2020学年高三数学（理科）第四次月考试题一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U R =，集合{}|lg A x y x ==，集合{}|1B y y ==，那么()U AC B =（ B ）A. ∅B.(0,1)C.(]0,1 D ．(1,)+∞2．若复数3i 21z =+，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ A ）A. 1B. i -C. iD. 1-3已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为(B ) A.－32B.32C.－34D.344若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为( A ) A.103B.53C.23D.－25. 在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ C ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数()ln x xe ef x x--=的图象大致是（ D ）7.对锐角α若31)6- sin(=πα，则=)3- cos(πα( C )A.6-132B.82-3C.6612+D.823+8．给出下列四个命题:①“若x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题;②若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-④命题“x R ∃∈,使得210x x ++≤”的否定是:“x R ∀∈均有210x x ++≥”. 其中不正确的个数是（ D ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9．把函数())6f x x π=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( B ) A ．[,2]ππ B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44ππ10.定义在R 上的函数()f x 满足：()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()3xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ A ） A. ()0,∞+B. ()(),03,-∞+∞ C. ()(),00,-∞⋃+∞D.()3,+∞11. 若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9(a ≠0)都相切，则a的值为( A )A.－1或－2564B.－1或214C.－74或－2564D.－74或712.已知函数()223,1,,1,x x x f x lnx x ⎧--+≤=⎨>⎩若关于x 的方程()12f x kx =-恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（B ）A.1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 1,2e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,2e ⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.()=+-⎰-dx x 02224_________π14．已知3sin()cos(2)cos()2()cos()sin()2f ππαπαααπαπα--+=++，若α为第二象限角，且3cos()25πα-=，则()f α=_________ 14.54-15.如图所示，正弦曲线，余弦曲线与两直线，所围成的阴影部分的面积为_________16．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>，x ∈R ．若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ． 16．π16．已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，所对的角分别为A ，B ，C ，且满足113a b b c a b c+=++++，且ABC ∆的外接圆的面积为3π，则()()cos24f x x a c =++sin 1x +的最大值的取值范围为16、 (12,24]三、解答题（共70分） 17.（本小题10分）已知m ＞0，p ：（x +2）（x -4）≤0，q ：2-m ≤x ≤2+m ．（Ⅰ）若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；（Ⅰ）若m =5，“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数x 的取值范围．. 17.解：（Ⅰ）记命题p 的解集为A =[-2，4]，命题q 的解集为B =[2-m ，2+m ]，∵￢q 是￢p 的充分不必要条件∴p 是q 的充分不必要条件， ∴A ⊂B ，∴，解得：m ≥4．（II ）∵“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， ∴命题p 与q 一真一假， ①若p 真q 假，则，无解， ②若p 假q 真，则，解得：x ∈[-3，-2）∪（4，7]． 18. （本小题满分12分）已知向量(3sin cos ,1)m x x ωω=-，1(cos ,)2n x ω=，设函数()f x m n =⋅，若函数()f x 的图象关于直线3x π=对称且[]0,2ω∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =()1f A =，求b c+的最大值．18．解：（1）)1()cos cos 2f x xx x ωωω=-+21cos cos 2x x x ωωω=-+12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-…………………2分函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，则2,362k k Zωππππ-=+∈则312k ω=+，k Z ∈且[0,2]ω∈，则1ω=…………………4分∴()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴函数()f x 的单调递减区间为5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ …………………6分（2）()sin 216f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且A 是△ABC 内角， ∴0A π<<，则112666A πππ-<-<，所以262A ππ-=，则3A π=，∵a =2222222cos()33a b c bc b c bc b c bcπ=+-=+-=+-则2()33b c bc +-=，而22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()22223()3()324b c b c b c bc b c ++⎛⎫=+-≥+-⨯=⎪⎝⎭b c ⇒+≤b c ==所以b c +的最大值为分 19. 