课堂过关第一章 集合与常用逻辑用语第1课时 集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系. ② 学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化. ③ 集合含义中掌握集合的三要素.④ 不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 7第1题改编)集合{x ∈N |x<5}可以用列举法表示为________． 答案：{0，1，2，3，4}解析：∵ x<5且x ∈N ，∴ x ＝0，1，2，3，4，特别注意0∈N .2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x ≤1，0≤y<2，x 、y ∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：用集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A ⊆ B ，则a ∈________． 答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (必修1P 7第4题改编)由x 2，x 组成一个集合A ，A 中含有2个元素，则实数x 的取值不可以是________．答案：0和1解析：由x 2＝x 可解得．5. (必修1P 17第8题改编)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y)|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A}，则B 中所含元素的个数为________个．答案：10解析：x ＝5，y ＝1，2，3，4，x ＝4，y ＝1，2，3，x ＝3，y ＝1，2，x ＝2，y ＝1，共10个．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、V enn 图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N ；正整数集记作N 或N ＋；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R ；复数集记作C ．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系． (2) 集合与集合之间的关系① 包含关系：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆ B 或B ⊇ A ，读作“集合A 包含于集合B ”或“集合B 包含集合A ”．② 真包含关系：如果A ⊆B ，并且A ≠B ，那么集合A 称为集合B 的真子集，读作“集合A 真包含于集合B ”或“集合B 真包含集合A ”．③ 相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A 中的元素都是B 中的元素且B 中的元素都是A 中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n 个元素的集合的子集共有2n 个，真子集共有2n －1个，非空子集共有2n －1个，非空真子集有2n －2个.题型1 集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值范围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值范围是a ≥98或a ＝0.变式训练下列三个集合：① {x|y ＝x 2＋1}；② {y|y ＝x 2＋1}；③ {(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1) 它们是不是相同的集合？ (2) 它们的各自含义是什么？ 解：(1) 它们是不相同的集合．(2) 集合①是函数y ＝x 2＋1的自变量x 所允许的值组成的集合．因为x 可以取任意实数，所以{x|y ＝x 2＋1}＝R .集合②是函数y ＝x 2＋1的所有函数值y 组成的集合．由二次函数图象知y ≥1，所以{y|y ＝x 2＋1}＝{y|y ≥1}．集合③是函数y ＝x 2＋1图象上所有点的坐标组成的集合．备选变式（教师专享）已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈A ，试求实数a 的值．解：∵ －3∈A ，∴ －3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意；若－3＝2a －1，则a ＝－1，此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意．综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.题型2 集合间的基本关系例2 若集合A ＝{x|－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆ A ，求由m 的可取值组成的集合．解：当m ＋1>2m －1，即m<2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅ ，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴ 2≤m ≤3.故m<2或2≤m ≤3，即所求集合为{m|m ≤3}． 变式训练已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a ≠0，由ba＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a ≠1，则a ＝－1.所以a 2 014＋b 2 015＝1.备选变式（教师专享）若集合P ＝{x|x 2＋x －6＝0}，S ＝{x|ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合． 解：P ＝{－3，2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求a 的取值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.题型3 根据集合的关系求参数的取值范围例3 (2015·南通期末)已知集合A ＝{x|0<ax ＋1≤5}，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤2.