安徽省淮北一中2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={2,4，6，8，10}，B ={x|x <6}，则A ∩B = ( )A. {2,4，6}B. {2,4}C. {2,4，6，8，10}D. {6,8，10}2. 实数a =0.33，b =log 30.3，c =30.3的大小关系是( )A. a <b <cB. a <c <bC. b <a <cD. b <c <a 3. 若角α的终边经过点(a,−1)，且tanα=−12，则a =( ) A. √5 B. −√5 C. 2 D. −24. 设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是( )A. 1B. 32C. 2D. 35. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|b ⃗ |=2|a ⃗ |，且(a ⃗ −b ⃗ )⊥a ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于( )A. 2π3B. 5π6C. π3D. π6 6. 已知函数f (x )={log 2x,x ≥1,f (2x ),0<x <1,则f (√22)的值是( ) A. 0 B. 1 C. 12 D. −12 7. 如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，AO 的中点为E ，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +u AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,u 为实数)，则λ2+u2=( )A. 1B. 14C. 58D. 516 8. 若x 0是函数f(x)=log 2x −1x 的零点，则( )A. −1<x 0<0B. 0<x 0<1C. 1<x 0<2D. 2<x 0<49.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−6)=f(x)，且当x∈(0,3)时，f(x)=x3−3x，则f(2019)=()A. −18B. 0C. 18D. 不能确定10.已知函数y=Acos(π2x+φ)(A>0)在一个周期内的图象如图所示，其中P，Q分别是这段图象的最高点和最低点，M，N是图象与x轴的交点，且∠PMQ=90°，则A的值为()A. √3B. √2C. 1D. 211.已知，则方程f(f(x))=1的实数根的个数是()A. 4B. 5C. 6D. 712.设函数f(x)=2x1+2x −12，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y=[f(x)]的值域是()．A. {0,1}B. {0,−1}C. {−1,1}D. {1,1}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(1,n)，c⃗=a⃗−b⃗ ，c⃗//b⃗ ，则n=________．14.若sin(π6−α)=a，则cos(2π3−α)=________。

15.若f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，且在(−1,1)上是增函数，则不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为______ ．16.已知函数f(x)=2sin(x+π3) (x∈R)，函数y=f(x+ϕ) (|ϕ|≤π2)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|−2≤x≤6}，B={x|−3≤x≤5}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若C={x|m+1≤x≤2m−1}，C⊆(A∩B)，求实数m的取值范围．18. 已知A(3,0)，B(0,3)C(cosα,sinα)．(1)若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，求sin(α+π4)的值；(2)若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，且α∈(0,π)，求OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角．19. 函数f (x )=Asin (ωx +φ)(其中A >0, ω>0, |φ|≤π2)的部分图象如图所示，求函数y =f (x )的解析式。

20.已知函数f(x)=x−ax +a2在(1,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)=2asin(2x−π3)+b的定义域为[0,π2]，最大值为1，最小值为−5，求a和b的值．22.已知f(x)=2sin2x+mcosx+1，(1)若m=1，求f(x)的值域；(2)若m∈R，求f(x)的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题．直接求交集即可．解：集合A={2,4，6，8，10}，B={x|x<6}，则A∩B={2,4}．故选B．2.答案：C解析：本题考查指数函数的性质与对数函数的性质，属于基础题．根据指数、对数函数的单调性，把a、b、c与0或1比较即可得到结果．解：由指数函数和对数函数的性质有0.33<0.30=1,30.3>30=1,log30.3<log31=0，所以c>a>b．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．解：角α的终边经过点(a,−1)，tanα=−12=−1a，则a=2，故选C．4.