么m n 3 2 5 .如图， △ ABC 中，DE , FG , BC 互相平行，AD DF FB , 则S A ADE :?四边形DEGF :5四边形FGCB.S四边形FGNM 5^^, S四边形 MNQP 7^份，S四边形PQCB 9份.所以有【例23】如图，已知正方形ABCD 的边长为4 , F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且DE: EC 1:3 , AF 与BE 相交于点G ，求S A ABG【解析】方法一：连接AE ，延长AF , DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏,已知平行四边形ABCD 的面积是1 , E 、F 是AB 、AD 的中点,BF 交EC 于M ，求 BMG 的面积.【解析】 解法一：由题意可得， E 、F 是AB 、AD 的中点，得 EF//BD ，而那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为3: 2，即【例22】1份，根据面积比等于相似比的平方,【解析】设 S A ADE 所以 S A ADE : S A AFG AD 2 :AF 21:4 , 因此 S A AFG 4份， S A ABC 9份， 进而有 S 四边形DEGF 3份，S四边形FGCB 【巩固】如图，DE 平行BC ，且AD2 , 【解析】由金字塔模型得 AD: AB AE: AC【巩固】如图， A ABC 中，DE , FG , 相平行，2 2S A ADE : S A ABC AD : AB 1: 9 , 5份，所以S A ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGCBAB 5 , AE 4，求 AC 的长. DE:BC 2:5，所以 MN , PQ , BC 互 1: 3: 5AC 4 2 5 10AD DF FM MP PB ，贝卩S A ADE : S 四边形DEGF : S 四边形FGNM : S 四边形MNQP:S 四边形PQCB 【解析】设S ^ ADE1份， S A ADE : S A AFG AD 2 : AF 2 1: 4，因此匕S A AFG4份，进而有 S四边形DEGF 3份，同理有个沙漏有 GB: GE AB: EM4:7，所以 S A ABG44S 4 7S A ABE 11 方法二连接AE,EF ,分 别 求 S A ABF S A AEF44 4 12 3 2 2 4 7, 根 据蝶3,再根据另一32 (4 4 2)114 2 2 4 ,形定理S A ABF :S A AEFBG:GE 4:7，所以 S A ABGSA ABE— (4 4 2)1132 11【例24】如图所示,所以有AB:CM BF: FC 1:1 ,因此CM 4 ,根据题意有CE30 .【例26】 如右图，三角形 ABC 中，BD: DC 4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB . 【解析】根据燕尾定理得S ^AOB S AOC BD : CD 4:912: 27(都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数) 所以 AOC ： S 4 BOC 27:16 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们 用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到 解奥数题四两拨千斤的巨大力量！ 【巩固】 如右图，三角形 ABC 中，BD:DC 3:4 , AE:CE 5:6，求 AF : FB .【解析】 根据燕尾定理得S A AOB S AOC BD:CD 3:4 15: 20FD : BC FH : HC 1:2 ,EB:CD BG:GD 1:2所以 CH :CF GH : EF 2:3 ,并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH ,BG:EF BM : MF 2:3，所以 BM 2BF , S BFD51 2又因为BG 〔BD ，所以 SBMG ；二 SBFD33 5解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，1:1，从而可以确定 BM -BF , I 5—S Y ABCD4NB DE可得，AI : BC AE:EBBM : MF BC:IF 2:3 , 可得 S BMGS BDF5 3【例25】 如图，ABCD 为正方形，PQRS 的面积为多少？ 【解析】（法1）由AB//CD ，有 世 MN MQ QC iMC ，所以 PQ2 所以 2 1 5 3AM 所以1S S ABD 22 51 1 12 尹BCD；；1M 的点的位置, （鸟头定1 BG - BD3 1 I30FC 1cm 且 MN2 cm ，请问四边形PC DC1 1 MC MC2 3,所以PC 2PM ，又 QC—MC ，所 S SPQR6些，所以EC占 S AMCF 的1,1 (1 1 2) (cm ).3 (法2)如图，连结AE ，则2、4 8 ( cm ),而些空，所以竺AB EFEF S MBQ S ANS3 42所以MP 1MC ，则S3AB c c 2 c 2 c 16 / -2 , S ABR — S ABE 一 8 —( 3 3 3 2 MN MP3( cm ),因为 ---- DC PC丄2 4 1彳(cm 2)，阴影部分面积等于2 3 3 164 22\3 3( cm ). 