第2节 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．知 识 梳 理1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [常用结论与微点提醒]1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列．2．利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 解析 (4)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数． (5)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数． 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1B ．0C ．1D ．6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B3．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C4．(2018·宁波十校适应性考试)等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 217，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( ) A ．8或9 B ．9或10 C ．10或11D ．11或12解析 由题意知，a 1＝±a 17，又因为d ＜0，所以a 1＝－a 17，故a 1＝－8d ，a 9＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值． 答案 A5．(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________． 解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案 1806．(2018·湖州调研)设等差数列{a n }的公差是d ，前n 项和是S n .若a 1＝1，a 5＝9，则公差d ＝______，S n ＝______． 解析 公差d ＝a 5－a 15－1＝2，前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2.答案 2 n 2考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100B ．99C ．98D ．97(2)(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( ) A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98. (2)等差数列中a 1＝1，根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，d ＝0(舍去)．所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 (1)C (2)A规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________． (2)(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．解析 (1)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.(2)因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，由于d ≠0，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1，即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.答案 (1)30 (2)23－1考点二 等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．(2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【变式迁移1】 将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0. ∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0， 即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0. 即1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列．(2)解 由(1)知1S n ＝n 2，∴S n ＝2n，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）当n ＝1时，a 1＝2不适合上式， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 【变式迁移2】 已知数列{a n }满足2a n －1－a n a n －1＝1(n ≥2)，a 1＝2，证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝2－1a n －1， ∴1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1－1a n －1－1＝1(常数)． 又1a 1－1＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以首项为1，公差为1的等差数列．∴1a n －1＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n ＋1n. 规律方法 等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．【训练2】 (2017·江苏卷)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1，2，3， 所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列． 考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5B ．7C ．9D ．11(2)(2018·浙江名校三联)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 017＝________．解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，所以a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A.(2)因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12也成等差数列，而S 4S 8＝13，所以S 8＝3S 4，则(S 8－S 4)－S 4＝S 4，则得S 16＝10S 4，所以S 8S 16＝310. (3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0172 017＝S 11＋2 016d ＝－2 014＋2 016＝2， ∴S 2 017＝2×2 017＝4 034. 答案 (1)A (2)A (3)4 034规律方法 等差数列的性质是解题的重要工具．(1)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列． (2)在等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13B ．12C ．11D ．10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60， 所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10考点四 等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析 (1)法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大． 法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 (1)C (2)130规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练4】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12(2)(2018·金丽衢十二校二联)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若有确定正整数n 0，对任意正整数m ，Sn 0·Sn 0＋m ＜0恒成立，则下列说法错误的是( )A ．a 1·d ＜0B ．|S n |有最小值C ．a n 0·a n 0＋1＞0D ．a n 0＋1·a n 0＋2＞0解析 (1)由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大．(2)由S n 0·S n 0 ＋m ＜0，知数列{a n }一定存在正项与负项，则要么a 1＞0，d ＜0，要么a 1＜0，d ＞0，即a 1·d ＜0，所以A 正确；由等差数列各项特征知，|S n |一定能取得最小值，所以B 正确；若数列{a n }为－1，2，5，8，…，当n ≥2时，a n ＞0，取n 0＝1，对任意正整数m ，S n 0·S n 0＋m＜0均成立，但an 0·an 0＋1＜0，所以C 错误，故选C.答案 (1)B (2)C基础巩固题组一、选择题1．(一题多解)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析 法一 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C2．(2018·嘉兴测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25B.35C.37D.47解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得S 1S 4＝a 14a 1＋6d ＝110，解得a 1＝d ，则S 3S 5＝3a 1＋3d5a 1＋10d＝25，故选A. 答案 A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 11＝11a 1＋55d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得a 1＝－33，d ＝7，由a n ＝7n －40<0得n ≤5，即该数列的前5项是负数，从第6项开始是正数，则前5项的和最小，即m ＝5. 答案 C4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101＞0 B ．a 2＋a 100＜0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C5．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．40解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A6．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝ －53d ，∴a 1d ＝－53d 2<0(d ≠0)，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23<0，故选B. 答案 B 二、填空题7．(2018·金华四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c (b ，c 为常数，n ∈N *)，若a 2＋a 3＝4，则c ＝________，b ＝________．解析 ∵数列{a n }是等差数列，且前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，∴c ＝0，则S n ＝n 2＋bn ，又a 2＋a 3＝S 3－S 1＝9＋3b －1－b ＝4，∴b ＝－2. 答案 0 －28．已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝________．解析 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480. 答案 4809．(2017·慈溪统考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)中最大的项为第________项． 解析 ∵a 8>0，a 8＋a 9<0，∴S 15＝（a 1＋a 15）·152＝2a 8·152＝15a 8>0，而S 16＝（a 1＋a 16）·162＝（a 8＋a 9）·162＝8(a 8＋a 9)<0，∴使S n >0的最大n 为15.∵a 8>0，a 9<0，∴S 8最大，且a 8为{a n }的最小正数项，a 9，a 10，…均小于零，所以当9≤n <15时，S n a n均小于零，当n ＝8时，S n a n 最大，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)的最大值是第8项． 答案 15 810．(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________． 解析 法一 由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5.法二 因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m （m －1）2＝0， ①（m －1）a 1＋（m －1）（m －2）2＝－2. ② 由①得a 1＝1－m 2，代入②可得m ＝5. 法三 因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． 所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0， 解得m ＝5，经检验为原方程的解．答案 5三、解答题11．(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.解 (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由等差数列、等比数列的通项公式可得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8.∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．(1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.由2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．能力提升题组13．(2018·杭州模拟)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．若正整数i ，j ，k ，l 满足i＋l ＝j ＋k (i ≤j ≤k ≤l )，则( )A ．a i a l ≤a j a kB ．a i a l ≥a j a kC ．S i S l ＜S j S kD ．S i S l ≥S j S k解析 不妨取i ，j ，k ，l 分别为1，2，3，4，则a 1a 4－a 2a 3＝－2d 2≤0，∴a 1a 4≤a 2a 3，又S 1S 4－S 2S 3＝－2(a 1＋34d )2－158d 2≤0， ∴S 1S 4≤S 2S 3，即A 正确．答案 A14．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列 C ．{d n }是等差数列 D ．{d 2n }是等差数列 解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|， S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值， 所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A15．(2018·丽水测试)已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2 015＋1a 2 016＝________．解析 设公差为d ，由题意得d ＝f （2）2－f （1）1＝3－2＝1，∴f （n ）n ＝2＋(n －1)·1⇒f (n )＝n 2＋n ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n ＋a n ＝a n (1＋a n )⇒1a n ＋1＝1a n （1＋a n ）＝1a n －11＋a n ⇒11＋a n ＝1a n －1a n ＋1，∴S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1⇒S n ＋1a n ＋1＝1a 1＝1，∴S 2 015＋1a 2 016＝1. 答案 n 2＋n 116．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3，∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列，∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n （5＋8－3n ）2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋（n －2）（1＋3n －8）2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.17．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明：12≤b n ＜1.(1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，（a 1＋4d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋10d ）.注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1.所以a n ＝n ＋1.(2)证明 由(1)可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2.因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0， 所以数列{b n }单调递增．所以b n ≥b 1＝12.又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝nn ＋1＜1，因此12≤b n ＜1.。