答案：C解析：本题考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，属于基础题．设出扇形的弧长，半径，通过扇形的周长与面积．求出扇形的弧长与半径，即可得到扇形圆心角的弧度数．lr=4，解：设扇形的弧长为l，半径为r，所以2r+l=8，12所以l=4，r=2，=2；所以扇形的圆心角的弧度数是：lr故选C．5.答案：C解析：本题主要考查向量的数量积运算和向量的夹角计算，关键在于公式的应用，考查学生的运算求解能力，属于基础题．解：由(a⃗−b⃗ )⊥a⃗，得(a⃗−b⃗ )·a⃗=0，从而有，又|b⃗ |=2|a⃗|，则，则，故选C．6.答案：C解析：本题考查了利用分段函数的解析式求值，属于中档题.根据分段函数的解析式，代入计算即可． 解：．故选C ． 7.答案：C解析：DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ=14,μ=−34，所以λ2+μ2=58，故选C ． 8.答案：C解析：利用函数的连续性，结合零点判定定理推出结果即可．本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查．解：f(x)=log 2x −1x ，函数在x >0时，是增函数，可得：f(1)=−1<0，f(2)=1−12>0，所以f(1)f(2)<0，∴函数的零点所在区间为：(1,2)．故选：C ． 9.答案：B解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(x −6)=f(x)，则函数是周期为6的周期函数，则有f(−3)=f(3)，又由函数f(x)为奇函数，则f(−3)=−f(3)，则有f(3)=0，又由函数是周期为6的周期函数，则f(2019)=f(3+336×6)=f(3)=0，故选：B ．根据题意，由f(x −6)=f(x)可得函数是周期为6的周期函数，进而可得f(−3)=f(3)，结合奇偶性可得f(−3)=−f(3)，分析可得f(3)=0，又由函数的周期性可得f(2019)=f(3+336×6)=f(3)，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．10.答案：A解析：解：过Q，P分别作x轴的垂线于B，C，=4，∵函数的周期T=2ππ2∴MN=2，CN=1，∵∠PMQ=90°，∴PQ=2MN=4，即PN=2，则PC=√PN2−NC2=√4−1=√3，即A=√3，故选：A．求出函数的周期，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用直角三角形的性质是解决本题的关键．11.答案：C解析：本题考查了方程解与函数图象的关系，考查了数形结合思想，属于中档题．求出f(x)=1的解，再根据f(x)的图象得出解的总个数．解：令3x=1，得x=0，，令，得x=2或x=12∵f(f(x))=1，∴f(x)=0或f(x)=2或f(x)=1，2作出f(x)的函数图象如图所示：由图象可知f(x)=0只有一解，f(x)=2有两解，f(x)=12有三解，∴f(f(x))=1共有6解．故选：C ． 12.答案：B解析：本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．对f(x)进行化简，可得f(x)=2x1+2x −12=12−12x +1，分析讨论求出其值域，再根据定义，[x]表示不超过x 的最大整数，进行求解；解：函数f(x)=)=2x 1+2x −12，[x]表示不超过x 的最大整数， ∴f(x)=12−12x +1，由于(2x +1)在R 上单调递增，所以−12x +1在R 上单调递增，所以f(x)为增函数， 分析可得，−12<f(x)<12，∴[f(x)]={0,−1}，故选B ．13.答案：12解析：本题考查平面向量共线的充要条件．解：c⃗=a⃗−b⃗ =(1,1−n)，因为c⃗//b⃗ ，所以1×n−1×(1−n)=0,n=12．故答案为12．14.答案：−a解析：本题考查三角函数诱导公式，是基础题．解：．15.答案：(23,1)解析：利用函数为奇函数，f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)，根据f(x)在(−1,1)上是增函数，可得不等式组，由此即可求得结论．本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题．解：∵f(x)是奇函数，∴−f(x)=f(−x)，∴f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)，∵f(x)在(−1,1)上是增函数，∴{−1<1−x<1−1<1−2x<1 1−x<−1+2x，∴23<x<1，∴不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为(23,1)，故答案为(23,1).16.答案：π6解析：f(x)=2sin(x +π3)，y =f(x +ϕ)=2sin(x +π3+ϕ) 的图象关于x =0对称，即y =f(x +ϕ)为偶函数．∴π3+ϕ=π2+kπ (k ∈Z) ,ϕ=kπ+π6(k ∈Z) ，又|ϕ|≤π2，∴ϕ=π6． 17.答案：解：(1)由已知可得A ∩B ={x |−2≤x ≤5}，A ∪B ={x |−3≤x ≤6}．(2)①若C =⌀，则m +1>2m −1，∴m <2， ②若C ≠⌀，则，解得2≤m ≤3，综上可得m ≤3．解析：本题考查集合的交集，并集运算及利用集合的关系求参数的取值范围问题，属于基础题．(1)利用交集，并集的定义易得A ∩B ，A ∪B ；(2)分情况讨论求出实数m 的取值范围．18.