若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，显然B ⊆A ；当a<0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎨⎧4a ≤－12，－1a>2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－8，a>－12， ∴ －12<a<0；当a>0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎨⎧－1a ≤－12，4a≥2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2，∴ 0<a ≤2.综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.备选变式（教师专享）已知A ＝{－1，1}，B ＝{x|x 2－ax ＋b ＝0}．若B ⊆A ，求实数a ，b 的值． 解：∵ B ⊆A ＝{－1，1}，∴ B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1，1}． 若B ＝∅，则方程x 2－ax ＋b ＝0无实数根， 即Δ＝(－a)2－4×1×b<0，此时a 2<4b.若B ＝{－1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根－1，即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，此时a ＝－2，b ＝1.若B ＝{1}时，则方程x 2－ax ＋b ＝0有且只有一个实数根1， 即Δ＝(－a)2－4b ＝0，且12－a ×1＋b ＝0，若B ＝{－1，1}，则方程x 2－ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根－1，1，即(－1)2－a ×(－1)＋b ＝0，12－a ×1＋b ＝0，此时a ＝0，b ＝－1.综上所述，当a 2<4b 时，不论a ，b 取何值，A ⊆B ； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1时，B ⊆A. 1. (2015·南京、盐城一模)设集合M ＝{2，0，x}，集合N ＝{0，1}，若N ⊆M ，则实数x 的值为________．答案：1解析：由N ⊆M 知1∈M ，则x ＝1. 2. (2015·南师附中模拟)若A ＝{a}，B ＝{0，a 2}，A ⊆B ，则A ＝________． 答案：{1}解析：若a ＝0，则a 2＝0，B 中元素不满足互异性；若a ＝a 2，则a ＝0(舍)或a ＝1(满足互异性)．3. 若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知集合M ⊆{2，3，5}，且M 中至少有一个奇数，则这样的集合共有________个． 答案：6解析：当M 中奇数只有3时：{3}，{2，3}；当M 中奇数只有5时：{5}，{2，5}；当M 中奇数有3，5时：{3，5}，{2，3，5}，∴ 共有6个这样的集合．5. (2015·昌平期中)若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，求b －a 的值．解： 由{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴ b －a ＝2.1. (2015·浙江)已知集合A{x|x 2－x －2<0}，B ＝{x|－1<x<1}，则A 与B 的关系是________． 答案：B A解析：A ＝{x|－1<x<2}，∴ B 真属于A. 2. (2015·佛山期中)若集合A ＝{－1，1}，B ＝{0，2}，则集合{z ︱z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B}中的元素的个数为________．答案： 3解析：容易看出x ＋y 只能取－1、1、3这三个数值．故共有3个元素.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A ，3∉ A ，则实数a 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]解析：因为2∈A ，所以2a －12－a＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A ，则3a －13－a＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3∉A 时，13≤a ≤3.②由①②可知，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫13，12∪(2，3]．4. 若集合A 中有且仅有三个数1、0、a ，若a 2∈A ，求a 的值． 解：若a 2＝0，则a ＝0，不符合集合中元素的互异性，∴ a 2≠0. 若a 2＝1，则a ＝±1，∵ 由元素的互异性知a ≠1，∴ a ＝－1时适合．若a 2＝a ，则a ＝0或1，由上面讨论知均不符合集合中元素互异性的要求． 综上可知a ＝－1.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A ⊆B ，则需考虑A ＝∅ 和A ≠∅两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、V enn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．①在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P13第3题改编)已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________．答案：(－2，1]解析：本题考查集合概念及基本运算．2. (必修1P13习题2题改编)已知集合A＝{x|x2－16＝0}，B＝{x|x2－x－12＝0}，则A∪B ＝________．答案：{－4，－3，4}解析：∵ A＝{－4，4}，B＝{－3，4}，∴A∪B＝{－4，－3，4}．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P13习题2题改编)设集合I＝{x||x|<3，x∈Z}，A＝{1，2}，B＝{－2，－1，2}，则A∪(∁I B)＝________．答案：{0，1，2}解析：I＝{－2，－1，0，1，2}，∁I B＝{0，1}，∴A∪(∁I B)＝{0，1，2}．5. (必修1P10习题4题改编)设集合A、B都是全集U＝{1，2，3，4}的子集，已知(∁U A)∩(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，A∩B＝ ，则A＝________．答案：{3，4}解析：画出韦恩图，知A＝{3，4}．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x ∈S ，但x ∉ A}．2. 