第二章压电复合材料有限元分析方法2.1 1—3型压电复合材料常用的研究方法第一、理论研究，包括利用细观力学和仿真软件进行数值分析的方法。

人们对1-3型压电复合材料宏观等效特征参数进行研究时，从不同角度出发采用了形式多样的模型和理论，其中夹杂理论和均匀场理论具有代表性。

夹杂理论的思想是，从细观力学出发，将1-3形压电复合材料的代表性体积单元（胞体）作为夹杂处理。

求解过程中，使用的最著名的两个模型为：Dilute模型和Mori-Tanaka模型。

夹杂理论的优点是其解析解能较好地反映材料的真实状况，解精度较高；缺点是其解题和计算过程烦琐，有时方程只能用数值方法求解。

均匀场理论的思想是基于均匀场理论和混合定律，同时借助1-3型压电复合材料的细观力学模型导出其宏观等效特征参数。

其基本的研究思路是：假设组成复合材料的每一相中力场和电场均匀分布，结合材料的本构方程得到1-3型压电复合材料的等效特征参数。

Smith，Auld采用此理论研究了1-3型压电柱复合材料的弹性常数、电场、密度等等效特征参数。

Gordon，John采用此理论研究了机电耦合系数、耗损因子、电学品质因子等等效特征参数。

Bent, Hagood和Yoshikawa等基于此理论对交叉指形电极压电元件等效特征参数进行了研究。

均匀场理论优点在于物理模型简单，物理概念清晰，计算也不复杂，并具有相当的精度和可靠性；不足在于其假设妨碍了两相分界面上的协调性。

有限元作为一种广泛应用于解决实际问题的数值分析方法，将其引入压电复合材料研究中具有重要的意义。

John，Gordon等用有限元方法分析了1-3型压电柱复合材料中压电柱为方形柱、圆形柱、二棱柱时的力电耦合系数及其波速特性，得到了压电柱在几何界面不同的情况下的等效力电耦合系数及等效波速曲线。

第二、实验研究。

Helen，Gordon等对1-3型压电复合材料的宏观等效特征参数进行了理论和实验研究，结果表明两者符合良好；LVBT等运用了1-3型压电复合材料进行了声学方面的控制取得了良好的效果；John，Bent等对压电纤维复合材料的性能进行了深入的研究，结果显示压电纤维复合材料在高电场、大外载荷环境下具有优良的传感和作动性能。

参数辨识研究是试验研究中重要的一种方法，基本思路是：分析1-3型压电纤维复合材料的响应特性，从中得到其等效宏观的模态和弹性波的传播特性参数。

Guraja，Walter等采用的就是这种方法，他们研究了1-3型压电纤维复合材料薄板、厚板、变截面板的响应特性，得到了其相应的声波传播速度c，频率f,机械品质因素Q等参数的表达式，为1-3型压电纤维复合材料在超声波方面的应用提供了依据。

综合对比以上的研究方法，夹杂理论得出的结果比较接近实际结果，但是计算烦琐，而且对于高体积百分比的复合材料其计算结果跟实际相差较大；均匀场理论计算较为简单，但是模糊了两相材料之间的界面作用；实验研究方法是最接近实际的一种方法，但是由于实验条件、测试技术等一系列因素的制约使其不能广泛应用十实际中。

由于交叉指形电极压电复合材料的复杂性，利用上面提到的夹杂理论和均匀场理论的方法，很难得到压电元件整体模型的性能状况。

而数值研究有限元法，利用先进的分析软件ANSYS进行压电复合材料性能分析，可以超越目前现有的生产工艺和测试技术水平得到比较准确的分析结果，又可以减小压电元件的设计周期，减少实验制作压电元件的材料浪费和设备损耗。

2.2 有限元分析方法概述有限元法（又称为有限单元法或有限元素法）是利用计算机进行数值模拟分析的方法。

诞生于20世纪50年代初，最初只应用于力学领域中，现在广泛应用于结构、热、流体、电磁、声学等学科的设计分析及优化，有限元计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。

该方法的主要思想是将所探讨的工程系统转化成一个有限元系统，该有限元系统由结点及单元所组合而成，以取代原有的工程系统，有限元系统又可以转化成一个数学模式，并根据该数学模式，进而得到该有限元系统的解答，并通过节点、单元表现出来。

具体的手段是将实体对象分割成不同大小、种类的小区域(有限元)，然后求得每一元素的作用力方程，接着利用能量最低原理（Minimum Potential Energy Theory）与泛函数值定理（Stationary Functional Theory）将作用力方程转换成一组线性联立方程组，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将系统方程组求解。

ANSYS（Analysis System）是世界著名力学分析专家、匹兹堡大学教授J. Swanson创立的SASI（Swanson Analysis System Inc.）的大型通用有限元分析软件，是世界上最权威的有限元产品之一，其准确性和稳定性都比较好。

广泛应用于机械、航空航天、能源、交通运输、土木建筑、水利、电子、地矿、生物医学、教学科研等众多领域，是这些领域进行国际国内分析设计技术交流的主要分析平台。

ANSYS的主要功能包括结构分析、热力学分析、流体分析、电磁场分析和耦合场分析。

其中耦合场分析是求解两个或多个物理场之间相互作用。

当两个物理场之间相互影响时，单独求解一个物理场得不到正确的结果，因此需要将两个物理场组合到一起来分析求解，ANSYS可以实现的耦合场分析包括:热—结构、磁一热、磁—结构、流体一热、流体—结构、热—电、电—磁—热—流体—结构等。

