(3m +1)/m
(e)
将式(e)代入式(b)，并注意到 T=M ，最后得扭转切应力公式为： t r =
M r1/m dö 2pm æ ç ÷ ç ÷ ÷ 3m + 1 ç è2÷ ø
(3m +1)/m
。
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第 4 章 扭 转 习题 1
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用横截面 ABC 和 DEF 与径向纵截面 ADFC 切出单元体 ABCDEF 4-9 在图 a 所示受扭圆截面轴内， （图 b） 。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。
解：单元体 ABCDEF 各截面上的应力分布图如图 4-9a 所示。
根据图 a，不难算出截面 AOO1D 上分布内力的合力为： Fx1 同理，得截面 OCFO1 上分布内力的合力为： Fx2
1 d 4Tl τ max ( l ) 2 。 2 2 πd
4Tl 。 πd 2
π d /2 T
16ml π[ ]
2/3 2/3
5 2/3 16m l2 0 3 π[ ] 3 3/2 由此得 l2 ( ) l 0.465l 5 3 l1 l l2 [1 ( ) 3/2 ]l 0.535l 从而得 5 1/ 2 3 3 16ml d2 0.775d1 π[ ] 5 该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。
d T ( x ) 4M dx GI p Gπ ( d A cx ) 3
1 πδ [ ( d A cx)]3 ( d A cx)3 2 4
jA/B =
4M pG d
ò
l 0
d(dA + cx ) c(dA + cx )
3
=
2Ml (dA + dB ) -2M -2Ml 1 1 (dA + cx )-2 |l0 = ( 2 - 2 )= 2 2 pG dc pG d (dB - dA ) dB dA pG ddA dB

8T ，方向如图 c 所示。 3πd
设 Fz2 作用线到水平直径 DF 的距离为 e y （见图 b） ，由 F z2 e y
0 cos
π
2
d /2 π T ( )d 3 d 0 2 4
T 3πd 3πd 0.295d 4 8T 32 同理， Fz1 作用线到水平直径 AC 的距离也同此值。
ma 2
M A和 M B 的转向与 m 相反。 (d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 M B ，从变形趋势不难判断， M B 的转向 与 m 相反。变形协调条件为： B 0 (c) 利用叠加法，得到（ x 从左端向右取） a m( a x ) M ( 2a ) ma 2 2 M B a B B ,m B , M B dx B (d) 0 GI p GI p 2GI p GI p
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第 4 章 扭 转 习题 1
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《材料力学》 课程
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第 4 章 扭 转 练习题 1 答案
院系： 姓名：
4-7 4.53%。
年级： 学号：
专业： 成绩：
试证明，在线弹性范围内，且当 R0/≥10 时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最大误差不超过
T 设 R0 / δ β ， 2 2πR0 δ T T 按上述公式计算的扭转切应力为： τ 2 2πR0 δ 2πβ 2 δ 3 按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为： d 2 R0 δ， D 2 R0 δ πR δ π π 2 δ2 ) 极惯性矩为： I p ( D 4 d 4 ) [( 2 R0 δ ) 4 ( 2 R0 δ ) 4 ] 0 ( 4 R0 32 2 32 T ( 2 1) T δ T 由此得： ( 2 R0 ) τ max ( R0 ) 2 2 πR0 ( 4 R0 Ip π 3 ( 4 2 1) 2)
解：1.内力分析。此为静不定轴，设 B 端支反力偶矩为 M B ，该轴的相当系统如图 4-22a 所示。 利用叠加法，得 B
1 [400 0.500 600 1.250 M B 2.500] GI p (600 1.250 400 0.500)N m 2 220 N m 。 2.500m
M y 0， Fz
8Tl 8Tl 0 3πd 3πd 4Tl 4Tl M z 0， Fy4 l Fy3 l 3πd 3πd 0
2
l Fx1 (2ez1 )
既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的 T 在数值上均等于 M 。
解：1.轴的强度条件 在截面 A 处的扭矩最大，其值为： Tmax1 ml 由该截面的扭转强度条件： max1
Tmax1 16ml 3 16ml [ τ ] ，得： d1 3 Wp1 π[ τ ] πd1
(a)
3
BC 段上的最大扭矩在截面 B 处，其值为： Tmax2 ml2 。由该截面的扭转强度条件得： d 2
2．最轻重量设计 轴的总体积为： V 根据极值条件 得
16ml2 π[ ]
16ml2 2 / 3 π 2 π 2 π 16ml 2 / 3 d1 (l l 2 ) d 2 l2 [( ) (l l2 ) ( ) l2 ] 4 4 4 π[ τ ] π[ τ ] dV 0 dl 2
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第 4 章 扭 转 习题 1
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4-13 图示阶梯形轴，由 AB 与 BC 两段等截面圆轴组成，并承受集度为 m 的均匀分布的扭力偶矩作 用。为使轴的重量最轻，试确定 AB 与 BC 段的长度 l1 与 l2 以及直径 d1 与 d2。已知轴总长为 l，许用切应 力为[ ]。
解：薄壁圆管的扭转切应力公式为： τ 比较式(a)与式(b)，得： 当
(a)
(b)
τ τ max