常用运算性质及一些重要结论(1) A ∩A ＝A ，A ∩∅ ＝∅，A ∩B ＝B ∩A ； (2) A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A ； (3) A ∩(∁U A)＝∅，A ∪(∁U A)＝U ；(4) A ∩B ＝A ⇔ A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；(5) ∁U (A ∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U (A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)． [备课札记]题型1 集合的运算 例1 全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，且(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，则m ＋n 的值为________．答案：－1解析：∵ U ＝{1，2，3，4，5}，(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 2∈A.又A ＝{x|x 2－5x ＋m ＝0}，∴ 2是关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，得m ＝6且A ＝{2，3}，∴ ∁U A ＝{1，4，5}．而(∁U A)∪B ＝{1，3，4，5}，∴ 3∈B.又B ＝{x|x 2＋nx ＋12＝0}，∴ 3一定是方程x 2＋nx ＋12＝0的一个根，∴ n ＝－7且B ＝{3，4}，∴ m ＋n ＝－1.变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B. 解：由9∈A ，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}与A ∩B ＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2 根据集合的运算求参数的取值范围例2 设A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|x<－1或x>5}，当a 为何值时， (1) A ∩B ≠∅ ； (2) A ∩B ＝A ； (3) A ∪(∁R B)＝∁R B.解：(1) A ∩B ≠∅，∵ 集合A 的区间长度为3， ∴ 由图可得a<－1或a ＋3>5，解得a<－1或a>2， ∴ 当a<－1或a>2时，A ∩B ≠∅．(2) ∵ A ∩B ＝A ，∴ A ⊆ B.由图得a ＋3<－1或a>5，即a<－4或a>5时，A ∩B ＝A.(3) 由补集的定义知∁R B ＝{x|－1≤x ≤5}， ∵ A ∪(∁R B)＝∁R B ，∴ A ⊆∁R B.由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围； (2) 若A ∩∁R B ≠∅，求实数a 的取值范围．解：(1) 由于A ∩B ＝A 得A ⊆B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a ≤12；若a ＝0，则A ＝∅，成立；若a ＜0，则x ＜1a ＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x ≤2}，若a ＝0，则A ＝∅，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值组成的集合．解：∵ A ∪B ＝B ，∴ A ∅B ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，－12≤a ≤1.∴ －12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎡⎦⎤－12，1. 题型3 集合的综合应用例3 设U ＝R ，集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A)∩B ＝，求m 的值．解：A ＝{－2，－1}，由(∁U A)∩B ＝∅，得B ⊆A ， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合B ⊆A ； 当m ≠1时，B ＝{－1，－m}，而B ⊆A ， ∴ －m ＝－2，即m ＝2. ∴ m ＝1或2.备选变式（教师专享）50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数有___________人．答案：25解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x 人；仅跳远及格的人数为40－x 人；仅铅球及格的人数为31－x 人；两项测验成绩都不及格的人数为4人 .∴ 40－x ＋31－x ＋x ＋4＝50，∴ x ＝25.题型4 集合运算有关的新定义问题例4 定义集合A 、B 的运算A*B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B ，但x A ∩B}，设A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，5，6，7}，则(A*B)*A ＝________．答案：{1，2，5，6，7}解析：A *B ＝{3，4，5，6，7}，∴ (A *B)A ＝{1，2，5，6，7}． 备选变式（教师专享）(必修1P 14习题13改编)对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x|x ∈M 且x ∉ N}，M*N ＝(M －N)∪(N －M)，设M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }，则M*N ＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M ＝{y|y ＝x 2，x ∈R }＝{y|y ≥0}，N ＝{y|y ＝3sinx ，x ∈R }＝{y|－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y|y>3}，N －M ＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N ＝(M －N)∪(N －M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2015·安徽)已知集合A ＝{0，2，4，6}，∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∁U B ＝{－1，0，2}，则集合B ＝________．答案：{1，4，6，－3，3}解析：∵ ∁U A ＝{－1，1，－3，3}，∴ U ＝{－1，1，0，2，4，6，－3，3}．又∁U B ＝{－1，0，2}，∴ B ＝{1，4，6，－3，3}．