令x b
a f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a , b]上的增量.
F ( x ) ( x ) C
x [a , b]
令 xa
a
F (a ) (a ) C ,
(a ) a f ( t )dt 0 F (a ) C ,
F ( x ) a f ( t )dt C ,
x
a
x
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
x
2
x

0 x 0
e 2 t dt
2
;
2、 lim
x 0
x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
.
五、设 f ( x ) 为连续函数，证明:

x
0
f ( t )( x t )dt
(
0
x
t
0
f ( u )du )dt .
六、求函数 f ( x )

x
0
3t 1 dt 在区间 0 , 1 上的最 2 t t 1
2
2
y
解
由图形可知
y x2
2
f ( x ) max{ x , x }
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
0 2 1 2 0 1
2
y x
o
1
2
x
原式 x dx xdx x 2dx
2
11 . 2
四、1、0；
1 2、 . 10
5 六、 , 0. 3 3 0 , x 0 1 七、( x ) (1 cos x ) , 0 x . 2 1 , x
b
d x a f ( t )dt f ( x ) dx d b x f ( u)du f ( x ) dx
练习题
一、填空题： 2 b x d 2 1、 e dx =_______ . dx a x d f ( x ))dx __________ . 2、 ( a dx d 2 3 t ln( t 2 1)dt _______ . 3、 dx x 2 x2 , 0 x 1 4、 0 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 2 x , 1 x 2
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立. a
b
例4
求 ( 2 cos x sin x 1)dx .
0
2
解ห้องสมุดไป่ตู้
原式 2 sin x cos x x 0

2
2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
t 0 0 y x
dy 定，求 ； dx t2 x u ln udu, d2y 1 ( t 1) ,求 2 ； 2、 设 1 dx y 2 u 2 ln udu, t
d cos x cos( t 2 )dt ； 3、 dx sin x x dx g (1) . 4、设 g ( x ) 0 3 ，求
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6.
1 2 0 1
o
1
2
x
例6
求 2 max{ x , x }dx .
大值与最小值 . 1 sin x , 当0 x 时， 七、设 f ( x ) 2 0 ，当x 0或x 时， x 求 （ x ) 0 f ( t )dt 在( , ) 内的表达式 .
八、设 f ( x )在 a , b 上连续且 f ( x ) 0 , x x dt F ( x ) f ( t )dt ,证明： a b f (t ) F ' ( x) 2 ; （1） 、 （2） 、方程 F ( x ) 0 在( a , b ) 内有且仅有一个根 .
解 面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o

x
四、小结
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt a 2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式
x
a f ( x )dx F (b) F (a )
例7
求
1
2
1 dx . x
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 dx ln | x |1 ln 1 ln 2 ln 2. 2 x 2
x 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与 轴所围 成的平面图形的面积.
练习题答案
一、1、0； 2、 f ( x ) f (a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ； 5 4、 ； 5、(1) , ； (2)0,0； 6 1 7、45 ; 8、 ； 9、1. 6 6 cos x 1 2 二、1、 ； 2、 ； sin x 1 2t ln t 2 3、(sin x cos x ) cos( sin x ) ； 4、 2 . 5 三、 1、2 ； 2、 ； 3、 1 ； 4、4. 8 3 4
2
1 x
三、计算下列各定积分： 2 1 2 1、 ( x 2 )dx ; 1 x 4 2 0 3x 3x 1 dx ; 3、 1 2 x 1
2、 4、
1 2 1 2
dx 1 x
2
;
2
0
sin x dx .
四、求下列极限：
1
1、 lim
( e dt )
t2
5、设 I 1

cos mx cos nxdx ,

sin mx sin nxdx ，
（1） m n 时， I 1 =__ ,I 2 =_____ ， 、当 （2） m n 时，I 1 =___ ,I 2 =_____ . 、当 6、设 （1） m n 时，I 3 =____ , 、当 （2） m n 时，I 3 =_____ . 、当 7、4
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理 3（微积分基本公式）
如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则 a f ( x )dx F (b ) F (a ) .
证 已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
又 ( x )
b
a
x
f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
9
cos mx sin nxdx,
x (1

x )dx _____ .
dx _____ . 8、 1 2 31 x
3
9、lim
x0
x
0
cos t 2 dt x
________ .
二、求导数： 1、 设函数 y y( x ) 由方程 e dt cos tdt 0 所确
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学 之间的关系．
思考题
设 f ( x ) 在[a , b]上连续，则 f ( t )dt 与
a x
x f ( u)du 是 x 的函数还是t 与u 的函数？它们
的导数存在吗？如存在等于什么？
b
思考题解答
a
x
x f ( t )dt 与 x f ( u)du 都是 的函数