二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。
单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX1(z) zx1(0) X 2 (z)
x2(kT)
z1 x1(kT)
y*(t) y(kT )(t kT ) n0 [1/ 6 1/ 2(1)k 2 / 3(2)k ](t kT ) n0
例4：求y[(k+2)T]+y[(k+1)]+0.24y(kT)=u(kT)在单位阶跃函数 作用下的解。初始条件y(0)=0, y(T)=1。
解: z2Y (z) - z2 y(0) - zy(T ) zY (z) - zy(0) 0.24Y (z) U (z)
Y (z)
z U(z) z2 z 0.24
(z
z2 1)(z2
z
0.24)
U (z) Z[1(t)] z z 1
z[
z
]
(z 1)(z 0.4)(z 0.6)
z
0.446 (z -1)
1.429 (z 0.4)
-
1.875 (z 0.6)
y(kT ) 0.446 1.429(-0.4)k -1.875(-0.6)k
b0r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr(kT )
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y&(t) Ke(t) K(r(t) y(t)) y&(t) Ky(t) Kr(t) (1)
用一阶前向差分方程近似：
r(t) e(t) -K
y(t) [0.446 1.429(0.4)k 1.875(0.6)k ](t kT ) k 0
(t -T ) 0.763(t - tT ) 0.24(t - 4T ) ......
y(3) =-3y(2) -2y(1)+1(1)= -3*(-2)-2*1+1= 5
。。。。。。
y *(t) (t T ) 2(t 2T ) 5(t 3T) K K
Z变换法：是用z变换实数位移定理、将差分方程化为以z为变 量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。
Z变换法得到解的收敛表达式，而不是级数形式，更具有直观 性，便于理论分析与研究。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。 特点：适用于计算机处理求解。
例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k) 利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有：
y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
z 1
(z2 3z 2)Y (z) z z z2 z 1 z 1
Y
(z)
(z2
3z
z2 2)(z
1)
z

1/ 6 1/ 2 2 / 3
z[
] z[ ]
(z2 3z 2)(z -1) z -1 z 1 z 2
y(kT ) z1( y(z)] 1/ 6 1/ 2(1)k 2 / 3(2)k
差分方程及其Z变换法求解
一、离散系统的差分方程模型
一阶前向差分方程：
y(k 1)T ay(kT) br(kT)
y(k 1) ay(k) br(k)
一阶后向差分方程：
y(kT) ay(k 1)T br(kT)
y(k) ay(k 1) br(k)
二阶前向差分方程：
y(k 2) a1y(k 1) a2 y(k) br(k)
z 1
x2(z)
x1(0) 1
x1(z)
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -(KT -1) y(kT) + KTr(kT )
r(kT) KT
y[(k 1)T ] (KT -1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) (K -1) y(k) Kr(k)
y[(k+1)T]
y(k 2)T a1y(k 1)T a2 y(kT) br(kT)
二阶后向差分方程：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) br(k)
y(kT) a1y(k 1)T a2 y(k 2)T br(kT)
依此类推，可得n阶差分方程：
y[(k n)T ] a1y[(k n 1)T ] .......an1y[(k 1)T ] an y[kT ]
例3：用Z变换法解二阶差分方程 y[(k+2)T]+3y[(k+1)T]+2y(kT)=1(kT)
初始条件为：y(0)=0, y(T)=1
y(k+2) +3y(k+1) +2y(k)=1(k) 初始条件为：y(0)=0, y(1)=1
解: [z2Y (z) - z2 y(0) - zy(T )] 3[Y (z) - zy(0)] 2Y (z) z
y&(t) dy lim y(k 1)T y(kT )
dt T 0
T
y(k 1)T y(kT ) (T 很小) (2)
T
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y(k 1)T (KT 1)y(kT) KTr(kT)
y(k 1) (K 1) y(k) Kr(k)
y(t) 1/s
(3)
z 1
-
KT-1
y(kT)
三、差分方程的解
差分方程的求解：迭代法、z变换法。 迭代法：将原系统的差分方程化为如下形式：
y[(k n)T ] a1y[(k n 1)T ] ...... an1y[(k 1)T ] an y[kT ] b0r[(k m)T ] b1r[(k m 1)T ] .......bm1r[(k 1)T ] bmr(kT )