复习提纲注意：以下出现的Ex1表示的对应习题中的第一题，其余表示符号类推。

1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分 直角坐标系下：把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序，再把其中的二重积分化为二次积分，由此把三重积分化为三次积分。

先一后二：先把Ω向某个坐标面投影得到平面闭区域D(比如向xOy 面投影得到Dxy)，再以Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于z 轴的柱面，把Ω的边界曲面分为上下部分，其方程分别记作()()21,,,z z x y z z x y ==，()()12,,z x y z x y ≤。

则Ω表示为：()()()12,,,xy x y D z x y z z x y ∈≤≤，。

再把Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。

先二后一：先把Ω向某个坐标轴投影得到区间I(比如向z 轴投影得到[Z1,Z2])，再从[Z1,Z2]上任取一点z ，过该点作一垂直于z 轴的平面，截Ω得到平面闭区域Dz ，则Ω表示为：()12,z z z z x y D ≤≤∈， 。

再把Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。

柱面坐标系下：实为直角坐标系下使用先一后二的做法时，选择Dxy 为极坐标系，把Ω表示为如下形式：()()()12,,,xy D z z z ρθρθρθ∈≤≤，。

Dxy 下,ρθ的取值范围可参照二重积分（有两种情形）。

当Ω的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时，可考虑使用柱面坐标系。

球面坐标系下：当Ω的是球体或半球体或球面与锥面围成时，可考虑使用球面坐标系，其积分变量,,r θϕ的范围的确定请参照课堂例题。

示例：159页 例1，例2，例3；习题10-3，Ex1，Ex4，Ex9，Ex10。

2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式，会套用公式计算。

示例：167页 例1，例4习题10-4，Ex1，Ex53、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法，曲线质量、质心的求法L 是平面曲线时，其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程，化弧长的曲线积分为定积分的关键点：曲线方程代入被积函数进行化简；弧微分ds 套公式化简；由曲线方程确定积分限。

L 是空间曲线时，只考虑其方程是参数方程的情形，做法同上。

示例：习题11-1，Ex3 (1)，(2)，(4)，(6)，(7)，Ex4。

4、掌握对坐标的曲线积分的基本计算方法计算方法与与对弧长的曲线积分类似，区别是积分变量的积分限要考虑曲线的方向，积分下限对应于起点，积分上限对应于终点。

示例：197页例2，例3，习题11-2，Ex3 (1)，(4)，(7)5、掌握格林公式的使用方法以及格林公式的应用格林公式的条件、结论格林公式使用时，若曲线不封闭，可选择直线、折线段或曲线段补全。

曲线积分计算平面闭区域的面积公式平面曲线积分与路径无关的条件(单连通区域下)全微分求积(与全微分方程结合)示例：习题11-3，Ex2 (1)，Ex4，Ex5，Ex8(可作为全微分方程的练习题)6、掌握对面积的曲面积分的基本计算方法化对面积的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；曲面面积公式dS借用前述公式化简；积分区域由曲面向坐标面投影确定。

示例：习题11-4，Ex5，Ex6 (1)7、掌握对坐标的曲面积分的基本计算方法化坐标的曲面积分为二重积分的关键点：曲面方程代入被积函数进行化简；由题目中出现的坐标来确定曲面向哪一个坐标面投影，积分曲面的侧由其指定侧的法向量的方向余弦的正负确定。

226页，例2也可使用两类曲面积分之间的关系，在dydz、dzdx、dxdy之间进行转化，228页，例3示例：参照课堂例题8、掌握高斯公式的使用方法(单连通区域下)高斯公式的条件、结论高斯公式使用时，若曲面不封闭，可选择平面补全，注意所选平面的侧与原曲面的侧合并为闭曲面的外侧或内侧。

向量场的散度、旋度的计算示例：习题11-6，Ex1 (1)，(2)，Ex3，习题11-7，Ex39、掌握等比级数的收敛性、和，级数的5个基本性质的使用示例：习题12-1，Ex410、掌握正项级数的收敛性的判定方法：比较法、比值法、根值法，极限法可合并入比较法判定收敛性时，先用级数的性质5，再使用比值法、根值法，最后考虑比较法。

掌握交错级数的收敛性的判定：莱布尼兹定理。

判定绝对收敛性时，先用比值法或根值法判定∑|Un|：若收敛，则原级数绝对收敛；若发散，则原级数发散。

若比值法、根值法失效，可用比较法或级数收敛性的定义或性质判定∑|Un|，但∑Un也需判定。

了解柯西乘积的做法。

示例：参照课题例题11、 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，和函数的求法，函数的幂级数展开式的求法掌握Abel 定理，由此判断幂级数的收敛域的特点。

参照课堂例题掌握幂级数的各种形式下收敛半径、收敛区间、收敛域的求法，参照课本例题以及课堂例题用等比级数，使用幂级数的四则运算法则或逐项求导、逐项积分的方法求幂级数的和函数，并求出某些常数项级数的和。