2. (2015·泰州调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x|x<－1或2≤x<3}，B ＝{x|－2≤x<4}，则(∁U A)∪B ＝________．答案：{x|x ≥－2}解析：由图1数轴得∁U A ＝{x|－1≤x<2或x ≥3}，再由图2数轴得(∁U A)∪B ＝{x|x ≥－2}．图1图23. (2015·射阳中学期末)已知函数f(x)＝x ＋1，g(x)＝x 2，集合D ＝[－1，a](a>－1)，集合A ＝{y|y ＝f(x)，x ∈D}与集合B ＝{y|y ＝g(x)，x ∈D}相等，则实数a 的值等于________．答案：0或1＋52解析：一次函数f(x)＝x ＋1，x ∈[－1，a](a>－1)是单调递增函数，∴ A ＝[0，a ＋1]．而B 集合是指定了定义域的二次函数的值域，分如下三类情况讨论：① 若a ∈(－1，0)，则g(x)单调递减，B ＝[a 2，1]，不可能与集合A 相等；② 若a ∈[0，1]，则B ＝[0，1]，要与A 相等，须a ＋1＝1，∴ a ＝0；③ 若a ∈(1，＋∞)，则B ＝[0，a 2]，要与A 相等，须a ＋1＝a 2，∴ a＝1±52，但1－52＜1，舍去．综上得a ＝0或1＋52.4. (2015·淮阴中学期末)已知集合A ＝{1，3，m}，B ＝{1，m}，A ∪B ＝A ，则m ＝________． 答案：0或3 解析：因为A ∪B ＝A ，所以B A ，所以m ＝3或m ＝m.若m ＝3，则A ＝{1，3，3}，B ＝{1，3}，满足A ∪B ＝A.若m ＝m ，解得m ＝0或m ＝1.若m ＝0，则A ＝{1，3，0}，B ＝{1，0}，满足A ∪B ＝A.若m ＝1，A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，显然不成立．综上m ＝0或m ＝3.5. (2015·宿迁中学期中)设集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1) 若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为________；(2) 若A ∪B ＝A ，则实数a 的取值范围为________． 答案：(1)－1或－3 (2)a ≤－3解析：(1) ∵ A ＝{1，2}，A ∩B ＝{2}，∴ 2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0a ＝－1或a ＝－3.当a ＝－1时，B ＝{x|x 2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x|x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件．综上，a 的值为－1或－3.(2) 对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝4(2a ＋6)， ∵ A ∪B ＝A ，∴ B ⊆A.① 当Δ<0，即a<－3时，B ＝∅ ，满足条件； ② 当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ② 当Δ>0，即a>－3时，B ＝A ＝{1，2}．由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2（a ＋1），1×2＝a 2－5⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾．综上，a 的取值范围是a ≤－ 3.1. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B)∩A ＝{1}，(∁U A)∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图可得，B ∩(∁U A)＝{5，6}．2. (2015·山东)已知集合A ＝{x||x －1|<2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －b x ＋2<0.若A ∩B ≠∅ ，则实数b 的取值范围是________．答案：(－1，＋∞)解析：A ＝{x|－1<x<3}，B ＝{x|(x －b)(x ＋2)<0}．因为A ∩B ≠∅，所以b>－1. 3. (2015·无锡期中)已知A ＝{x||x －a|<4}，B ＝{x||x －2|>3}． (1) 若a ＝1，求A ∩B ；(2) 若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，A ＝{x|－3<x<5}，B ＝{x|x<－1或x>5}． ∴ A ∩B ＝{x|－3<x<－1}．(2) ∵ A ＝{x|a －4<x<a ＋4}，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A ∪B ＝R ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a －4<－1，a ＋4>51<a<3. ∴ 实数a 的取值范围是(1，3)．4. 某校高一年级举行语、数、英三科竞赛，高一(2)班共有32名同学参加三科竞赛，有16人参加语文竞赛，有10人参加数学竞费，有16人参加英语竞赛，同时参加语文和数学竞赛的有3人，同时参加语文和英语竞赛的有3人，没有人同时参加全部三科竞赛，问：同时参加数学和英语竞赛的有多少人？只参加语文一科竞赛的有多少人？解：设所有参加语文竞赛的同学组成的集合用A 表示，所有参加数学竞赛的同学组成的集合用B 表示，所有参加英语竞赛的同学组成的集合用C 表示，设只参加语文竞赛的有x 人，只参加数学竞赛的有y 人，只参加英语竞赛的有z 人，同时参加数学和英语竞赛的有m 人．根据题意，可作出如图所示Venn 图，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＋3＋y ＋m ＋z ＝32，x ＋3＋3＝16，y ＋m ＋3＝10，z ＋m ＋3＝16，解得x ＝10，y ＝3，z ＝9，m ＝4.答：同时参加数学和英语竞赛的有4人，只参加语文一科竞赛的有10人．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意：(1) 勿忘对空集情形的讨论；(2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数范围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．①会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. (课本习题改编)命题“若x＝3，y＝5，则x＋y＝8”的逆命题是________.答案：若x＋y＝8，则x＝3，y＝5解析：将原命题的条件和结论互换，可得逆命题．2. (课本习题改编)命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．