22
流体力学
第7章
第3步、将其余的物理量作为导出量，即μ 、 FD分别与 基本量的幂次式组成π表达式。
µ = π1 x1 y1 z1 v ρ d FD =π x y z v ρ d
dimµ = dimvx1 ρ y1 d z1 dimFD
x y z
) = dim(v ρ d )
(
可以求出：x1，y1，z1，x，y，z，进而求出π、π1。
即
或
1 ε l 2 ∆p = ρ V f (Re, , ) 2 d d
31
[例2]
三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较
不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。 解：
α 共5个 1．列举物理量。Q ,ρ，g ，h ，
Q = F ( ρ , g , h, α )
2．选择基本量：ρ、g、h 3．列π表达式求解π数
4
流体力学
一、量纲
物理量B 物理属性 dim B
第7章
+
量度单位
量 纲
定义：物理量的实质（类别）。如：长度的 量纲[L]、时间的量纲[T]、质量的量纲 [M]、力的量纲[F]等，物理量的单位可 5 变，属性（类别）不变。
流体力学
基本量纲和导出量纲
第7章
基本量纲：无任何联系且相互独立的量纲。
dim m = M , dim l = L , dim t = T 导出量纲： 由基本量纲导出的量纲（不具有独立性） 。用基本量纲的幂次表示，只表示量纲关系（ 并不表示其物理意义）。
6Hale Waihona Puke 流体力学物理量量纲
常用量 速度，加速度 体积流量，质量流量 密度，重度 力，力矩 压强，应力，弹性模量 粘度系数
dim v = LT
−1
第7章
dim g = LT −2
& = MT −1 dimm
−2 −2 dimγ = ML T
dim Q = L3T −1
dim ρ = ML−3
dim F = MLT −2
Ø 当α=0，dimB=LβTγ，B为运动学量
ü如 速度dimv=LT^(-1)，加速度dima=LT^(-2)
Ø 当α, β, γ都不为零，dimB=MαLβTγ，B为动 力学量
ü如粘度dim mu=ML^(-1)T^(-1)
10
流体力学
无量纲量B —— 纯数
第7章
dimB＝M0L0T0＝1 （1）同类物理量之比： 例如：线应变ε dim ε＝dim(Δl/l)＝L/L＝1 （2）几个有量纲物理量的某种组合： 例如：雷诺数Re dimRe ＝ dim(Vd/ν)＝LT-1·L/L2T-1＝1
dim ε xx = dim γ& = T −1
dim I x = dim I xy = L4
dim I = MLT −1
dim L = ML2T −1
dim E = dim W = dim Q = ML2T −2
dim P = ML2T −3
8
流体力学
物理量量纲
第7章
表面张力系数 比热 导热系数 （比）熵 （比）焓，内能 注： 为温度量纲
B4 = π1 x1 y1 z1 B1 B 2 B 3 M B n −1 =π xn−4 y n−4 z n− 4 B1 B 2 B 3 B =π x y z B1 B 2 B 3
n−4
19
流体力学
第7章
将原来物理量之间的复杂函数用无量纲 数之间的关系式表示出来 —— π定理
π = f (π1,π2,L,πn−4 )
解得：
a = -1 , b = -2 , c = 0
1 ρV 2 2 ② π2 =ρa b b c cμ
π1 =
∆p
= Eu （欧拉数，1/2是人为加上去的）
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c (M L – 1 T – 1 )
29
[例1]
粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
v=0 ,
Cp = 1
v = 2v0 , C p = −3
vθ = −v0 sin θ , C p = 1 − 4sin 2θ
r R
D
·
柱面外：流场中 C p 还与无量纲半径
有关
• 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆 柱都适用。
16
流体力学
量纲分析概念： （1）一个方程中多项量纲必须齐次；
工程流体力学基础
林培锋 Linpf1982@
1/68
流体力学
第7章
第7章 量纲分析和相似原理 7.1 量纲分析 7.2 相似理论 7.3 模型实验基础
2
流体力学
第7章
第2节 量纲分析
3
流体力学
第7章
量纲分析 —— 对复杂流动问题进行定性分析。 通过揭示物理量量纲之间存在的内在联 系，提出反映流动的方程式的结构形式。 即，通过对流动中的有关物理量的量纲 分析，使各量函数关系中的自变量减为最少。
CD：绕流阻力系数 A：圆柱迎风面积
圆柱绕流阻力：
ρv 2 FD = C D A 2
d 1 CD = 2 f l Re
26
流体力学
量纲分析法优点：
FD FD FD
第7章
FD = F ( ρ , v, d , µ ) (10 4 次）
FD
ρ
v
CD CD = f
d
µ
( Re )
解得：a =
b = 0， c = -1
30
[例1]
粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
ε π3 = d
（相对粗糙度）
④ π4 =ρa V bd c l (同上)
π4 =
4．列π数方程
l d
（几何比数）
π 1 = f (π 2 , π 3, π 4 )
∆p 1 ρV 2 2 = f (Re, ε l , ) d d
解得：a =
0, b = - 1 / 2, c = - 5 / 2
v2 −1 = dim LT 2g
(
) (LT )
2
− 2 −1
=L
dim z = L p -1 − 2 −3 dim = ML T ML γ
(
)(
) (LT )
−1
− 2 −1
=L
13
dim 常数 = L
流体力学
三、量纲分析法
第7章
主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对 有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量 纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有 量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲 上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析 和实验研究。 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh，1877)，奠 14 定理论基础的是布金汉（E.Buckingham，1914)。
Re
27
[例1]
粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与 相关物理量的关系。 解： 1．列举物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7个
∆p = F ( ρ , V , d , µ , ε , l )
2．选择基本量：ρ、V、d 3．列π表达式求解π数
第7章
（2）一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约 关系，可以按量纲齐次性原理作分析。 类比：角色分析
17
流体力学
一、瑞利法 —— 参数较少时
第7章
若某物理现象与n个物理量有关（n≤4）：
f (B1 , B2 , B3 , B4 ) = 0
而且有， 其量纲式为
B 4 = kB B B
a 1 b 2
①
π1=ρa V bd cΔp
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T – 1 )b L c (M L –1 T – 2 )
28
[例1]
粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤
M : a +1 = 0 L : − 3a + b + c − 1 = 0 T : −b−2 = 0
1. 对不可压缩流动，通常选速度、密度、特 征长度为3个基本量； 2.无量纲数一般可以由理论计算和实验方法来 20 获取。
流体力学
推广：
n 个 物理量 n 个 物理量 充 要 条件 充 要 条件 π定 理 π定 理 方 方法 法 选 r 个独立 选 r 个独立 基本 量 基本 量 n-r 个 导 出 量 n-r 个 导 出 量 r 个独立 r 个独立 基本 量 基本 量
流体力学
物理方程的无量纲化： 伯努利方程（忽略重力）：
1 1 2 ρ v 2 + p = ρ v0 + p0 2 2
第7章
（沿流线）
无量
纲化
p − p0 v 2 Cp = = 1−( ) 1 2 v0 ρ v0 2
（沿流线）
15
流体力学
• 在无粘性圆柱绕流中
第7章 C
·
p0, v0 A
a
θ
B
柱面上： 前后驻点 上下侧点 其他点
M : a +1 = 0 L : − 3a + b + c − 1 = 0 T : − b −1 = 0
解得：a =
b = c = -1
(雷诺数)
µ 1 π2 = = ρ Vd Re
③ π3 =ρa V bd cε
M 0 L 0 T 0 = (M L – 3 ) a (L T –1 ) b L c L
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流体力学
由量纲齐次原理： π：