掌握1,sin ,cos ,1x e x x x的的麦克老林级数展开式及其收敛范围，熟练应用间接展开法求有理函数的幂级数展开式。

示例：276页，例6，习题12-3，Ex1，(1)，(6)，(7)，(8)，Ex2，283页，例5，习题12-4，Ex5，Ex612、 掌握傅里叶级数的系数的求法、表达式以及Dirichlet 收敛定理。

示例一：311页，例4，例5示例二：把f(x)=x 或|x|在(-π,π)内展开为傅里叶级数，把f(x)=x 在(0,π)内展开为正弦级数或余弦级数。

除此之外的题目不作要求13、 微分方程微分方程的阶、解、通解、特解，一、二阶线性方程的解的特点、通解的结构、叠加原理一阶微分方程的类型：可分离变量的微分方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程(带星号*内容，除伯努利方程外其余不作要求，积分因子法不作要求)二阶常系数齐次线性方程的特解的求法：求特征方程的根，分三种情形讨论。

由特解或通解，如何求微分方程？ 示例：参照课堂例题模拟题一、选择题：1～9小题，每小题3分，共27分。

1.()10,ydy f x y dx ⎰⎰＝（ ）（A ）()1,xdx f x y dy ⎰⎰ （B ）()11,dx f x y dy ⎰⎰ （C ）()11,xdx f x y dy ⎰⎰ （D ）()1,xdx f y x dy ⎰⎰2. 设曲线L 是平面闭区域D 的正向边界，则D 的面积是（ ） （A ）12Lxdy ydx -⎰ （B ）Lxdy ydx -⎰ （C ）12Lydx xdy +⎰（D ）Lxdy ydx +⎰3. 设∑是锥面)01z z =≤≤，则()22x ydS ∑+⎰⎰＝（ ）（A ）13d d πθρρ⎰⎰ （B ）2130d d πθρρ⎰⎰（C ）13d d πθρρ⎰ （D 213d d πθρρ⎰4. 下面命题中正确的个数是（ ）①若1n n u ∞=∑收敛，则101n n u ∞+=∑也收敛；②若1n n u ∞=∑发散，则()10.01n n u ∞=+∑也发散；③若1n n u ∞=∑,1n n v ∞=∑都收敛，则()1n n n u v ∞=⋅∑也收敛；④若lim 0n n u →∞=，则1n n u ∞=∑收敛.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45. 若幂级数()11nn n a x ∞=-∑在x=0处条件收敛，0n a >，则幂级数1n n n a x ∞=∑的收敛域是（ ）（A ）()1,1- （B ）[)1,1- （C ）()0,2 （D ）[)0,26. 函数()()10f x x x π=+<<的以2π为周期的正弦级数在x=0处收敛于（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）1/27. 对于函数2y x C =+（C 是任意实数）与微分方程2y ''=，以下说法正确的是（ ） （A ）2y x C =+是2y ''=的通解； （B ）2y x C =+是2y ''=的一个特解； （C ）2y x C =+不是2y ''=的解； （D ）2y x C =+是2y ''=的解，但不是通解.8. 微分方程22yy xy '=-的类型是（ ）（A ）齐次方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）伯努利方程9. 微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的三个线性无关的特解是123,,y y y ，则其通解可以表示为（ ）（A ）112233C y C y C y ++ （B ）12233y C y C y ++ （C ）()()1121231y C y y C y y +-+- （D ）()()112223C y y C y y -+-二、填空题：10～17小题，每小题4分，共32分。

请把答案写在题中横线上。

10. 若Ω由曲面22z x y =+与平面z=1围成，那么三重积分()22f x ydxdydz Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成的三次积分是__________.11. 曲线1:22=+y x L 上的积分()22Lx yds +⎰ ＝_______.12. 设曲面∑为平面12x y z ++=在第一卦限中的部分，则dS=________dxdy ，()22x y z dS ∑++⎰⎰＝________.13. 向量()()()k x y j z x i y z A2332-+-+-=的旋度=A rot ________.14. 若级数1n n u ∞=∑收敛于S ，则级数()11n n n u u ∞+=+∑收敛于_________.15. 函数()ln 1x +在x=0处的幂级数展开式是_________________，收敛域是_________.16. 微分方程2y xy '=满足01x y==-的特解是_______________.17. 以212x x y C e C e -=+为通解的二阶微分方程是_________________. 三、解答题：18～21小题，18小题11分，19～21小题每题10分，共41分。

18. 计算曲线积分()()22sin Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是圆周22xx y -=上由点()0,0到点()1,1的一段弧.19. 计算曲面积分333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，∑是上半球面z =的上侧.20. 求幂级数21nn n x ∞=∑的收敛域与和函数，并求出常数项级数212nn n ∞=∑的和.21. 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R kv =，其中k ＞0，v 为物体运动的速度。