答案：解：(1)由题意可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−3,sinα)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα−3)， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−3,sinα)⋅(cosα,sinα−3)=cosα(cosα−3)+sinα(sinα−3)=1−3(sinα+cosα)=−1，∴sinα+cosα=23，即√2sin(α+π4)=23，求得sin(α+π4)=√23． (2)∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+cosα,sinα)，若|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√13，且α∈(0,π)， 则有√(3+cosα)2+sin 2α=√13，化简求得cosα=12，∴α=π3．设OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，cosθ=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3sinα3×1=sin π3=√32，∴θ=π6， 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π6．解析：(1)由题意利用两个向量的数量积公式可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1−3(sinα+cosα)=−1，求得sinα+cosα=23，可得sin(α+π4)的值．(2)求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3+cosα,sinα)，则由题意可得√(3+cosα)2+sin 2α=√13，化简求得cosα的值，可得α 的值．设OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，由cosθ=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，求得θ的值． 本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，属于基础题． 19.答案：解：由图知，A =√2，∵周期T =4(7π12−π3)=π，∴ω=2ππ=2，∴f(x)=√2sin(2x+φ)，又f(7π12)=−√2，∴sin(7π6+φ)=−1，∴7π6+φ=2kπ+3π2(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π)(解析：本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．由图知A=√2，T=π，于是知ω=2；再由f(7π12)=−1，可求得φ=2kπ+π3(k∈Z)，又|φ|<π2，于是可得φ及函数y=f(x)的解析式20.答案：解：对于任意1<x1<x2，有x1x2>1．∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，∴f(x1)−f(x2)=x1−a1+a−(x2−a2+a)=(x1−x2)(1+ax1x2)<0．∵x1−x2<0，∴1+ax1x2>0，即ax1x2>−1．∵x1x2>1，∴a≥−1，∴a的取值范围是[−1,+∞)．解析：【分析】本题考查了函数的单调性，解题的关键是已知函数的单调性求参数的取值范围时，一般应用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)即可得到参数的取值范围．对于任意1<x1<x2，有x1x2>1.根据函数f(x)在(1,+∞)上是增函数，得出f(x1)−f(x2)=(x1−x2)(1+ax1x2)<0，再根据条件判断ax1x2>−1从而求解．21.答案：解：∵0≤x≤π2，∴−π3≤2x−π3≤23π，∴−√32≤sin(2x−π3)≤1．易知a≠0．当a>0时，f(x)max=2a+b=1，f(x)min=−√3a+b=−5．由{2a+b=1,−√3a+b=−5,解得{a=12−6√3,b=−23+12√3.当a<0时，f(x)max=−√3a+b=1，f(x)min=2a+b=−5．由{−√3a+b=1, 2a+b=−5,解得{a=−12+6√3, b=19−12√3.解析：本题考查了三角函数的定义与性质，根据三角函数的定义域，表示出函数的最值，列出关于a、b的方程组，解方程组即可．22.答案：解：(1)当m=1时，f(x)=2sin2x+cosx+1=2−2cos2x+cosx+1=−2(cosx−14)2+258，∵−1≤cosx ≤1，当cosx =14，f(x)max =258，当cosx =−1，f(x)min =2−2−1+1=0．(2)f(x)=2sin 2x +mcosx +1=2−2cos 2x +mcosx +1=−2(cosx −m 4)2+m 28+3， ∵−1≤cosx ≤1，①当−1≤m 4≤1，即−4≤m ≤4时，f(x)max =m 28+3 当−4≤m <0时，cosx =1时取最小值，故f(x)min =2−2+m +1=m +1， 当0≤m ≤4时，cosx =−1时取最小值，故f(x)min =2−2−m +1=1−m ， ②当m 4<−1即m <−4时，f(x)在[−1,1]上单调递减，∴f(x)max =2−2−m +1=1−m ，f(x)min =2−2+m +1=1+m ，③当m 4>1即m >4时，f(x)在[−1,1]上单调递增，∴f(x)max =m +1，f(x)min =1−m ，综上所述，f(x)max ={m 28+3,−4≤m ≤41−m,m <−41+m,m >4，f(x)min ={1+m,m <01−m,m ≥0解析：利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，属于基础题．(1)根据二次函数的和余弦函数的性质即可求出最值，(2)根据二次函数的和余弦函数的性质分类讨论即可求出最值．。