在ABC 中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c，已知)sin sin ()-=-≠A C a A c C a c ．（1）求边AC 的长；（2）若60B ︒∠=，D 为边BC 上的点且AB AD =，试求AD DC +的最大值． 详解】（1）根据正弦差角公式展开可得可得cos sin sin sin -=-A C A C a A c C ，结合正弦定理化简可得22cos cos C A a c -=-．由余弦定理代入可得2222222222a b c c b a a c ab cb +-+--=-)()2222∴-=-a c b a c ，a c ≠，∴=bAC =（2）AB AD =，120︒∴∠=ADC ，由2222cos120︒=+-⋅AC AD CD AD CD ，得22222()3()()()44AD CD AD CD AD CD AD CD AD CD +-=--⋅≥--=8AD CD ∴+≤，当且仅当AD CD =时，等号成立， ∴+AD CD 的最大值为8．21. （12分）已知函数()2ln f x ax bx x x =++在()()1,1f 处的切线方程为320x y --=.（1）求实数,a b 的值；（2）设()2g x x x =-，若k Z ∈，且()()()2k x f x g x -<-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值.21. 解：（1）()21ln f x ax b x =+++'，所以213a b ++=且=1a b +， 解得=1a ，0b =………………3分 （2）由（1）与题意知()()ln 22f xg x x x xk x x -+<=--对任意的2x >恒成立， …………4分设()ln (2)2x x x h x x x +=>-，则()()242ln 2x xh x x '--=-，令()42ln (2)m x x x x =-->，则()2210x m x x x='-=->，所以函数()m x 为()2,+∞上的增函数.………………6分 因为()2842ln842ln 440m e =-<-=-=，()31062ln1062ln 660m e =->-=-= 所以函数()m x 在()8,10上有唯一零点0x ，即有0042ln 0x x --=成立， 所以0042ln 0x x --=………………8分 故当02x x <<时，()0m x <，即()0h x '<； 当0x x <时，()0m x >，即()0h x '>所以函数()h x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增………………10分所以()()0000000min0041ln 2212x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--所以02x k <，因为()08,10x ∈，所以()04,52x ∈，又因k Z ∈所以k 最大值为4………………12分22．已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围．22[解] (1)f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a ). (ⅰ)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的.(ⅱ)设a ＜0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－2e，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增加的．②若a ＞－2e，则ln(－2a )＜1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))，(1，＋∞)上是增加的，在(ln(－2a )，1)上是减少的.③若a ＜－2e，则ln(－2a )＞1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，1)，(ln(－2a )，＋∞)上是增加的， 在(1，ln(－2a ))上是减少的.(2)(ⅰ)设a ＞0，则由(1)知，f (x )在(－∞，1)上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b＜0且b ＜ln 2a ，则f (b )＞2a (b －2)＋a (b －1)2＝a b 3＞0，所以f (x )有两个零点.(ⅱ)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x ，所以f (x )只有一个零点．(ⅲ)设a ＜0，若a ≥－2e，则由(1)知，f (x )在(1，＋∞)上是增加的．又当x ≤1时f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点；若a ＜－2e，则由(1)知，f (x )在(1，ln(－2a ))上是减少的，在(ln(－2a )，＋∞)上是增加的．又当x ≤1时，f (x )＜0，故f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞).20．（本小题12分）已知函数()1(0,1)xx t f x a a a a-=+>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数t 的值；（2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若()312f =且()()2212xx h x a mf x a=+-在 [1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.20．（1）2t =（2）(3,5)-（3）2m =【详解】 （1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =， 所以()110t +-=，所以2t =， （2）由（1）知：()1(0,1)xx f x a a a a=->≠， 因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以()1xx f x a a=-是R 上的单调递增，又()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-. （3）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()122xxu f x ==-，则()222g u u mu =-+，因为()122xx f x =-在R上为增函数，且1x ≥，所以()312u f ≥=， 因为()()221222xxh x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当32m <时， ()min 3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =.。