第四讲 幂函数、与反函数一、知识梳理1．幂函数：①定义：形如ay x =（a 为常数）的函数叫幂函数。

当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0<a 时，图象过定点)1,1(。

当10<<a 时，函数图象在第一象限缓慢增长； 当1>a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0<a 时，函数图象在第一象限单调递减。

② 几个常见幂函数的图象：③几个常见幂函数的性质：2、反函数①定义：设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中y x ,的关系，用y 把x 表示出，得到()y x ϕ= 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()y x ϕ= (C y ∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x fy -=。

②注意事项：（1）“一一映射”确定的函数才有反函数；定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集合的偶函数不存在反函数； （3）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成；（4）反函数的单调性与原函数的单调性相同； （5）反函数的定义域由原函数的值域确定。

③函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称；若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数。

④如果函数)(x f y =的反函数就是本身，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称。

⑤公式：()()A x x x f f C x x x ff ∈=∈=--)]([,)]([11。

（其中C 是值域，A 是定义域）。

二、典型例题题型一 幂函数概念例1、已知是32)22(1122-+-+=-n x m m y m 幂函数，求n m ,的值。

解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-≠-=-+2330320112222n m n m m m ，23,3=-=∴n m 即为所求。

题型二 幂函数的图像例2、幂函数213112,,,--====x y x y x y x y在第一象限内的图像依次是图中的曲线（ ）函 数 x y = 2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 R R R ),0[+∞ }0|{≠x x 值域 R ),0[+∞ R ),0[+∞}0|{≠y y奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性R 增]0,(-∞减 ),0[+∞增R 增),0[+∞增(,0)-∞减 (0,)+∞减定 点0>n 时，都过)0,0(和)1,1(，0<n 时，都过)1,1(yO x12y x=1y x -=1y x -=3y x =2y x =2y x =3y x =y x =y x=3-3-2-2-1-1-3213211 xy1C3C 2C 4CA.4312,,,C C C CB. 2314,,,C C C CC. 4123,,,C C C CD. 3241,,,C C C C解析：由于在第一象限内直线1=x 的右侧时，幂函数αx y =的图像从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数2x y =在第一象限的图像为1C ，同理1-=x y 在第一象限的图为4C ，31x y =在第一象限的图为2C ，21-=x y 在第一象限的图为3C 。

故选D 。

例3、函数13y x =的图像是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）解析：选B.取18x =，18-，则12y =，12-，选项B 、D 符合；取1x =，则1y =，题型三 幂函数的性质例4、求下列函数的定义域与值域。

（1）32-=xy ； （2）43-=xy解析：（1）解析式化为321x y =，其定义域为}0,|{≠∈x R x x ，值域为),0(+∞；（2）解析式化为431x y =，其定义域为),0(+∞，值域为),0(+∞；例5、已知10a -<<，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 . 解析：a a a 3331<< . 例6、942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .解析：5例7、设函数121()f x x =，12()f x x -=，23()f x x =，则123(((2009)))______f f f =.解析：122221231211(((2009)))((2009))(2009)(2009)2009f f f f f f --====. 例8、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系 是（ ）（A ）)2(21x x f +>2)()(21x f x f + （B ）)2(21x x f +<2)()(21x f x f + （C ）)2(21x x f +=2)()(21x f x f + （D ） 无法确定 解析：选A. 题型四 反函数的求法例9、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是（ ）（A ）222(1)y x x x =-+< （B ）222(1)y x x x =-+≥ （C ）22(1)y x x x =-< （D ）22(1)y x x x =-≥ 解析:选B.例10、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象1C ，再将1C 向上平移一个 单位得到图象2C ，作出2C 关于直线y x =对称的图象3C ，则3C 的解析式为 . 解析：1)1(log 2--=x y .例11、已知()()1122-<-=x x x f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛--321f . 解析：由反函数的定义可得：32122-=-x且1-<x ， 解之可得：2-=x ， y xO11O yx11O yx11O y 11x所以2321-=⎪⎭⎫⎝⎛--f 。

