有理数及其运算
知识结构
.1.2a a a b a b ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪-⎧⎨⎨⎪--+⎩⎩有理数定义：整数与分数统称为有理数定义：规定了原点、单位长度、正方向的一条直线①直线、正方向画法：②原点、单位长度、刻度①数轴①表示数作用：②比大小③表示距离定义：只有符工号不同的两个数互为相反数②相反数的相反数是求法：每一项改变符号的相反数是定义：数轴上，表示一个数的点到原点的距离 具叫做这个③绝对值3.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎩运算数的绝对值正数的绝对值是它本身法则：负数的绝对值是它的相反数0的绝对值是0①判断绝对值里面式子整体的符号操作：②背绝对值法则去绝对值①加法口诀：同号相加要合并，异号相加要抵消．②减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝法则及运算律对值相乘．4.⎧⎪
⎪
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⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪
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⎧⎪
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⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎧⎪
⎨⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩⎪
⎩
④除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数．
①观察结构划部分混合运算操作②有序操作依法则③每步推进一点点
①水位变化问题：题目中反复出现“相反意义的量”简单应用：常见类型时，利用正负数表示之；②时差问题．
【基本概念】
1. 在(3)-+，22-，2016(1)-，(5)--，293--中，是负数的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2. 某地区夏季山上温度从山脚起每升高100米平均降低0．8℃，已知山脚温度是28℃，山顶的温度是-4℃，则这座山的高度为________．
【科学记数法】
3. 据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为
82 600 000人次，数据82 600 000用科学记数法可表示为（ ） A ．60.82610⨯ B ．78.2610⨯ C ．682.610⨯ D ．88.2610⨯
4. 2016年，我国国内生产总值达到74．4万亿元．数据“74．4万亿”用科学
记数法表示为（ ）
A ．1274.410⨯
B ．137.4410⨯
C ．1374.410⨯
D ．147.4410⨯
【画数轴】
5. 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a b -可化简为（ ）
A ．a b -
B ．b a -
C ．a b +
D ．a b --
0b a
6. a ，b 是有理数，其中ab >0，a +b <0，a b >，把a ，-a ，b ，-b 按照从小到
大的顺序排列正确的是（ ） A ．a b a b >>->-
B ．a b b a <<-<-
C ．b a a b <<-<-
D ．b a a b -<-<<
7. 如图，A ，B 两点在数轴上表示的数分别为a ，b ，则下列式子成立的是（ ）
A ．0ab >
B ．0a b +<
C ．(1)(1)0b a -+>
D ．(1)(1)0b a -->
-11
B a
b
A 0
8. 在数轴上表示下列各数：0，3--，1
12
，21-，(4)--，223，并比较它们的
大小．
9. 如图，数轴上的A ，B ，C 三点所表示的数分别是a ，b ，c ，其中AB =BC ，
如果a b c >>，那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ） A ．点A 的左边 B ．点A 与点B 之间
C ．点B 与点C 之间
D ．点B 与点C 之间（靠近点C ）或点C 的右边
c
b
a
C B A
10. 已知A ，B ，C 是数轴上的三个点，点A ，B 表示的数分别是1，3，如图所
示．若2BC AB =，则点C 表示的数是_________．
B A
-1
4
3
2
1
【有理数的乘方】
11. 下列各数中，互为相反数的一对是（ ）
A ．2332-与
B ．332(2)--与
C ．223(3)--与
D ．33(32)32-⨯-⨯与
12. 下列说法：①若a 表示有理数，则-a 表示负有理数；②22()a a =-；③若a b >，
则22a b >；④若0a b +=，则22+=0a b ．其中正确的个数有（ ） A ．4个 B ．3个
C ．2个
D ．1个
【有理数的实际应用】
13. 一种“24点”游戏的规则如下：用4个数进行有理数的混合运算（每个数必
须用一次而且只能用一次，可以加括号），使运算结果为24或-24，现有四个有理数1，-2，4，-8，请按照上述规则写出一种算式，使结果等于24或-24：____________________________．
14. 建设银行的某储蓄员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负，2016
年10月20日，他先后办理了七笔业务：+2000元，-800元，+400元，-800元，+1400元，-1600元，-200元．
（1）若他早上领取备用金4000元，那么下班时应交回银行_______元钱． （2）请判断在这七次业务中，小张在第_____次办理业务后，手中的现金最多；第_____次办理业务后，手中的现金最少．
（3）若每办一笔业务，银行发给业务员业务量的0．1%作为奖励，小张这天应得奖金多少元？
（4）若记小张第一次办理业务前的现金为0点，用折线统计图表示这七次业务办理中小张手中现金的变化情况．
第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次
400
8001200160020002400现金/元次数
【数形结合】
15. 若0a <，0ab <，则39b a a b -+---的值为_____________．
16. 已知0a c <<，0ab >，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++．
【分类讨论】
17. 已知8a =，5b =，且a b a b -=+，则a+b 的值为（ ）
A ．±3
B ．±13
C ．3或-13
D ．-3或13
18. 若0abc ≠，且a +b +c =0，则
a b c abc a b c abc
+++的取值共有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
阅读材料问题
1. 阅读下列材料并解决问题．
我们知道：0000x x x x x
x -<⎧⎪
=⎨⎪>⎩=（）（）（）
．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得1x =-，2x =（称-1，
2分别为1x +与2x -的零点值）．那么，零点值1x =-和2x =可将问题转化成在如下不重复且不遗漏的3种情况下讨论： （1）1x <- （2）12x ≤-< （3）2x ≥
从而化简代数式12x x ++-可分为以下3种情况：
（1）当1x <-时，原式=(1)(2)21x x x -+--=-+ （2）当12x ≤-<时，原式=(1)(2)3x x +--= （3）当2x ≥时，原式=(1)(2)21x x x ++-=-
综上所述：2113
12212x x x x x -+<-⎧⎪
=-<⎨⎪-⎩
≤≥（）原式（）（）
通过以上材料，请你解决以下问题： （1）分别求出3x +和5x -的零点值； （2）化简35x x ++-．。