T 2π 2
3
π 3 ( 4 2 1) 4 2 1 T ( 2 1) 2 ( 2 1)
R0

10 时，
max

4 10 2 1 0.9548 2 10 ( 2 10 1)
变形协调条件为 利用叠加法，得
B 0 B
Ma M (2a) M B (3a) GI p GI p GI p 1 3 1 3
(a) (b)
将式(b)代入式(a)，可得： M B M 。进而求得： M A M （转向与 M B 相反） 。 (c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到： M A M B
(b) (c) (d)
4-20 图示圆锥形薄壁轴 AB，两端承受扭力偶矩 M 作用。设壁厚为，横截面 A 与 B 的平均直径分 别为 dA 与 dB，轴长为 l，切变模量为 G。试证明截面 A 和 B 间的扭转角为： A / B
2 Ml （ d A d B ) 。 2 2 πG d A dB
证明：自左端 A 向右取坐标 x ，轴在 x 处的平均半径为
d d d dA 1 1 R0 ( x ) ( d A B x ) ( d A cx ) ，式中 c B A l 2 l 2
截面 x 的极惯性矩为 I p 2 πR0 2 π
3
依据 得截面 A 和 B 间的扭转角为
π[ ] 3.由扭转刚度条件求 d。
将最大扭矩值代入
d
3

3
16380 (m) 0.0364m 36.4mm π4010 6
2 d d 方向如图 c 所示，设 Fx1 与 Fx2 作用线到 x 轴线的距离为 ez1 ，容易求出： ez1 。 3 2 3
根据图 b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为 Fz2 同理，左端面上的合力为： Fz1
0 0
T Ip
8T π cos( θ ) ρdρdθ ， 3πd Ip 2
解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到： 根据题设，轴横截面上距圆心为 ρ 处的切应力为： τ ρ C (
d dx
(பைடு நூலகம்)
d 1 / m ) dx
(b) (c) (d)
d 1/ m ) ρ ( m 1) / m dA T A dx 取径向宽度为 dρ 的环形微面积作为 dA ，即 dA 2 πρdρ
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第 4 章 扭 转 习题 1
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4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。
(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。设 A 与 B 端的支反力偶矩分别为 M A和 M B ，它们 由 M x 0 ，可得： M A M B 2 M A 2 M ，即： M A M B M 。 (b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩 M B ，如图 4-21b 所示。 的转向与扭力偶矩 M 相反。由于左右对称，故知： M A M B 。
得
ey
根据图 b，还可算出半个右端面 DO1 E 上竖向分布内力的合力为
Fy3
π / 2 d / 2 Tρ
0
0
π 4T sin( θ ) ρdρ dθ Ip 2 3πd
设 Fy3 作用线到竖向半径 O1 E 的距离为 e z2 （见图 b） ，由
Fy3 ez2
d /2 T π/2 2 T cos d 3d ，得： ez2 T 3πd 3πd 0.295d 0 0 8 Ip 8 4T 32