压电复合材料分析涉及电场—结构两个物理场的作用，需要使用ANSYS祸合场分析的Multiphysics和Mechanical模块，在用压电分析时，可以采用的单元有SOLID5,PLANE13和SOLID98。

这些耦合单元包含分析中所有必要的自由度，通过适当的单元矩阵（矩阵耦合）或是单元载荷矢量（载荷矢量祸合）来实现场的耦合。

在用矩阵耦合方法计算的线性问题中，通过一次迭代即可完成耦合场相互作用的计算，而载荷矢量耦合方法在完成一次耦合响应中，至少需要二次迭代。

对于非线性问题，矩阵方法和载荷矢量耦合方法均需迭代。

压电分析采用矩阵耦合的方法。

在ANSYS进行压电复合材料分析时，根据压电元件模型和分析目的不同，可以采用不同分析方法和途径。

当分析单元选择好后，对材料常数的准确设定是后续分析的基础，材料常数设定的不准确，有限元分析结果不可能正确。

以往利用ANSYS进行压电分析的研究，没有涉及到此方面内容，由于本文分析的主要对象一一交叉指形电极压电纤维复合材料模型的复杂性（结构复杂、平面内极化方向复杂），下面对于在ANSYS软件中材料常数的设定进行细致的研究。

2.3 压电复合材料的弹性矩阵为了研究压电复合材料的需要，现假设如下：（1）本文所分析的压电相材料和聚合物相材料为均质弹性体；（2）压电相和聚合物相的应力水平在线弹性范围之内，应力分量与应变分量呈线性关系，服从广义虎克定律。

在直角坐标系下，用应力表示应变的广义虎克定律表示为：ε=Sσ或σ=Cε其中：ε和σ分别为应变列阵和应力列阵而S和C为6X6的矩阵，各元素S ij和C ij（i，j=1，2，……6）是表征均质弹性体弹性特征的系数，通常称S ij为柔度系数，C ij为刚度系数。

刚度矩阵C是柔度矩阵S的逆矩阵，即：C=S−1或S=C−1。

对于均质弹性体来说，S ij和C ij都是常数，所以可以称其为弹性常数，而对于非均质弹性体来说，它们是坐标的某种函数，所以称为弹性特征函数。

2.3.1 压电陶瓷的弹性矩阵如果经过均质弹性体的每一点都可以找到某一相互平行的平面，并目在该平面内各个方向的弹性性质均相同，则该平面即为各向同性面，这样的弹性体即为横观各向同性体。

另外，若经过均质弹性体的每一点都可以找到一个弹性对称轴，即弹性旋转对称轴，则这样的弹性体也称为横观各向同性体。

极化后的压电陶瓷就属于横观各向同性体，假设坐标系的方向与压电陶瓷材料的弹性主方向一致，取Z轴与极化方向3即弹性对称轴相平行，X轴平行与1方向和Y轴平行与2方向，则X-Y轴构成的平面就是各向同性面，此时，独立的弹性系数只有5个，压电陶瓷的柔度矩阵表示为：S=S11S12S12S11S13 0S13 00 00 0 S13S1300S3300 S440 00 0 0 00 00 00 0S44 00 2S11-S12在工程实际中，为了便于理解所得结果的物理意义，一般用工程常数来表示弹性矩阵。

所谓工程常数主要是指广义的弹性模量、泊松比和剪切模量等弹性系数，这些常数通过简单的单轴拉伸和纯剪切试验即可确定。

压电陶瓷柔度矩阵用工程常数表示的形式为：S=1E1−μ12E1−μ13E1−μ12E11E1−μ13E1−μ13E1−μ13E11E30000000000000000001G130001G13001G12其中G12=E121+μ122.3.2 聚合物的弹性矩阵如果经过均质弹性体内每一点的任意方向上的弹性性质相同，则称之为各向同性体。

在各向同性材料中，每一个平面都是弹性对称面，每一个方向都是弹性对称轴。

压电复合材料中聚合物相就是各向同性的材料，聚合物相独立的弹性系数只有2个，其柔度矩阵表示为：S=S11S12S12S12S11S12S12S12S11000000000 0000000002S11−S120002S11−S120002S11−S12用工程常数表示的聚合物柔度矩阵为：S=1E−μE−μE−μE1E−μE−μE−μE1E0000000000000000001G0001G001G其中G=E21+μ2.3.3 压电陶瓷弹性系数的坐标变换压电陶瓷的弹性矩阵是建立在极化坐标系（1—2—3，3为极化方向）上的，由于极化坐标系同元件坐标系方向存在的差异，所以压电陶瓷的弹性系数是方向的函数，它们与坐标的取向有关。

只有在各向同性一一聚合物相的情况下，弹性系数对任意正交坐标系才是不变的，因此各向同性体的弹性系数是不变量。

对于压电陶瓷相，若所选择的坐标轴不位于材料的弹性主方向上，则需要求得新坐标系下的弹性关系一一新的弹性系数。

设原坐标系为（x, y, z），新坐标系为（x'，y ' z'）。

新坐标系与原坐标系的方向余弦列于下表：表2.1 两坐标系间的方向余弦S ij’=S mn q im q jn（i，j，m，n=1，2， (6)可见S ij‘是S mn的线性函数，并是l ij的四次齐次函数。

式中q ij与方向余弦的关系见表2.2，其中下标i代表行标，j代表列标。

新坐标系下的刚度矩阵，即刚度系数的坐标变换公式为：C ij’=C mn q im q jn（i，j，m，n=1，2， (6)表2.2 系数q的值。