局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
14:32
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
Page 12
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
14:32
LOGO
应用虚力原理求刚体体系的位移
支座移动时静定结构位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应 的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出支座 反力FRK； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移 Δ=- ∑FRK· cK
ds
b 1 bh3 I=— 12 k载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
荷载引起的位移的计算公式
两类力 ⑴ 实 际 荷 载 引 起 的 内 力 — MP，FNP ，FQP ； ⑵ 虚设单位荷载引起的内力 — M，FN ，FQ ； 内力的正负号规定
⑵ 剪切变形引起的位移 Q k
Page 15
F Q FQP
1.2 l ql 2 ds 1 qx dx 0.6 GA GA 0 Gbh
14:32
h
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q 1 A x B l
Δ
A
Δ
l
b
2 Q kql 2 / 8GA h 2.56 简支梁？ 4 M 5ql 384 EI l
结论： ⑴ 剪力影响 /弯矩影响 ∝ h2/l2；
⑵ 若h/l < 1/10 ，则剪力影响可以忽略；
大部分梁满足这个条件；
⑶ 若h/l > 1/5 ，则剪力影响变得重要；
求出各截面的内力MP、FNP、FQP； 下标P表示由荷载引起 求出相应的弯曲、拉伸和剪切应变 ⑴ 曲率 κ = MP / EI ;
I是截面惯性矩； 前提是什么？ A是截面面积；
M
d θ
M
⑵ 拉伸 ε = FNP / EA;
⑶ 剪切 γ0 = kFQP / GA; k是形状系数；
Page 10
Page 16
E/G = 2(1+μ) = 8/3
14:32
h
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q q B A B l
2 Q h 1.07 悬臂梁 M l
Page 17
14:32
h
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 梁和刚架 桁架
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 引起的位移
变形类型
M P 0.5qx2
M x
M 1.5 ql 4 Ebh3
Q 0.6 ql 2 Gbh
FQP qx
F Q 1
⑶ 总位移 ⑷ 位移比较
M Q
2 Q Eh 2 h 0.4 2 1.07 M Gl l
1 M P qx 2 2
l
1 bh3 I=— 12
FQP qx
ql
F Q 1
1
A =bh
Page 14
14:32
h
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
各类结构的位移公式
例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直位移Δ，并比较弯曲变形和剪 切变形对位移的影响。设梁的截面为矩形，泊松比1/3。 q 1 A x B l
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK· cK
结构位移计算的一般公式
Δκ= ∑ ∫ Mκ ds — 弯曲变形 κ 对位移的影响；
Δε= ∑ ∫ FNε ds — 轴向变形 ε 对位移的影响； Δγ= ∑ ∫ FQγ0ds — 剪切变形γ0对位移的影响； Δc= -∑ FRK· cK — 支座位移cK对位移的影响；
Page 20
A
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
qa2/2
C
各类结构的位移公式
例 1 ：图示刚架，已知各杆的弹性模量 E和截 B 面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV， 水平位移ΔBH，和位移量ΔB；
解: ⑶ 求B点的水平位移ΔBH ；
作单位力，画出弯矩图（外侧受拉为正）； ① 横梁BC M ( x) 0 (0 x a) ② 竖柱CA M ( x) x (0 x a) 1 ③ 计算位移
只受轴力
弯曲变形主导

MMP ds EI F N FNP F N FNPl ds EA EA （一般EA和轴力是常数） F N FNPl MMP ds EI EA


桁梁组合结构
梁式杆弯矩主导， 链杆只受轴力
拱
弯矩轴力都重要
拱坝等拱形结构，因 F N FNP MM P ds ds 厚度较大，其剪力也 EI EA 是不可忽略的。
温度改变时的位移计算
变形体的虚功原理 互等定理
思考与小结
Page 9
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK· cK
结构位移计算的一般公式
普遍性： ⑵ 变形因素：荷载引起的位移、温度或支座移动引起的位移；
荷载引起的位移的计算公式
Page 18
14:32
LOGO
荷载作用下的位移计算及举例
q B x a C
各类结构的位移公式
例 1 ：图示刚架，已知各杆的弹性模量 E和截 面惯性矩I均为常数，试求B点的竖向位移ΔBV， 水平位移ΔBH，和位移量ΔB；
EI= 常数
A a
解: ⑴ 刚架可忽略轴向变形，故只要作出荷载作 用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程； ① 横梁BC
FRA
O
难点：这一段的索多边形？ 思路： ⑴ 压力线就是合理拱轴线； ⑵ 合理拱轴线： y(x) = M0(x)/FH， FH = 11.25kN FRA F
12
P1
23 FP2 FP3
O
FCE FRB
解：作等代梁的弯矩图，并缩放
FRB
10kN
12.5/FH 4 42/FH 3/FH
Page 3
LOGO
D
• 表述一：FNa = -P (受压) • 表述二：FNa = P (受压为正) • 表述三： FNa = - P
（给计算带来不便） （统一采用默认规范）
×
• 表述一：MD = - Pl （正负？）
×
• 表述二：MD = Pl (顺时针为正) ×
• 表述四： MD = - Pl (内侧受拉为正)
（内力成对，一个顺时针，一个逆时针） • 表述三：MD = - Pl (前文已作图)
r2
F2
虚功原理
对于具有理想约束的刚体体系，平衡力系中的 主动力在可能位移上所作的虚功总和恒为零。
Page 5
F1· r1+ F2· r2 = 0
14:32
LOGO
应用虚力原理求刚体体系的位移
虚位移原理 ：虚设位移，求未知力
单位位移法
刚体体系的虚功原理
基本概念
虚功原理 虚力原理
：虚设力系，求位移
结构位移计算的一般步骤
⑴ 虚设θA对应的单位荷载； ⑵根据平衡条件，求出结构内力和支
A
1
B’
θA
Δ
1/l
B
座反力；
⑶根据一般公式，算出位移；
Page 8
1
14:32
LOGO
第五章 虚功原理与结构位移计算
主要内容