若 2 a 0，显然 F ( x )min 4 0 ;若 2 a 0，F ( x) 3 x 2 (4 2a) x 2a 4 令F ( x ) 0， 解 得 x 0，x 3 2a 4 2a 4 当0 x 时, F ( x ) 0; 当 x 时, F ( x ) 0; 3 3
2a 4 2a 4 2a 4 ∴当 x 0， 时, F ( x)min F ≥ 0即 (a 2) 4≥0 3 3 3 解不等式得a ≤ 5， 2 a ≤ 5 当x 0时，F ( x ) 4 满足题意.
a<0
x1
x2
x1
x2
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的单调性与极值
• ①a>0,△≤0时，f(x)在R上是单调递 增的. • ② a<0,△≤0时，f(x)在R上是单调 递减的. • ③a>0,△>0时，f(x)在(∞,x1)↑,(x1,x2)↓(x2,+∞)↑. • ④a<0,△>0时，f(x)在(-∞,x1) ↓,(x1,x2)↑, (x2,+∞) ↓. • ①a>0,△≤0时，f(x)在 R上无极值. • ② a<0,△≤0时，f(x) 在R上无极值. • ③ a>0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极大值，在 x=x2有极小值. • ④ a<0,△>0时，f(x)在 x=x1,处有极小值，在 x=x2有极大值.
△≤0 a>0 a<0 a>0
△>0 a<0
三次方程的根与交点问题
△≤0 △>0
a>0
a<0
a>0
a<0
f(x)=0有且仅有一个实根， f(x)的极大值小于0或极小值大于 y=f(x）与x轴有且仅有一个 0 f(x)=0有且仅有一个实根。 f(x)的极大值等于0或极小值等于 交点。
f(x)的极大值大于0且极小值小于 0 ，f(x)=0有且仅有三个不等实 根。y=f(x）与x轴有且仅有三个 交点。
2
函数， 所以 f ( x) ≥ 0 对 x 1,1 恒成立， 即 x2 ax 2 ≤ 0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 1,1 ．
说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递 增，则 f ( x) ≥ 0 ；若函数单调递减，则 f ( x) ≤ 0 ”来求 解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．
三次函数的图像
例题1、函数y＝f(x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 时, 有极值10, 那么a,b的值为 . 对吗？
我来画图 看看
a 4 a 3 或 . 例1. 解： b 11 b 3
反思:极值存在的条件是什么呢？
2 3 例题 2 、已知函数 f ( x ) 4 x ax x ( x R ) 在区间 3 1,1 上是增函数，求实数 a 的取值范围． 解： f ( x) 4 2ax 2x2 ，因为 f x 在区间 1,1 上是增
三次函数
---导数应用中一颗璀璨的明珠
复习回顾
例题精讲
课堂小结
课后思考
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)
• 其导数为f´(x)=3ax2+2bx+c(a≠0) • 导函数的判别式为△=4b2-12ac △≤0 a>0 a<0 a>0 △>0
例3．设a为实数,函数f(x）=x3-x2-x+a (1) 求f(x)的极值. (2) 当a在什么范围内取值时, 曲线y=f(x)与x轴仅 有一个交点.
(1)f(x)的极大值是f(-1/3)=5/27+5, 极小值是 f(1)=a-1. (2)当a (-∞,-5/27)U(1,+∞)时, 曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点.
例4. 已知曲线C: y=4ax3+x, 过点Q(0,-1)作C的切线 l, 切点为P. (1) 求gt;0, 过点P且与l垂直的直线与x轴交于点T, 求|OT|的最小值(O为原点). (1)切点Ｐ总在直线y=x+1/2上 (2)|OT|的最小值为2+ 6.
例题 5、已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值；
都有 f ( x) ≥ g( x) ， ⑵若对任意的 x 0， 求实数 a 的取值范围. 1 2 解:⑴ f ( x) 3 x 4 x 1 令f ( x ) 0 解得 x1 1或x2 3 当 x 变化时， f ( x )、f ( x ) 的变化情况如下：
0 f(x)=0有且仅有三个实根， y=f(x）与x轴有且仅有两个交点。
三次函数---导数应用中一颗璀璨的明珠
三次函数的切线问题与对称中心
• 过点（m,n)引直线与y=f(x)的图像相切的直 线的条数问题。可转化为关于x1的三次方程 n-f(x1）=f(x1)(m-x1)的不同根的个数问题。 • 三次函数的对称中心为(-b/(3a),f(- b/(3a)) • 过三次曲线的对称中心且与该三次曲线相切 的直线有且仅有一条；而过三次曲线上除对 称中心外的任一点与该三次曲线相切的直线 有二条.
∴当 x=-1 时， f ( x ) 取得极大值为 4 ； 1 112 当 x 时， f ( x ) 取得极小值为 . 3 27
已知函数 f ( x) x 3 2 x 2 x 4，g( x) ax2 x 8 . ⑴求函数 f ( x ) 的极值； ⑵若对任意的 x 0， 都有 f ( x) ≥ g( x) ，求实数 a 的取值范围. ⑵设 F ( x) f ( x) g( x) x 3 (2 a) x 2 4 F ( x) ≥ 0在0， 恒成立 F ( x)min ≥ 0，x 0，