2019-2020学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1. 低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式．下列共享单车图标，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.2. 把0.0000052用科学记数法表示为( )A. 0.52×10−5B. 5.2×10−5C. 5.2×10−6D. 52×10−53. 下列运算正确的是( )A. 4a 2−4a 2=4aB. (−a 3b)2=a 6b 2C. a +a =a 2D. a 2⋅4a 4=4a 8 4. 在x+1x+2，m−3m ，a+3b5π，43−2x ，m−n4中分式的个数有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 如图甲，在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a >b)，把余下的部分剪拼成一个矩形如图乙，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )A. (a +2b)(a −b)=a 2+ab −2b 2B. (a +b)2=a 2+2ab +b 2C. (a −b)2=a 2−2ab +b 2D. a 2−b 2=(a +b)(a −b)6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD =4，AB =18，则△ABD 的面积是( ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 727.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.下列说法中，错误的是()A. 对称轴是连接对称点线段的垂直平分线B. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等C. 任何一个角都是轴对称图形D. 两个三角形全等，这两个三角形一定成轴对称9.已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式(a−b)2−c2的值()A. 大于零B. 小于零C. 等于零D. 不能确定10.小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得()A. 25x −30(1+80%)x=1060B. 25x−30(1+80%)x=10C. 30(1+80%)x −25x=1060D. 30(1+80%)x−25x=1011.如图，∠AOB=60∘，点P是∠AOB内的定点且OP=√3，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则▵PMN周长的最小值是()A. 3√62B. 3√32C. 6D.312.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于E，F，给出以下四个结论：(1)AE=CF;(2)△PEF是等腰直角三角形；(3)S四边形AEPF =12S▵ABC;(4)EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，上述结论中始终正确的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.若(a−b)2=7，ab=2，则a2+b2=____________________．14.(1)当________时，分式1的值为正；−x+5(2)当x为________时，分式−4的值为负．x2+115.如图，小明从点A出发，沿直线前进8m后向左转60°，再沿直线前进8m，又向左转60°…照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了______米．16.工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．这种做法的依据是______．17.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=度．18.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、A n，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，A n−1C n−1=A n−1A n．记∠BA1A=∠1，∠C1A2A1=∠2，……，以此类推．若∠B=30°，则∠n=______°.三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19.解方程：16x−2=12−21−3x．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）20.因式分解：(1)4x2−8xy+2x(2)3x(a−b)−6y(b−a)(3)2a3−8a (4)(x2+4)2−16x221.化简式子x2−2xx2÷(x−4x−4x)，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(1,2)，B(2,3)，C(4,1)．(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A1的坐标为______；(2)将△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，其中点B2的坐标为______．23.如图，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C=∠D=90°，AD=BC，AD、BC相交于点O.求证：CO=DO．24.某校举办数学竞赛，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．(1)求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？(2)为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类且定价为15元的图书．书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠，经计算发现，学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，问学校获奖的同学有多少人？25.如图所示(1)如图①，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展与应用：如图③，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．解：A.是轴对称图形，符合题意；B.不是轴对称图形，不合题意；C.不是轴对称图形，不合题意；D.不是轴对称图形，不合题意．故选A．2.答案：C解析：解：0.0000052=5.2×10−6，故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.