1
NP
N
1
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第七章
静定结构位移计算
第23页
DP

M M P ds EI


F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
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第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
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第18页
Cy

yc
EI

[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc
yc
EI
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第4页
B

A
M M P ds EI

tg EI
xc

yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
解 （1）作实际状态的 M
P
。
ql 8
2
ql 8
2
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第14页
（2）建立虚拟状态，并作
l/2
M
图。
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（3）进行图形相乘，求C点竖向位移 C y 。
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ql
2
3 2
ql 8
2
8
1
Cy
1

1
yc
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§7－4 图 乘 法
一．图乘法的计算公式
梁和刚架在荷载作用下的位移式
1 KP

M M P ds EI
当结构的各杆段符合下列条件时： （1）杆轴为直线； （2）EI＝常数； （3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形 则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化计算工作。
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h
顶点
2 3
l h
在抛物线图形中，注意顶 点是指该点的切线平行于底 边的点。
1
1
2 3
l h
2
顶点
2
1 3
l h
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第7页
二．图形分解成和图乘的分段叠加
在实际计算中，可将复杂的图形分解成几个简单的图 形，然后分别将简单的图形相乘后再叠加。
1
1
2
2
1
2
[( 4 20 )( 4 8 ) ( 4 72 )( 8 4 ) 4 EI 2 3 3 2 3 3 84
1
1
2
1
1
2
1
( 4 4 )( )] 3 2

1088 3 EI
( )
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例3 试求图示结构D点的竖向位移 D y
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在图乘法中，当各杆段的截面不相等时，应分段图乘， 再进行叠加。
yc
EI
1 y1
EI 1


2 y2
EI
2

3 y3
EI
3
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三．图乘法位移计算举例
例1 试求图a 所示刚架C 点的竖向位移 C y 。
c
y1
y2
d
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a
1
2
b
d
y2 c y1
yc
EI 1 EI
图形的纵距a、b 或c、 d不在基线同一侧时。 处理原则也和上面一样， 可分解为位于基线两侧的两 个三角形，分别与另一图形 相乘，然后叠加。

( 1 y 1 2 y 2 )
yC
EI 1 EI ( 1 y 1 2 y 2 )
a
1
2
b
1 al 2 1 bl 1 2 2 ( 3 c 3 d ) 2 ( 3 c 3 d ) EI 1 l 6 ( 2 ac 2 bd ad bc ) EI
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等截面直杆AB段 以杆轴为 x 轴，以 M 图的 延长线与 x 轴的交点O为坐 tan 标原点， 沿AB杆段为 常数 M x tan
B

A
M M P ds EI

1 EI
B
MM
A
P
dx

tan EI
B
xM
A
P
dx
tan EI
B
xd
A
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式中， d M P dx 为 M P 图中有阴影线的微面积，故 xd 为微面积对 y 轴的面积矩。
xd 即为整个 M 图的面积对 y 轴的面积矩。
P
根据合力矩定理，它应等于M P 图的面积 乘以其形心c到
y轴的距离 x c ，即
MB MA
qa 8
2
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在图乘法中，当yc所属图形不是一段直线而是若干段 直线组成时，应分段图乘，再进行叠加。
yc
EI

1 EI
( 1 y 1 2 y 2 3 y 3 )
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根据上面的推证过程，可知在使用图乘法时应注意下列各 点： （1）必须符合上述三个条件； （2）纵距 y c 只能取自直线图形； （3） 与 y c 若在杆件的同侧则乘积取正号，否则取负 号 位移计算中常见的几种图形的面积和形心的位置

1 2
l h
EI
ql
2
l/2
y3
y2
1
y1
[( ) EI 3 8 2 8 2 l ( l) 2 8 3 2 ( 2 3 ql
4
l
3l
1
ql
2

ql 8
2
l)
l 4
]
( )
128 EI
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例2 图示变截面杆AB 段的弯曲刚度为4EI，BC段的弯曲刚 度为EI，试求C点的竖向位移 C y 。
。
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解 此结构为一组合，作实际状态的 M P 、NP 图。
NP
NP 图
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作虚拟状态的 M 1 、 N
1
图。 1
N
1
N
1
图
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计算D点竖向位移。图乘时可将CD 段的 M P 图分解成一 个梯形和一个二次标准抛物线。AC段的 M P 图同样分解成 两部分。BC 杆为轴力杆，由此可得
1 al 2 1 bl 1 2 1 l 2 ( 3 c 3 d ) 2 ( 3 c 3 d ) EI 6 ( 2 ac 2 bd ad bc ) EI
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对于在均布荷载作用下的任何一直杆段AB，其弯矩图 均可看成一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。
( 10
2 )( 1 . 5 2 ) 4 2

98 . 84 EI
( )
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第24页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
y5 y 4 y 3
y1 y2