2018年10月8日星期一 Page 4
2、恩克方法（Encke,1857年） 基本思想：以开普勒轨道为基准轨道， 列写航天器偏离此轨道的动力学方程。 r r ρ r
实际 基准 轨道 轨迹 轨道 偏差
r
ρ
建立以 r为变量的动力学方程：
d 2 ( r ) f 2 dt
优点：由于轨道偏差变化缓慢，因此方程积分步长可以较 大，计算效率高。 缺点：该方程只能适用于小偏差的情况，当时间较长时， 应选用新的基准轨道。
V (r ) U () U (r ) U (r )
如直接求r，就是考威尔 方法。因此关键是把 r 表示成轨道根数的函数。
拉格朗日行星摄动方程
Page 9
mr F
r U
r r (a, e, M , , i, )
2018年10月8日星期一
如果摄动力是非有势力
例如大气阻力
z

y

vபைடு நூலகம்
YN

XN
h rv
p h
2
O
x
vr
Y

p
r v
2 2
X

2018年10月8日星期一
Page 12
p
r 2 v2

2 e 1 2 (v v ) r
2
r v
2 2
2 r
2
取乔丹速度变分： (r
0, v 0)
v 2r
p
碰撞理论的假设
d2r r 3 f 2 dt r
在惯性坐标系中，可以写成
2018年10月8日星期一
Page 3
x x r3 fx y y fy 3 r z z fz 3 r
r x2 y 2 z 2
优点：该方法简单直观，适用范围广，对摄动项没有什么 限制，可同时处理不同的扰动。 缺点：由于摄动项远小于地球引力项，为了在计算中反映 出摄动的影响，要求计算精度高，积分步长小，运算量大， 误差积累可能严重。 目前由于计算水平提高，该方法重新得到重视。
具体在考虑摄动影响时，根据不同摄动因素 的特点，可以采用下面两种主要的处理方法。
2018年10月8日星期一 Page 8
如果摄动力是有势力
存在位函数U（势能函数）
U
势能函数与势力有何关系？

r
R(r )
U F U , Fx x
势能V与势能函数U有何关系？
摄动力的位函数 地球中心力场的位函数
Page 6
2018年10月8日星期一
第二步，把航天器长时间内连续受到的摄动影响， 看成是在离散时间内航天器受到的系列微小冲量。 根据前面的结论： 航天器在受到冲击后，轨道 运动仍为开普勒运动，但轨 道根数相应发生微小的变化 因此，每一时刻航天器都存在一个新的椭圆轨道， 这些变化的椭圆轨道就构成了航天器的实际轨道。 t0
YN

XN
x
Y
O
X
Page 11
瞬时扰动引起的轨道摄动
根据轨道积分
h r v
e2 1
2 Eh 2
2
把速度 v 在轨道坐标系 Oxyz 中分解， ZN Z v v 得径向速度 r ，横向速度 。
2 2 2 2 e 1 2 (vr v ) r r 2 v2
2018年10月8日星期一
这些干扰因素将使 航天器偏离其预期的轨 道。但由于这些干扰因 素与地球引力相比是微 量，这种微小扰动通常 称为摄动。
Page 2
轨道摄动的处理方法
1、考威尔方法（Cowell,1910年） 基本思想：直接考虑干扰因素和中心万有引力。
二体系统的动力学方程
附加摄动项
d2r r 3 2 dt r
2018年10月8日星期一
轨道根数连续变化
Page 7
小结
考威尔方法（1910年）
恩克方法（1857年）
轨道根数摄动方法（欧拉，1748年）
在前面的三种方法中，前两种方法偏重于计算， 每次计算所得结果不具有一般性；后一种方法偏重 于理论分析，所得结论及其近似结果，具有重要的 理论意义。因此本课程将重点介绍轨道根数摄动法。
p
e
2r 2v v

2r
rv


v
re r {sin f vr [ (1 ) cos f ] v } p p
p
2018年10月8日星期一
Page 13
力学中有多种变分： “等时变分”－－不考虑时间变化； “乔丹变分”－－不考虑位置变化； “高斯变分”－－不考虑速度的变化。
第三章 航天器轨道运动的摄动 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 轨道摄动的原因及处理思路 轨道根数摄动方程 非中心引力场引起的摄动 大气阻力引起的摄动
2018年10月8日星期一
Page 1
§3.1 轨道摄动的原因及处理思路
前面介绍了航天器轨道运动的理想模型－－ 开普勒轨道。由于各种干扰因素的存在，航天器 的轨道不再遵循开普勒运动规律。 这些干扰因素包括 非均匀的地球引力场 大气阻力 太阳光压 太阳、月球的引力
2018年10月8日星期一 Page 10
§3.2 轨道根数摄动方程 由于高斯形摄动方程具有普遍性，下面简要介绍 建立惯性坐标系 OXYZ 升交点坐标系 OX N YN Z N
Z ZN
z

y

近地点坐标系 O
轨道坐标系 Oxyz 各轴的单位矢量用该轴 0 字母加上标0表示，如：X N
2018年10月8日星期一
把摄动加速度（单位质量的摄动力）分解 为相互垂直的三个分量
f p fr ur f u fn un
径向 横向 法向
横向与切向？ 横向 切向
d2r r 3 fp 2 dt r
通过对轨道积分常数的摄动变化，导出轨道 根数变化的高斯形摄动方程。 高斯形摄动方程具有普遍性，也可处理摄动 力是有势力的情况。
2018年10月8日星期一 Page 5
3、轨道根数摄动方法（欧拉，1748年） 基本思想：认为干扰因素远比引力作用小， 保留开普勒运动的基本特征， 将轨道根数视为缓慢变化的变量。
首先假设，如果航天器在极短的时间内受到冲击 质心位置没有变化， 速度有微小的增量
碰撞理论的基本假设
此时新的位置和速度 决定了新的轨道根数 航天器在受到冲击后，轨道 运动仍为开普勒运动，但轨 道根数相应发生微小的变化
关于变分：
2018年10月8日星期一