答案：B解析：解：A、4a2−4a2=0，故选项错误；B、(−a3b)2=a6b2，故选项正确；C、a+a=2a，故选项错误；D、a2⋅4a4=4a6，故选项错误．故选：B．A、原式合并得到结果，即可做出判断；B 、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C 、原式合并得到结果，即可做出判断；D 、原式利用单项式乘单项式运算法则计算得到结果，即可做出判断．此题考查了合并同类项，积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4.答案：B解析：解：在x+1x+2，m−3m ，a+3b5π，43−2x ，m−n4中分式有x+1x+2，m−3m ，43−2x ， 分式的个数有3个．故选：B ．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以a+3b5π不是分式，是整式．5.答案：D解析：解：图甲的面积=大正方形的面积−空白处正方形的面积=a 2−b 2；图乙中矩形的长=a +b ，宽=a −b ，图乙的面积=(a +b)(a −b)．所以a 2−b 2=(a +b)(a −b)．故选：D ．分别求得两幅图形中阴影部分的面积，然后依据阴影部分的面积相等可得到答案．本题主要考查的是平方差公式的几何背景，依据两个图形中阴影部分面积相等求解是解题的关键． 6.答案：B解析：解：由题意可知AP 为∠CAB 的平分线，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，∵∠C =90°，CD =4，∴CD =DH =4．∵AB =18，∴S△ABD=12AB⋅DH=12×18×4=36故选：B．根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．本题考查的是作图−基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．7.答案：C解析：此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置．根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个，故选C．8.答案：D解析：此题主要考查了轴对称图形的性质以及全等三角形的性质，正确把握相关性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质以及全等三角形的性质分别判断得出答案．解：A、对称轴是连接对称点线段的垂直平分线，正确，不合题意；B、线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，不合题意；C、任何一个角都是轴对称图形，正确，不合题意；D、两个三角形全等，这两个三角形不一定成轴对称，故此选项错误，符合题意．故选：D．9.答案：B解析：本题考查用分解因式的应用和三角形三边关系.首先用平方差公式进行因式分解，然后根据三角形的三边关系，从而判断出结果．解：∵(a−b)2−c2=(a−b+c)(a−b−c)=(a+c−b)(a−c−b)又a，b，c是三角形的三边，∴a+c>b，a−c<b，∴a+c−b>0，a−c−b<0．∴(a−b)2−c2<0．故选B．10.答案：A解析：解：设走路线一时的平均速度为x千米/小时，25 x −30(1+80%)x=1060．故选：A．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程．本题考查理解题意的能力，关键是以时间做为等量关系列方程求解．11.答案：D解析：本题考查了轴对称−最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，利用轴对称的性质得MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=√3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，所以∠COD=2∠AOB=120°，利用两点之间线段最短判断此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出CD即可．解：作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=√3，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB= 120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=12OC=√32，CH=√3OH=32，∴CD=2CH=3．故选D．12.答案：C解析：本题考查的是等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据题意得出△APE≌△CPF，△APF≌△BPE是解答此题的关键．根据图形旋转的性质及全等三角形的判定定理得出△APE≌△CPF，△APF≌△BPE再根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，在△APE与△CPF中，{∠APE=∠CPFAP=CP∠EAP=∠C，∴△APE≌△CPF(ASA)，同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，PE=PF，△EPF是等腰直角三角形，∴S△AEP=S△CFP，∴S四边形AEPF =S△APC=12S△ABC，①②③正确；∵AP=12BC，若EF=AP=12BC，则EF是中位线，不能保证结论始终正确，故④错误．故选C．13.答案：11解析：解：∵(a−b)2=a2+b2−2ab=7，ab=2，∴a2+b2=11，故答案为：11已知第一个等式利用完全平方公式化简，将第二个等式代入计算即可求出所求式子的值．此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14.答案：(1)x<5(2)任意实数解析：本题考查了分式的值：把满足分式有意义的字母的值代入分式进行计算，得到对应的分式的值，也考查了解不等式．(1)根据分式的值为正可得−x+5>0，解不等式即可得到结果；(2)根据分式的值为负，且x2+1>0，可得x的取值范围．解：(1)∵分式1的值为正，−x+5∴−x+5>0，解得x<5．故答案为x<5；(2)∵分式−4的值为负，x2+1∴x2+1>0，∴x取任意实数．故答案为任意实数．15.答案：48解析：先利用外角和为360°计算出多边形的边数，再利用8米乘以它的边数即可．本题考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．解：360°÷60°=6，8×6=48(米)，故答案为：48．16.答案：SSS证明△COM≌△CON解析：解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边，∴△COM≌△CON，∴∠AOC=∠BOC，即OC即是∠AOB的平分线．故答案为：SSS证明△COM≌△CON．由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．17.答案：40解析：本题考查的是折叠与对称以及平行线的性质.