答案：2解析：当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形为真，故逆否命题为真，逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB＝AC为假，故否命题为假．3. (课本习题改编)已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的________条件.答案：必要而不充分解析：由a－c>b－d变形为a－b>c－d，因为c>d，所以c－d>0，所以a－b>0，即a>b，所以a－c>b－d a>b.而a>b并不能推出a－c>b－d，所以a>b是a－c>b－d的必要而不充分条件．4. (课本习题改编)若命题p：2是偶数；命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①“p∨q”为假；②“p∨q”为真；③“p∧q”为真.答案：②解析：命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．5. (课本习题改编)命题p：∀x>1，log2x>0，则⌝p是________．答案：x>1，log2x≤0解析：全称命题的否定是存在性命题．1. 四种命题及其关系(1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇒q.(3) 如果p⇒q，q⇒/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q⇒p，p⇒/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作⌝p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，⌝p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) ∃x∈M，⌝p(x)∃x∈M，p(x) ∀x∈M，⌝p(x)题型1四种命题及其相互关系例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1) 如果两圆外切，那么两圆的圆心距等于两圆半径之和；(2) 奇数不能被2整除．解：(1) 逆命题：如果两圆的圆心距等于两圆半径之和，那么两圆外切，真；否命题：如果两圆不外切，那么两圆心距不等于两圆半径之和，真；逆否命题：如果两圆心距不等于两圆半径之和，那么两圆不外切，真．(2) 逆命题：不能被2整除的数是奇数，假；否命题：不是奇数的数能被2整除，假；逆否命题：能被2整除的数不是奇数，真．变式训练判断命题“已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则判断a≥1”的逆否命题的真假.解：原命题：已知a，x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1.逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．备选变式（教师专享）设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．解：逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．题型2充分条件和必要条件例2 证明：“方程ax2＋bx＋c＝0有一根为1”的充要条件是“a＋b＋c＝0”．证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上，命题得证．备选变式1（教师专享）不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围． 解：令f(x)＝x 2－2mx －1.要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，只需f(x)＝x 2－2mx －1在[1，3]上的最小值大于0即可． 当m ≤1时，f(x)在[1，3]上是增函数， f(x)min ＝f(1)＝－2m>0，解得m<0， 又m ≤1，∴ m<0；当m ≥3时，f(x)在[1，3]上是减函数，f(x)min ＝f(3)＝8－6m>0，解得m<43，又m ≥3，∴ 此时不成立； 当1<m<3时，f(x)min ＝f(m)＝－m 2－1＝－(m 2＋1)>0不成立． 综上所述，m 的取值范围为m<0. 备选变式2（教师专享）下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1) p ：x ＝1；q ：x －1＝x －1.(2) p ：－1≤x ≤5；q ：x ≥－1且x ≤5.(3) p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形． 解：(1) 充分不必要条件．当x ＝1时，x －1＝x －1成立； 当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2.(2) 充要条件．－1≤x ≤5x ≥－1且x ≤5.(3) 充分不必要条件．等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．题型3 逻辑联结词例3 命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，q ：函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．解：设g(x)＝x 2＋2ax ＋4，由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，∴ 函数g(x)的图象开口向上且与x 轴没有交点，故Δ＝4a 2－16<0，∴ －2<a<2.∵ 函数f(x)＝(3－2a)x 是增函数， ∴ 3－2a>1， ∴ a<1.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2<a<2，a ≥1，∴ 1≤a<2；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2，a<1，∴ a ≤－2.综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a<2，或a ≤－2. 备选变式1（教师专享）已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m>0)，若“⌝ p ⇒ ⌝q ”为假命题，“⌝q ⇒⌝p ”为真命题，求m 的取值范围．解：设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x|－2≤x ≤10}，Q ＝{x|1－m ≤x ≤1＋m}， 由⌝q ⇒⌝p 为真，⌝p ⇒⌝q 为假，得P ⊆ Q ，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m>10，m>0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m<－2，1＋m ≥10，m>0，解得m ≥9. 