例3 求 ,B EI等于常数。
解： A
作 M 图及M P 图，
如右所示。
7kN
B 2m
6kN/m
C
6kN.m
4m
17kN
分段：M
，M
分
P
为AB、BC两段。
分块： M
图的
P
BC段分为两块。
y2
ω1 14
y1 1/3
6 ω3
12 M P 图 （kN.m)
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
11221414
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M MP dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M MPdx
(Mxtaα n)
E1IxtanαMPdx
tanα EI
xMPdxtaEnIα
xdA
tE aαnIApxcE 1A Ipyc
y A
Mp
C
dx B
yc
xc
x
§4-4 图乘法
1.图乘法原理
梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：
KP
MKMP ds 称莫尔积分 EI
建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。
图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。
2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线；
（2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 M 图 M P 中至少有一个是直线
广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值
和量纲 (W FP1FP2) 上仍然保持相等。
例1 验证位移互等定理。
FP1=F EI 1 Δ21 2 a/2 a/2
EI 1 FP2=M2 Δ12
a/2 a/2
F
M/2
M
Fa/4
1/2
1
1
解：
a/4
21
1 1a1Fa1 EI 2 4 2
Fa2 16EI
所以
FP FP
即 F P 1 1 F P 2 2 F P a a F P b b
在任一线性变形体系中，第一状态的外力
在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。
W12 W21
二、 位移互等定理
在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数δ21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数δ12。
（1）常见图形面积和形心：
矩形
a
l
Aal
三角形 a
l
A
1 2
al
xc
1 2
l
xc
1 3
l
a
l
标准二次 a
抛物线
l
a
l
A
1 3
al
A
2 3
al
A
2 3
al
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
（2） 梯形相乘
A1
A2
M iM K dxA 1y1A 2y2
y1
(2c 3
d
)
y
2
(c
2d) 3
12
1 1a1a1M EI 2 4 2
Ma2 16EI
2 1 2/1 F 1a E 26I1 2 1/2M 1a E 26I
12 21
例2 验证位移互等定理。
FP1=5kN.m 1
EI 4m
2
1
Δ21
1m
FP2=3kN
Δ12
2
EI
4m
1m
3 5
11
1
1
解： 21E1I125413131E0I 2121/53E 2I
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时，
ω应代以负号.
Mc 也应按弯矩符号给以正负号.
l
x
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
Ap
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
Ap
lh 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
M x
图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路
运输学院的学生。
4、 注意事项
KP
APyc EI
（1）必须符合图乘法的适用条件； （y c2） 必须取自直线图形；
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
y3
1/6
1 2/3
ω2
1/6
M图
例5-5 求ΔCH，EI等于常数。
2kN/m
A
B
EI
2m
EI
2kN/m
C 4m 解： 作MP图和 M 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。
1
1 3
2
4
8 3
y1
3 4
2
1.5
12
2
2 3
4
4
32 3
y2 2
A
3 24 8
y3
1 2
(12
4)
4
2
CH
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
l b
l a
3
3
l
顶点
C
5l
3l
8
8
l
三角形
AP
lh 2
二次抛物线
Ap
2 3
hl
c
顶点
3l/4
l/4
l
二次抛物线
lh Ap 3
顶点
(n 1) l n2
l
c
l n2
N 次抛物线
lh n1
3. 图形相乘的几种情况
12E1I1234131E2I 1212/33E 2I
12 21
三、反力互等定理
反力互等定理
只适用于超静 定结构，因为 静定结构在支 座移动时只产 生刚体位移， 其内力和支座 反力均等于零 。
1 C1 FR11 1 FR12
根据功的互等定理有：
2
状态I
FR21 2 C2
状态II
FR22
FR21C2 FR12C1
F P 1 1 2 F R 2 1 C 2 0F P 1 1 2 F R 2 1 C 2
令
12 C2
12
FR21 FP1
r21
1 21 2 C 2 F R 2 1 r2 1 F P 1
F P 11 2 C 2 F P 1 r2 1 C 2
12 r21
上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。 符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位 移方向相反。系数 1 2 、r 2 1 的量纲都是 (W FP1c2) 。
FP1 1
1
2
FP2 1
12
说明： 11 21
12 22
1） δij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。
I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。
2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应 的δ12和δ21就是线位移影响系数或角位移影响系数。
即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个
分块： M P 图的AC段分为两块。
1
221 3
4 3
y1 1
A
ω1 y2 4
C
MP B
2
1222 2
y2
(2 3
16
1 3
4)
2 ω2
1
36 12 3
A
y1
C
M
B
C V E 1 ( 1 y I 1 2 y 2 ) E 1 ( 3 4 I 1 2 1 ) 2 2 . 6 E 2 1 7 I
得
说明：
r12 r21
rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 (W c1c2 ) 。
i 产生支座反力的方位；
j 产生支座移动的支座。
在移起任的C2相一与应线位的性移反变C1力相形影应体响的系系反中数力，r影位21响移等系C于1数引由起r位12的。移与C2位引
例6-3 验证反力互等定理。
在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷 载FP1相应的位移影响系数 12 在绝对值上等于由
荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数r 2 1
，但二者符号相反。
位移反力互等定理在混合法中得到应用。
例4 验证位移反力互等定理。
FP1 1 a/2 a/2
5 12 16 C2
2
1
FR1
2
5 16
1 EI
(1 y1 2 y2
3 y3)
1 ( 8 1.5 32 2 8 4)
EI 3
3
1 (25.33 32) 6.67 ( )
EI
EI
y3=4 ω2 2m MP图(kN.m)
ω3 y2
M图
4B 4
ω1
C 2
y1
1
作业：
4-3 (a)；(c)
§4-5 互等定理