egoodforso数学锐角三角函数与圆综合训练题1、如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA=∠CBD．（1）求证：CD2=CA•CB；（2）求证：CD是⊙O的切线；（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．解答：（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，∴△ADC∽△DBC，∴=，即CD2=CA•CB；（2）证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠1+∠3=90°．∵OA=OD，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=90°．又∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥OA．又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（3）解：如图，连接OE．∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB∴∠ABD+∠DBE=90∠OEB+∠DBE=90°，∴∠ABD=∠OEB，∴∠CDA=∠OEB．而tan∠CDA=，∴tan∠OEB==，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴===，∴CD=8，在Rt△CBE中，设BE=x，∴（x+8）2=x2+122解得x=5．即BE的长为5．2、如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B=∠CAE，EF：FD=4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD=10，求半径CD的长．解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2，∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3，∴∠ADE=∠DAE∴ED=EA，∵ED为⊙O直径，∴∠DFE=90°，∴EF⊥AD，∴点F是AD的中点；（2）解：连接DM，设EF=4k，df=3k，则ED==5k，∵AD•EF=AE•DM，∴DM===k，∴ME==k，∴cos∠AED==；（3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角，∴△AEC∽△BEA，∴AE：BE=CE：AE，∴AE2=CE•BE，∴（5k）2=k•（10+5k），∵k＞0，∴k=2，∴CD=k=5．oodforso 4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．（1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°，∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD；（2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5，∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC，在Rt△AEO中，OE=OA•cos∠AOE=OA•cos∠ABC=5×=3，∴DE=OD=OE=5﹣3=2，∴AE===4，在Rt△AED中，tan∠DAE===，∵∠DBC=∠DAE，∴tan∠DBC=．5、如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO的延长线于点E.（1）求证：∠EPD=∠EDO.（2）若PC=6，tan ∠PDA=43，求OE 的长.6、如图，AB 是⊙0的直径，C 是⊙0上的一点，直线MN 经过点C ，过点A 作直线MN 的垂线，垂足为点D ，且∠BAC=∠DAC ．（1）猜想直线MN 与⊙0的位置关系，并说明理由；（2）若CD=6，cos=∠ACD=，求⊙0的半径．7、已知：如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交 的延长AB O ⊙C O ⊙OD BC ⊥D C O ⊙OD 线于点，连结．（1）求证：与相切；（2）连结并延长交于点，若E BE BE O ⊙AD BE F 9OB =，，求的长．2sin 3ABC ∠=BF 1）证明：连结OC ∵OD ⊥BC 所以∠EOC =∠EOB ∴△EOC ≌△EOB∴∠OBE =∠OCE =90° ∴BE 与⊙O 相切（2）解：过点D 作DH ⊥AB∵△ODH ∽△OBD ∴OD ：OB =OH ：OD =DH ：BD又∵sin ∠ABC =∴OD =6 ∴OH =4，OH =5，DH 23又∵△ADH ∽△AFB ∴AH ：AB =DH ：PB ∴FB =8、如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：CD ∥ BF ； （2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD=54，求线段AD 的长．（1）证明：∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径 ∴BF ⊥AB∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF（2）解：∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ADB=90º∵圆O 的半径5 ∴AB=10∵∠BAD=∠BCD ∴cos ∠BAD= cos ∠BCD=45=AD AB∴1054cos ⨯=⋅∠=AB BAD AD =8 ∴AD=89、如图11，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF ．（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；（2）试探究线段EF ，OD ，OP 之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC ＝6，tan ∠F ＝，求cos ∠ACB 的值和线段PE 的长．12解：（1）证明：如下图，连接OB ，∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°．∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于D ，∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ．又∵PO ＝PO ，∴△PAO ≌△PBO ．∴∠PAO ＝∠PBO ＝90°．∴直线PA 为⊙O 的切线．（2）EF 2＝4OD·OP ．证明：∵∠PAO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OPA ＋∠AOP ＝90°．∴∠OAD ＝∠OPA ．∴△OAD ∽△OPA ．∴＝，即OA 2＝OD·OP ．OD OA OAOPBArego （3）∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3．12设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x－3．12在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x－3)2＝x2＋32．解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）．AD＝4，OA＝2x－3＝5．∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°．而AC＝2OA＝10，BC＝6，∴cos∠ACB＝＝．61035∵OA2＝OD·OP，∴3(PE＋5)＝25．∴PE＝．10310、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；2KG（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=FG的长．35（1）如下图，连接OG，∵EG是⊙O的切线∴OG⊥GE∴∠OGK+∠EGK＝90°∵CD⊥AB∴∠OAG+∠AKH＝90°∵OG=OA∴∠OGK=∠OAG∴∠EGK=∠AKH=∠EKG∴KE=GE；（2）AC∥EF 理由如下：∵=KD·GE，GE=KE ∴∴△KGD∽△KGE2KGKG KEKD KG=∴∠KGD＝∠E ∠KGD＝∠C ∴∠E＝∠C ∴AC∥EF（3）∵在（2）的条件下，∴AC∥EF∴∠CAF＝∠F，∠E＝∠C∵sinE=∴sinC=,sinF=,tanE=tanC=35354534连接BG，过G作GN⊥AB于N，交⊙O于Q 则弧BQ=弧BG ∴∠BGN＝∠BAG设AH=3k，则CH=4k于是BH=，OG=221616==33CH k kAH k+25=26BH AH k∵EG是切线，CD⊥AB ∴∠OGF＝90°∴∠FOG+∠F=∠E+∠F ∴∠FOG=∠E∴NG=OGsin∠FOG==25365k⋅52k∴BN=OB-ON=OG-OGcos∠FOG=25451-=656k k⎛⎫⎪⎝⎭∴QN11、如图11，AB 是⊙O 的弦，D 是半径OA 的中点，过D 作CD⊥OA 交弦AB 于点E ，交⊙O 于F ，且CE=CB 。

（1）求证：BC⊙O 是的切线；（2）连接AF 、BF ，求∠ABF 的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O 的半135（1）证明：连接OB 。

∵OA=OB，∴∠A=∠OBE。

∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°（2）∵CD 垂直平分OA ，∴OF=AF，又OA=OF ，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；（3）作CG⊥BE 于G ，则∠A=∠ECG。

∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，∵sinECG=sinA=，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2。

135∵ADE∽△CGE，∴，即，∴AD=，∴OA=，即⊙O 的半径是。

EG DE CG AD =5212=AD 52454854812、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点0，过点O 作OE⊥AC 交AB 于E,若BC=4，△AOE 的面积为5，求sin∠BOE 的值．。