4 1 2 ⎪⎪ ⎝ ⎭⎪ 《线性代数》单元测试试题（一）姓名学号 专业 班级一、填空题（共 10 题，每空 3 分，共 30 分）。

-a 11 a 12 3a 13 a 11 a 12 a 131. 已知三阶行列式 -a 21 a 22 3a 23 =9 ，则 a 21 a 22 a 23 =.-a 31a a a 32 3a 33 a 12 2a 11 a 31 0 a 32 a 332. 若二阶行列式 11 a 12= 1 ，则 a a 22 2a 21 0 =.21 220 6 10 0 13. 三阶行列式 D = 0 2 0 ，则 D = .5 0 01 4. 三阶行列式 D =2 4 2 13 0 中元素a 21 的代数余子式 A 21 = .5 3⎛ 1 5. 矩阵 A = 1 ⎝ 1 1⎫⎪ 2 3⎪ 的秩是 .3 ⎭6. 设二阶矩阵 A = ⎛ 1 3 ⎫是可逆矩阵，则一定有k ≠ .2 k ⎪ ⎝ ⎭ 7. 二阶矩阵 A = ⎛ 23 ⎫ 的逆矩阵A -1= . ⎝ ⎭ ⎛ 1 2 0 ⎫8. 已知 A = 1 3 0 ⎪ ，则 A -1 =.0 0 1 ⎪9. 设 A , B 均为三阶可逆矩阵，且 A = 4, B = 1，则 2A -1B T = .10.如果 X 1 , X 2 都是方程 A n ⨯n X = O 的解，且 X 1 ≠ X 2 ，则 A n ⨯n = .2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 二、选择题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分）。

1. 若 a 11 a 12 = a ，则 ka 12 a 11 = .(A) a 21 k 2aa 22 (B) ka 22 - k 2a a 21 (C) ka(D)- ka1 2 32. 位于行列式D = 1 1 1 第一行第二列元素的代数余子式为.2 1 3(A) -1(B) 1(C) 3(D) -33. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 .(A ) ( AB )T = A T B T (B) (A + B )T = A T + B T (C) (AB )-1 = A -1B -1(D) (A + B )-1 = A -1 + B -14. 设A ,B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式不正确的是 .(A) ( A T )-1 = ( A -1 )T(B) (2A )-1 = 2A -1(C) ( AB )-1 = B -1 A -1(D) AB ≠ 05. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列等式不成立的是.(A) A -1B -1= A -1 B-1(B) A T B T= A B(C) [( A B )T ]-1 = [B T ]-1[ A T ]-1 (D) AB ≠ 06. 设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB = AC ，则必有 .(A) A = 0(B ) B ≠ C 时 A = 0 (C ) A ≠ 0 时 B = C(D ) A ≠ 0 时 B = C7. 设 A 为三阶矩阵，且 A = 3 ， A * 是 A 的伴随矩阵，则 A * 为.(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 27 8. 下列矩阵中不是初等矩阵的是.(A) ⎛ 1 0 3 ⎫ 0 1 0 ⎪(B) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 1 ⎪(C) ⎛ 1 0 0 ⎫0 2 0 ⎪(D) ⎛ 1 0 0 ⎫0 1 0 ⎪0 0 1 ⎪ 0 0 1 ⎪ 1 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭9. 已知 A 为3⨯ 4 矩阵，且 R ( A ) = 3 ，则 .(A) A 的所有二阶子式都为 0 (B) A 的所有三阶子式都为 0 (C) A 的所有二阶子式都不为 0(D) A 有三阶子式不为 010. 设 A 为m ⨯ n 矩阵， C 为n 阶可逆矩阵， AC = B ，则 .(A) (C) R ( A ) = R (B ) R ( A ) < R (B )(B) (D) R ( A ) > R (B )R ( A ) 与 R (B ) 的关系依矩阵C 而定⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ 5 三、计算题（共 4 题，每题 10 分，共 40 分）。

.1. 计算行列式D =.⎛ 12. 求矩阵A = 210 ⎪ 的逆矩阵. 3 4 1 ⎪⎛ 3. 设矩阵A =0 3 3⎫ 1 1 0 ⎪，且有AX = A + 2X ，求矩阵X .⎪ -1 2 3⎪⎛ 1 λ -1-2 ⎫⎛ x 1 ⎫ ⎛ 1⎫4. λ 取何值时，线性方程组 0 λ - 2 λ +1 ⎪ x ⎪ = 3⎪ (1) 有唯一解？ (2) 无⎪ 0 0 2λ +1⎪ x 2 ⎪ ⎪⎪ ⎪ 3 ⎭ ⎝ ⎭解？(3) 有无限多解？若有无限多解，写出通解.2 22 2 12 1 1 1 13 1 11 1 40 0 ⎫临沂大学信息科学与工程学院2019—2020学年第一学期《线性代数》单元测试试题（一）参考答案及评分标准一、填空题（共10题，每空3分，共30分）参考答案及评分标准二、选择题（共10题，每题3分，共30分）参考答案及评分标准 三、计算题（共4题，每题10分，共40分）参考答案及评分标准 1. 解：121 11 11211211311114r D ÷= ………………………… 3分213141 111 1 0100200200003r r r r r r ---= ………………………… 8分 12.= …………………………………………10分2. 解：法一：10021010341A ==≠，故可逆. …………………… 4分又 1112132122233132331,2,5,0,1,4,0,0,1,A A A A A A A A A ==-====-=== A212r r -313r r -324r r -所以 *10021 0541A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， ………………………8分 故 *1*10021 0.541A A A A -⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪-⎝⎭……………………10分 法二：利用初等行变换法100100(,)210010341001A E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………3分100100010210041301⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭100100010210001541⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………8分 上述结果表明A E ，故A 可逆.所以 110021 0.541A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………10分 3. 解：法一：已知 2AX A X =+，则()2A E X A -=，且233|2|11020121A E --=-=≠-,故2A E -可逆，所以1(2)X A E A -=-. ………………………………6分 即 111(2)=(2)=(2)22X A E A A E A A E A A E -**=----13303306603311113110=246=12322111123220110-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪=--- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭………… 10分 法二：由2AX A X =+，可得(2)A E X A -=，r若2A E -可逆，则1(2)X A E A -=- ………………………………………3分233033(2,)110110121123A E A -⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪--⎝⎭12110110233033121123r r ↔-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭21312110110013253011033r r r r ++-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1232103363013253002220r r r r +-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭3(2)103363013253001110r ÷-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭132333100033010123001110r r r r --⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭………8分 上述结果表明2A E-E ，故2A E -可逆.所以 1033(2)123.110X A E A -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭………………10分4. 解：方程组的增广矩阵为1121(,)021 300215A b λλλλ--⎛⎫ ⎪=-+ ⎪ ⎪+⎝⎭ …………………1分 已经是行阶梯形矩阵(1) 当2λ≠且12λ≠-时，()(,)3R A R A b ==，故方程组有唯一解. ……3分(2) 当12λ=-时，()2,(,)3R A R A b ==，此时方程组无解. …………5分(3) 当2λ=时，11211103(,)003 3001 100550000A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()(,)2R A R A b ==，故方程组有无限多解.取2x 为自由变量，则12331x x x =-+⎧⎨=⎩令2,x c c =∈，得方程组的通解123131001x x c x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………10分注：改卷过程中，如果出现以上《参考答案及评分标准》中没有涉及到的情况（r如：采用其他方法解题等），改卷老师可根据实际情况酌情赋分。