高考函数压轴题训练（含详细答案）1．近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足(其中，a为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．2．已知函数，.（1）若，是否存在、，使为偶函数，如果存在，请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；（2）若，，求在上的单调区间；（3）已知，对，，有成立，求的取值范围.3．已知.（Ⅰ）当时,判断的奇偶性,并说明理由；（Ⅱ）当时,若,求的值；（Ⅲ）若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.4．（本小题满分12分）某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：小时）之间近似满足如图所示的曲线．（Ⅰ）写出第一次服药后与之间的函数关系式；（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效．问：服药多少小时开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（精确到0．1）（参考数据：）．5．噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度（分贝）由公式(为非零常数)给出，其中为声音能量.（1）当声音强度满足时，求对应的声音能量满足的等量关系式；（2）当人们低声说话，声音能量为时，声音强度为30分贝；当人们正常说话，声音能量为时，声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音，一般人在100分贝~120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时，人会暂时性失聪.6．“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？7．设函数．（1）求函数在上的值域；（2）证明对于每一个，在上存在唯一的，使得；（3）求的值．8．已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.9．设函数.(Ⅰ)若函数在上为增函数,求实数的取值范围；(Ⅱ)求证：当且时,.10．己知函数f(x)=e x，x R.(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数图象相切，求实数k的值；(2)设x﹥0，讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m﹥0)公共点的个数；(3)设，比较与的大小并说明理由。

11．已知函数，点、在函数的图象上，点在函数的图象上，设．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和为；（3）已知，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．12．已知函数（其中是实数常数，）（1）若，函数的图像关于点（—1，3）成中心对称，求的值；（2）若函数满足条件（1），且对任意，总有，求的取值范围；（3）若b=0，函数是奇函数，，，且对任意时，不等式恒成立，求负实数的取值范围．13．已知函数⑴当时，若函数存在零点，求实数的取值范围并讨论零点个数；⑵当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.14．已知函数满足：对任意，都有成立，且时，．（1）求的值，并证明：当时，；（2）判断的单调性并加以证明；（3）若在上递减，求实数的取值范围．15．设函数()．（1）若为偶函数，求实数的值；（2）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围．参考答案1.解析：（1）由题意知，，将代入化简得：，（），6分（2），当且仅当时，上式取等号.9分当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当时,在上单调递增,所以在时,函数有最大值．促销费用投入万元时，厂家的利润最大.综上述,当时,促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;当时,促销费用投入万元时，厂家的利润最大.12分2.解析：（1）存在使为偶函数，证明如下：此时：，，为偶函数，（注：也可以（2），当时，，在上为增函数，当时，，令则，当时，在上为减函数，当时，在上为增函数，综上所述：的增区间为，减区间为；（3），，成立。

即：当时，为增函数或常数函数，综上所述：.3.解析：（Ⅰ）当时,既不是奇函数也不是偶函数∵,∴所以既不是奇函数,也不是偶函数3分（Ⅱ）当时,,由得即或解得或（舍），或.所以或8分（Ⅲ）当时,取任意实数,不等式恒成立,故只需考虑,此时原不等式变为即故又函数在上单调递增,所以;对于函数当时,在上单调递减,,又,所以,此时的取值范围是13分4.解析：（Ⅰ）根据图象知：当时，；当时，，由时，得所以，即因此（Ⅱ）根据题意知：当时，；当时，所以所以，因此服药小时（即分钟）开始有治疗效果，治疗效果能持续小时.5.解析：（1）2分4分6分（2）由题意得8分10分13分答：当声音能量时，人会暂时性失聪.14分6.解析：(1)当时，设该项目获利为，则，所以当时，.因此，该项目不会获利.当时，取得最大值，∴政府每月至少需要补贴元才能使该项目不亏损.(2)由题意可知，食品残渣的每吨平均处理成本为：①当时，，∴当时，取得最小值240；②当时，.当且仅当，即时，取得最小值200.∵200<240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.7.解析：（1），由令，．，在上单调递增，在上的值域为．4分（2）对于，有，，从而，,,在上单调递减,,在上单调递减．又..7分当时，（注用数学归纳法证明相应给分）又，即对于任意自然数有对于每一个，存在唯一的，使得11分（3）．当时，．.14分当且时，．18分8.解析：（1）因为在区间上是增函数，所以，在区间上恒成立，，所以，实数的值组成的集合；（2）由得，即，因为方程，即的两个非零实根为、，、是方程两个非零实根，于是，，，，，设，，则，若对任意及恒成立，则，解得或，因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.9.(Ⅰ)依题意.(Ⅱ)由(Ⅰ)知.当时.在上为增函数.当x>1时有f(x)>f(1)=0.即.取.则，.即有.所以.10.解析：(1)f(x)的反函数.设直线y=kx+1与相切于点，则.所以4分(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线的公共点个数即方程根的个数.5分由，令，则在上单调递减，这时；在上单调递增，这时；所以是的最小值.6分所以对曲线y=f(x)与曲线公共点的个数,讨论如下:当m时,有0个公共点;当m=,有1个公共点;当m有2个公共点;8分(3)设9分令，则，的导函数，所以在上单调递增，且，因此，在上单调递增，而，所以在上.12分当时，且即，所以当时，14分11.解析：（1）由题有：3分（2），8分（3），，由知，而，所以可得．于是．当时；当时，当时，下面证明：当时，证法一：（利用组合恒等式放缩）当时，∴当时，13分证法二：（数学归纳法）证明略证法三：（函数法）∵时，构造函数，∴当时，∴在区间是减函数，∴当时，∴在区间是减函数，∴当时，从而时，，即∴当时，12.解析：(1)，．类比函数的图像，可知函数的图像的对称中心是．又函数的图像的对称中心是，(2)由(1)知，．依据题意，对任意，恒有．若，则，符合题意．若，当时，对任意，恒有，不符合题意．所以，函数在上是单调递减函数，且满足．因此，当且仅当，即时符合题意．综上，所求实数的范围是．(3)依据题设，有解得于是，．由，解得．因此，．考察函数，可知该函数在是增函数，故．13.解析：⑴令，函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点，则即所以所求实数a的取值范围是.3分当时，2个零点；当或，1个零点7分⑵当时，所以当时，，记.由题意，知，当时，在上是增函数，，记.由题意，知解得9分当时，在上是减函数，，记.由题意，知解得11分综上所述，实数m的取值范围是..12分14.解析：（1）令,则,即,解得或若，令,则,与已知条件矛盾.所以设，则，那么.又，从而．（２）函数在上是增函数．设，由（１）可知对任意且故，即函数在上是增函数。

（３）由（２）知函数在上是增函数．函数在上也是增函数，若函数在上递减，则时，，即时，．时，，15.解析：（1）若的为偶函数，则,，故，两边平方得，展开时，为偶函数。

（2）设，①求,即的最小值：若，；若，②求,即的最小值,比较与,的大小：，故“对恒成立”即为“（）”令，解得。