1：如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.2：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点D 是BC 的中点，DP AC ,垂足为点P .（1）求证：PD 是⊙O 的切线.（2）若AC =6, cosA=35，求PD 的长.3.如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 于点M ，且M 是CD 的中点.过点B 作BE ∥ CD ，交AC的延长线于点E .连接BC ．（1）求证：BE 为⊙O 的切线；（2）如果CD =6，tan ∠BCD=21，求⊙O 的直径的长．A BCDODBOCAP E BMDCO A4.如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，CD AC =.（1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若2=OA ，求AC 的长.5.如图，点P 在半O 的直径BA 的延长线上，2AB PA =，PC 切半O 于点C ，连结BC .（1）求P ∠的正弦值； （2）若半O 的半径为2，求BC 的长度.6.如图，△DEC 内接于⊙O ，AC 经过圆心O 交O 于点B ，且AC ⊥DE ，垂足为F ，连结AD 、BE ，若1sin 2A =，∠BED=30°．（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）DCE △是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O 的半径2R =，试求CE 的长．AB CD EO F C BA O P三角函数与二次函数的综合：7.已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点.（1）求m，n的值；（2）把抛物线沿x轴翻折，再向右平移2个单位，向下平移1个单位，得到新的抛物线C，求新抛物线C的解析式；（3）已知P是y轴上的一个动点，定点B的坐标为（0，1），问：在抛物线C上是否存在点D，使△BPD为等边三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.例 1：（1）证明: 如图, 连接AO 并延长交⊙O 于点E , 连接BE , 则∠ABE =90°.∴ ∠EAB +∠E =90°. ……………………1分 ∵ ∠E =∠C , ∠C =∠BAD ， ∴ ∠EAB +∠BAD =90°.∴ AD 是⊙O 的切线. ……………………2分（2）解：由（1）可知∠ABE =90°.∵ AE =2AO =6, AB =4,∴ 5222=-=AB AE BE . …………………………………………………3分 ∵ ∠E=∠C =∠BAD , BD ⊥AB , ∴ .cos cos E BAD ∠=∠ ……………4分 ∴.AEBE AD AB =.6524=AD 即∴ 5512=AD . ……………………5分 例2：（1）证明：如图：连接 OD ，AD .∵D 为弧BC 的中点，∴弧CD = 弧BD.∴1122PAB ∠=∠=∠. ∵122BOD ∠=∠，∴PAB BOD ∠=∠.∴P A ∥DO . ………………………………1分 ∵D P ⊥AP ，∴∠P =90°.∴∠ODP =∠P =90°. 即 OD ⊥PD .∵点D 在⊙O 上，∴PD 是⊙O 的切线. ………………………………2分 （2）连结CB 交OD 于点E .∵AB 为⊙O 直径 ，∴∠ACB =∠ECP =90°. ∵∠ODP =∠P =90°，∴四边形PCED 为矩形.∴PD = CE ，∠CED = 90°.…………………………………………………3分 ∴O D ⊥CB.∴EB = CE. ……………………………4分 在R t △ABC 中，∠ACB = 90°，∴cos A = ABAC. ∵AC = 6 , cos A =53，∴AB = 10 . ∴BC = 8 .∴CE =PD =21BC = 4. ……………5分 例3.（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，M 是CD 的中点，∴CD ⊥AB . ……………………………………… 1分∴∠AMC ＝90°.∵BE ∥CD ，∴∠AMC ＝∠ABE .∴∠ABE ＝90°，即AB ⊥BE .又∵B 是⊙O 上的点，∴BE 是⊙O 的切线. ………………………………………… 2分（2）∵M 是CD 的中点，CD =6，∴CM =12CD =3.在Rt △BCM 中，∵tan ∠BCD =BM CM =12,∴3BM =12,∴BM=32. …………… 3分又∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°. ∵CM ⊥AB 于M ，∴Rt △AMC ∽Rt △CMAM CMCM BM=B .∴,∴2CM AM BM =⋅. ∴2332AM =⋅.∴AM =6. …………………………… 4分E AB CDO 12PACOBDE∴AB =AM +BM =6+32=152. ……………………………………… 5分即：⊙O 的直径的长为152. 4.（1）连结OC ∵OA =OC ，∠A =30°∴∠A =∠ACO =30°∴∠COD =60° 又∵AC =CD ，∴∠A =∠D =30°.∴∠OCD =180°－60°－30°=90° ∴CD 是半⊙O 的切线（2）连结BC ∵AB 是直径，∴∠ACB =90° 在Rt △ABC 中，∵cos A =ABACAC=ABcosA=4×3223=∴AC=325：（1）证明：如图，连接OC ．∵PC 切半O 于点C ，90PCO ∴∠=︒．…………………1分 ∵2AB PA =，PA OA OB OC ∴===．在Rt PCO △中，1sin 2OC P OP ∠==． ··············································································· 2分 （2）过点O 作OD BC ⊥于点D ，则2BC BD =．·························································· 3分1sin 2P ∠=，30P ∴∠=︒，60POC ∴∠=︒．∵OC OB =，30B OCB ∴∠=∠=︒．在Rt OBD △中，2OB =，cos303BD OB ∴=︒=．----------------------4分23BC ∴=．6.（1）连接OD ．--------------------------------1分∵30BED ∠=，60AOD ∴∠=， ∵1sin 2A =∴∠A=30∴∠A+∠AOD=90 ∴∠ADO=90 ∴ AD 是⊙O 的切线．---------------------------2分 （2）DCE △是等边三角形．理由如下：BC 为O 的直径且AC DE ⊥．CE CD ∴=．CE CD ∴=．--------------------3分BC 是O 的直径，90BEC ∴∠=，30BED ∠=，60DEC ∴∠=，DCE ∴△是等边三角形．-----------------------4分 （3）O 的半径2R =． ∴直径4BC =∵△DCE 是等边三角形，∴∠EDC=60∴∠EBC=60 在Rt BEC △中，sin CEEBC BC∠=， D CBA O Psin 60CE BC ∴=342=⨯23=---------------------------------------------------5分 答案：：（1）∵抛物线的对称轴为2-=x ， ∴4-=m ． ----------------------------1分 ∵抛物线与x 轴只有一个交点 ， ∴ 0422=-n m ．∴ 4=n ． ---------------------------2分 （2）∵4-=m ，4=n ， ∴442---=x x y ． ∴2)2(+-=x y ．∴抛物线C 的解析式为 12-=x y ． ---------------------------3分 （3）假设点D 存在，设D ),(b a ． 作y DH ⊥轴于点H ，如图． 则=DH ︱a ︱，=BH ︱b －1︱． 由△DPB 为等边三角形，得Rt △DHB 中，∠HBD =60°．∴BHDH=︒60tan ．∴13-=b a．∴22)1(3-=b a ．∵D ),(b a 在抛物线C 上 ， ∴12-=a b ． ∴1)1(32--=b b ． ∴2=b 或31=b ． ∴3±=a 或332±=a ． ∴满足条件的点存在，分别为)31,332(),31,332(),2,,3(),2,3(4321--D D D D ． --------------------7分H PB xOyD 4D 3D 1D 2。