根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，即∠GFD′=∠EFD′−∠EFG，代入数据计算即可得解．解：矩形纸片ABCD中，AD//BC，∵∠CEF=70°，∴∠EFG=∠CEF=70°，∴∠EFD=180°−70°=110°，根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，∴∠GFD′=∠EFD′−∠EFG，=110°−70°，=40°，故答案为40．18.答案：752n−1解析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠C1A2A1，∠C2A3A2及∠C3A4A3…的度数，从而找出规律．本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠C1A2A1，∠C2A3A2及∠C3A4A3…的度数，找出规律是解答此题的关键．解：∵在△ABA1中，∠B=30°，AB=A1B，∴∠BA1A=180°−∠B2=75°，∵A1A2=A1C1，∠BA1A是△A1A2C1的外角，∴∠C1A2A1=12×∠BA1A=12×75°；∴∠C2A3A2=12×12×75°=122×75°，∠C3A4A3=123×75°，∴∠n=12×75°=75°2，故答案为：752n−1．19.答案：解：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解之得，y=−13．当y=−13时，有13x−1=−13，解得x=−23．经检验x=−23是原方程的根．∴原方程的根是x=−23．解析：设13x−1=y，则原方程化为12y=12+2y，解方程求得y的值，再代入13x−1=y求值即可．结果需检验．用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．20.答案：解：(1)原式=2x(2x−4y+1)；(2)原式=3x(a−b)+6y(a−b)=3(a−b)(x+2y)；(3)原式=2a(a2−4)=2a(a+2)(a−2)；(4)原式=(x2+4+4x)(x2+4−4x)=(x+2)2(x−2)2．解析：本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法：提公因式法和公式法，是解题的关键，注意因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止．(1)提取公因式2x即可；(2)先将原式变形为3x(a−b)+6y(a−b)，然后再提取公因式3(a−b)即可；(3)先提取公因式2a，然后再利用平方差公式分解因式即可；(4)先根据平方差公式分解因式，然后再利用完全平方公式分解即可．21.答案：解：原式=x(x−2)x2÷x2−4x+4x=x(x−2)x2⋅x(x−2)2=1x−2，∵x≠0，2，∴当x=1时，原式=−1．解析：直接利用分式的性质进行通分运算，进而结合分式的混合运算法则分别化简得出答案．此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．22.答案：(1)(−1,2)；(2)(−2,−1)．解析：本题考查作图−轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.(1)作出A，B，C 关于y轴对称点A1，B1，C1，即可解决问题；(2)作出A1，B1，C1的对称点A2，B2，C2，即可解决问题．解：(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，其中点A1的坐标为(−1,2)；故答案为(−1,2)；(2)△A1B1C1向下平移4个单位得到△A2B2C2，B2(−2,−1)；故答案为(−2,−1)．23.答案：证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，∠C=∠D=90°{AD=BCAB=BA∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)∴∠CBA=∠DAB∴OA=OB又AD=BC，∴CO=DO．解析：由“HL”可得Rt△ACB≌Rt△BDA，可得∠CBA=∠DAB，可得OA=OB，即可进而证得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明OA=OB是本题的关键．24.答案：解：(1)设签字笔的单价是x元/支，笔记本的单价为y元/本，根据题意得：{x +2y =8.52x +3y =13.5， 解得：{x =1.5y =3.5． 答：签字笔的单价是1.5元/支，笔记本的单价为3.5元/本．(2)设学校获奖的同学有m 人，根据题意得：15m =15×0.8(m +12)，解得：m =48．答：学校获奖的同学有48人．解析：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．(1)设签字笔的单价是x 元/支，笔记本的单价为y 元/本，根据“1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设学校获奖的同学有m 人，根据总价=单价×数量，结合学校如果多买12本则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．25.答案：证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA =∠CEA =90°，∵∠BAC =90°，∴∠BAD +∠CAE =90°，∵∠BAD +∠ABD =90°，∴∠CAE =∠ABD ，∵在△ADB 和△CEA 中，{∠ABD =∠CAE ∠BDA =∠AEC AB =AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE =BD ，AD =CE ，∴DE =AE +AD =BD +CE ；解：(2)成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC =a ，∴∠DBA +∠BAD =∠BAD +∠CAE =180°−a ，∴∠CAE=∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；解：(3)△DEF是等边三角形．证明如下：由(2)知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，BF=AF，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，在△DBF和△EAF中，{FB=FA∠FBD=∠FAE BD=AE，∴△DBF≌△EAF(SAS)，∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．解析：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质．(1)根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；(2)与(1)的证明方法一样；(3)由(2)得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．。