题型五 互为反函数的图像关系例12、函数()x f y -=与()x fy 1--=的图像（ ）（A ）关于原点对称 （B ）关于x 轴对称 （C ）关于直线x y =对称 （D ）关于直线x y -=对称 解析：()x f y -=与()x f y =关于x 轴对称；()x fy 1-=与()x f y =关于x y =对称；()x fy 1--=与()x fy 1-=关于x 轴对称，故()x f y -=与()x f y 1--=的图像关于直线x y -=对称。

另：可结合图象说明。

故选D 例13、设函数()()01112≤≤---=x x x f ，则函数()x f y 1-=的图像可能是（ ）解析：原函数图象上有点)231,21(),1,1(---，故反函数图象上有点)21,231(),1,1(--- 结合图象即知选B 。

例14、已知1x 是方程27lg =+x x 的解，2x 是方程2710=+x x 的解，则21x x +的值是 。

解析：由x x x x -=⇒=+27lg 27lg ，由x x x x -=⇒=+27102710。

令x y y x y x-===27,10,lg 321，如图，由)227,227(22722727A y x x y x y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-==又因为xy x y 10,lg 21==的图像关于x y =对称。

故22721=+x x 。

题型六 幂函数综合例15、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

据此可推测，对任意的非零实数,,,,a b c m n ，关于x 的方程|()|0f x m n -=的解集都不可能是（D ） （A ）{}1 （B ）{}5,9 （C ）{}6,8,10 （D ）{}1,3,9,10 解析：选D.例16、已知函数xxa b y 22++=(a b 、是常数且0a >，1a ≠)在区间3[,0]2-上有max 3y =，min 52y =，试求a 和b 的值. 解析：令222(1)1u x x x =+=+-，3[,0]2x ∈-∴当1x =-时，min 1u =-；当0x =时，max 0u =①当1a >时，01352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩； ②当01a <<时，01523b a b a -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 综上得：22a b =⎧⎨=⎩或2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 例17、已知())1(112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f 。

（1）求()x f 的反函数()x f 1-；（2）令()()211++=-x x fx g ，求()x g 的最小值；（3）若不等式()()()x a a x fx ->--11，对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立，求a 的范围。

解析：（1）由222)121()121()11(+-+=+-+=+-=x x x x x y ，1>x ∴11210<+-+<x ， 故)1,0(∈yyo -11yxo11xoy-11x1-1oyxDABC1x2x yxO x y =xy 102=x y lg 1=A由2)11(+-=x x y 得：yy x y x x -+=⇒=+-1111， 故)10(11)(1<<-+=-x xx x f 。

（2）)10(12)1(211)(<<+++=+++-=x x x x xx x g令)2,1(1∈=+t x ，则tt t h 2)(+=在]2,1(上递减，在)2,2[上递增 故2=t ，即223-=x 时，22)(min =x g（3）问题转化为)(1x a a x ->+，即01)1(2>-++a x a 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立 令]22,21[∈=n x ，)1()1()(2a n a n L -++=，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+⋅+=>-+⋅+=0122)1()22(0121)1()21(22a a L a a L 解之得：)23,1(-∈a 。

题型七 二次函数常见综合题型例18、设()x f 是定义在()+∞∞-,上的增函数，如果不等式()()a f x ax f -<--212对于任意[]1,0∈x 都成立，求实数a 的取值范围。

解：依题意()()012121222>+-+⇔-<--⇔-<--a ax x a x ax a f x ax f 对[]1,0∈x 恒成立，令1)(2+-+=a ax x x g ，问题转化为当[]1,0∈x 时，0)(min >x g⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-⇔01)0(02a g a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--=-≤-≤0141)2(1202a a a g a 或⎪⎩⎪⎨⎧>=>-02)1(12g a 10<<⇔a 或02≤≤-a 或2-<a 故)1,(-∞∈a 。