备选变式2（教师专享）已知命题p ：|x 2－x|≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“⌝q ”都是假命题，求x 的值． 解：非q 假．∴ q 真． 又p 且q 假，∴ p 假．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x|<6，x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x<6，x ∈Z ， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－2<x<3，x ∈Z ， ∴ x ＝－1、0、1、2.题型4 全称命题与存在命题例4 已知命题p ：“x ∈R ，m ∈R 使4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题⌝p 是假命题，则实数m 的取值范围为________．答案：m ≤1解析：命题⌝p 是假命题，即命题p 是真命题，也就是关于x 的方程4x －2x ＋1＋m ＝0有实数解，即m ＝－(4x －2x ＋1)，令f(x)＝－(4x －2x ＋1)，由于f(x)＝－(2x －1)2＋1，所以当x ∈R 时f(x)≤1，因此实数m 的取值范围是m ≤1.备选变式1（教师专享） 写出下列命题的否定．(1) 所有自然数的平方是正数；(2) 任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3) 对任意实数x ，存在实数y ，使x ＋y>0； (4) 有些质数是奇数．解：(1) 有些自然数的平方不是正数． (2) 存在实数x 不是方程5x －12＝0的根． (3) 存在实数x ，对所有实数y ，有x ＋y ≤0. (4) 所有的质数都不是奇数． 备选变式2（教师专享）若命题“∃ x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案：－4≤m ≤0解析：“∃x ∈R ，有x 2－mx －m<0”是假命题，则“∀ x ∈R 有x 2－mx －m ≥0”是真命题，即Δ＝m 2＋4m ≤0，∴ －4≤m ≤0.1. (2015·徐州期中)命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”及其逆否命题的真假情况是________．答案：真解析：因为原命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a 、b 都小于1，则a ＋b<2”，显然为真，所以原命题为真．2. (2015·盐城三模)若函数f(x)＝2x －(k 2－3)·2－x ，则k ＝2是函数f(x)为奇函数的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：由k ＝2，得f(x)＝2x －2－x ，f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；反之，f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)，得k 2＝4，则k ＝±2，而不是k ＝2.故k ＝2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件．3. (2015·南京三模)记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a)的定义域为集合B.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．答案：(－∞，－3]解析：由A ＝(－3，2)，B ＝(a ，＋∞)，AB ，则a ∈(－∞，－3]．4. (2015·芜湖调研)命题p ：ax ＋b>0的解集为x>－ba；命题q ：(x －a)(x －b)<0的解为a<x<b.则p ∧q 是________(填“真”或“假”)命题．答案：假解析：命题p 与q 都是假命题．5. (2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tanx ≤m ”是真命题，则m 大于或等于函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4的最大值．因为函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，所以函数y ＝tanx 在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即实数m 的最小值为1.1. (2015·南通二调)命题“x ∈R ，2x ＞0”的否定是“________”．答案： ∀x ∈R ，2x ≤0解析：含有量词的命题否定要将存在换成任意，p 改成非p. 2. (2015·象山中学调研)“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点”的________条件．答案：充分不必要解析：若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点；若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0.3. 已知命题p ：x 2－5x ＋6≥0；命题q ：0<x<4.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的取值范围．解：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2. ∵ 命题q 为假， ∴ x ≤0或x ≥4.则{x|x ≥3或x ≤2}∩{x|x ≤0或x ≥4}＝{x|x ≤0或x ≥4}． ∴ 满足条件的实数x 的范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 4. (2015·无锡期中)已知命题“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，那么下列说法：① M 的元素都不是P 的元素； ② M 中有不属于P 的元素； ③ M 中有P 的元素；④ M 中元素不都是P 的元素． 其中正确的个数为________个． 答案：2解析：结合韦恩图可知②④正确．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2) 集合法：根据p、q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2) p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。