第二讲 一元二次不等式解法考点1：一元二次不等式及其解集1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20ax bx c ++<的解集为{}21x x xx <<2.对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.24b ac ∆=-0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象20(0)ax bx c a ++=>的根有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅ ∅3.解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.题型一：解一元二次不等式例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【解析】（1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或05x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅.因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠（3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-<∴原不等式的解集是∅. 例2.解下列一元二次不等式（1）2420x x -->；（2）2613280x x --<；（3）2(11)3(21)+++x x x x ≥； （4）2450x x ++>；（5）220x x -+->；（6）22320x x -->；（7）240x x ->；（8）210x x -+≤；（9）2233312x x x -+>-．6)(7)+∞，(2)⎫+∞⎪⎭，（7）题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例3.解下列关于x 的不等式 （1）2221x ax a -≤-+； （2）210x ax -+>；（3）()210x a x a -++<.【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ. 例4.解关于x 的不等式（1）)0(01)1(2≠<++-a x a x ；①a=1或a=-1时，解集为∅；（2）223()0x a a x a -++>（a R ∈）；【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒--> 当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠； （3）2210ax x -<＋；当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)，②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x∈R； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x∈R且x≠1；（4）()2212x ax aa ∈R －＞当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；题型三：一元二次不等式的逆向运用例5.（1）不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<（2）设关于x 的不等式()()110()ax x a R -+<∈的解集为{}1|1x x -<<,则a 的值是（ ）A.-2B.-1C.0D.1【答案】∵关于x 的不等式(ax -1)(x +1)<0(a ∈R)的解集为{x |-1<x <1}，即a 的值是1，故选D 。

（3）已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.（4）已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得)(1,)+∞.课后综合巩固例1.解下列一元二次不等式（1）210x x -+≤；（2）2233312x x x -+>-．【解析】（8）∅（9）R .例2.解一元二次不等式)0(01)1(2≠<++-a x a x ；①a=1或a=-1时，解集为∅；例3.已知220ax x c ++>的解为x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.例4.已知不等式22412ax x a x ＋＋＞－对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 【解析】原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立， 显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有220,44(2)(1)0.a a a +>⎧⎨∆=-+-<⎩ 整理，得2,(2)(3)0.a a a >-⎧⎨∆=-+>⎩解得a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．。