3 3 3 EF12 MNPS ABR S ANS S MBQ S MNPcm 2).【解析】 根据燕尾定理得S SOB S AOC BD：CD 2:3 10:15（都有△ AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 s ^AOC : s ^BOC 15:8 AF : FB【点评】本题关键是把△ AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到 解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【例27】 如右图，三角形 ABC 中，AF : FB BD: DC CE: AE 3: 2 , 面积是1 ,则三角形ABE 的面积为 ___ 三角形GHI 的面积为 【分析】连接AH 、BI 、CG .由于CE: AE 3: 2，所以AE 根据燕尾定理，且三角形ABC 的 三角形AGE 的面积为S ACG : S ABG : S BCGSACG : S ABG4:6:9 ，贝y 2 £ _8 5 19 95 'S ACH那E 么 S AGE S AGC5同样分析可得EG : EB S ACG : S ACB 4:19AG:GI :ID 10:5: 4 ,所以S BIE -S BAE - 210 105 AC ,S ABE 5CD : BD4_19S ACG9 192ss ABC -5SBCG : S ABG9 . S BCG192:3,则,所以 EG:GH:HB2 ；5 ；；CE :EA 3: 2，所以EG : EH S ACG : S ACH 4 : 9,,同样分析可得4:5:101 5【巩固】如右图，三角形ABC 中， 面积是1，求三角形ABC 的面积.【解析】连接BG根据燕尾定理 ，S A AGC ：S A BGCS ^ ABG : S A AGC BD : DC 3: 2 9 : 6 得S A BGC 4（份）,SA ABG- 55S GHIS BIE 19 19 1 丄5 19AF : FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形 GHI 的AF : FB 3: 2 6:4，6 19 , 6 丄 19因此生型SA ABC卫，出5,所以 S A G HI 19 6 6 19 S A ABC 19 S A ABC19所以三角形ABC 的面积是19CE 2EB , AF 9（份），则S^ ABC 19（份）,同理连接AI 、CH 得也 S^ ABC三角形GHI 的面积是1, 【巩固】如图，ABC 中BD 2DA , 三角形面积的【分析】如图，连接AI .2FC ，那么ABC 的面积是阴影倍. 根据燕尾定理，S BCI : S ACI BD : AD 2:1 , 所以， S ACI : S BCI : S ABI 1:2:4 , 那么， s BCISBCI : S ABI CF: AF 1: 2,2c 2QS ABC— S ABC . 12 47 同理可知ACG 和ABH 的面积也都等于 ABC 面积的三，所以阴影三角 7形的面积等于 ABC 面积的1 ? 3丄，所以ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍.【巩固】如图在A ABC 中，竺更更 丄，求A GHI 的面积的值. DB EC FA 2 A ABC 的面积【解析】连接BG 设S A BGC 1份，根据燕尾定理 S A AGC : S A BGC AF : FB 2 :1 , S A ABG : S A AGC BD : DC 2 :1 , ^得 S A AGC 2 （份）,7（份），因此 二 扌，同理连接AI 、CH 得△ AGCSA ABCS A ABH 2 S A BIC 2 以 GHI 7 22 21 SA ABC 7 S A ABC7SA ABC7 7【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置 上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很 多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们 有对称法作辅助线• 【例28】 如图，三角形ABC 的面积是1 , BD DE EC , CF FG GA ,三角形ABC 被 分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？ 【解析】设BG 与 AD 交于点P, BG 与 AE 交于点Q BF 与AD 交于点M 交于点N.连接CP CQ CM CN 根据燕尾定理， S A ABP : S A CBP S A ABP 1（份），则 S A ABC S A ABG4（份）,则 S A ABCBF 与 AE 同理可得,S A ABQAG : GC 1:2 , S 1 2 2 5（份），所以 S A ABP -,S A ABN 71,而 S A ABG△ ABP : S A ACP BD : CD 1 5所以S A APQ1： 2，设 1 _3 5 35g 12 1 S A AQG 3 721同理， 2 ,所以S四边形S 四边形MNEDS A BPM— S A BDM 3513 9 匚。