达朗伯原理作业参考答案及解答
1．汽车以加速度a 作水平直线运动，如图所示。
若不计车轮质量，汽车的总质量为m ，质心距地面的高度为h 。
若汽车的前后轮轴到过质心的铅垂线的距离分别等于l 1和l 2。
试求前后轮的铅垂压力；并分析汽车行驶加速度a 为何值时其前后轮的压力相等（滚动摩擦阻力不计）？
答案：h
l l g a 2)
(21−=
2．为了用实验方法测定无轨电车的减速度，采用了液体加速度计，它是由一个盛有油并安放在铅垂平面内的折管构成。
当电车掣动时，安放在运动前进方向的一段管内的液面上升到高度h 2，而在反向的一段管内的液面则下降到高度h 1。
加速度计的安放位置如图所示，θ1=θ2=45°，且已知h 1=250mm ，h 2=750mm 。
试求此时电车的减速度大小。
2
211cot cot θθh h d +=
当电车掣动时，筒中两端油的高差为12h h −，取油面上一滴油为研究对象，其受力图（含虚加惯性力）如下图。
由
0sin cos ,0=−⇒=∑θθmg ma F
x
注意到几何关系
2
2111
212cot cot tan θθθh h h h d h h +−=−=
解得 g h h h h g h h h h g g a 5.0)
(cot cot )(tan 2
112221112=+−=+−=
=θθθ
3．题图所示均质杆AB 的质量为4kg ，置于光滑的水平面上。
在杆的B 端作用一水平推力F = 60N ，使杆AB 沿F 力方向作直线平移。
试求AB 杆的加速度和角
θ 之值。
答案：o 33.2 ,654.0 tan ,m/s 152======
θθF
mg a g m F a
4．在题图所示系统中，已知：均质杆AB 的长为l ，质量为m ，均质圆盘的半径为r ，质量也为m ，在水平面上作纯滚动。
在图示位置由静止开始运动。
试求该瞬时：（1）杆AB 的角加速度；（2）圆盘中心A 的加速度a A 。
解：先进行运动分析，显然杆AB 和轮A 均作平面运动，由运动学关系有
AB t
CA
t CA A C A A l a a a a r a αα2
,,=+== 取整体为研究对象，加上惯性力，其受力图见下左图
各惯性力和力偶为
(1)
2
1
, , 121 ,21 21y I x I I 2I 2I AB C A C A AB C A A A ml F ma F F ml M mra mr M ααα======
根据达朗伯原理 由
∑=−++++= 02
1
21)( ,0)(y I x I I I I mgl lF F F r M M F M
C C A C
A D
将式（1）代入上式得
(2) 0315 22=−+gl ra l A AB α
再取杆AB 为研究对象，加上惯性力，其受力图见上右图 由
∑=−+= 02
1
21 ,0)(y I I mgl lF M F M
C C
A
将式（1）代入上式得
(3) 03 22=−gl l AB α
由式（2）和（3）解得
0 23 ==A AB a l
g
α
5．题图所示内侧光滑的圆环在水平面内绕过点O 的铅垂轴转动，均质细杆的A 端与圆环铰接，B 端压在环上。
已知：环的内半径为r ，杆长r l 2=，质量为m 。
试求图示角速度为ω ，角加速度为α 瞬时，杆上A 、B 两点在水平面内的约束力。
解：杆AB 绕轴O 作定轴转动，以杆AB 为研究对象，虚加上惯性力，其受力分析如上右图所示。
注意惯性力系向转轴O 简化，可以设想将杆AB 固连在一无质量的刚体上，转轴O 为该刚体上的点。
各惯性力为 αααω2I t It 2n In 3
2 ,22 ,22mr J M rm ma F rm ma F O O C C =====
= 根据达朗伯原理
由 αmr F rF M F M
Ay Ay O O
3
2
,0 ,0)(I =
⇒=−=∑ 由
)(21
,0)(22 ,02t I n I ωα+=⇒=+−
=∑mr F F F F F Ax Ax x 由
)3
(21,0)(2
2
,02t I n I ωα
+=
⇒=−+
−=∑mr F F F F F F B B Ay y
注：惯性力系也可向质心C 简化
6．质量各为3kg 的均质杆AB 和BC 焊成一刚体ABC ，由金属线AE 和杆BE 、AD 支持于图示位置。
设不计杆的质量，试求割断线AE 的瞬时，AD 、BE 杆的内力。
解：刚体ABC 作平行移动，各点加速度相同。
割断线AE 的瞬时，速度为零，故仅有切向加速度，方向与AD 垂直。
在不计杆的质量的前提下，杆AD 、BE 的内力沿杆的轴线方向，虚加上惯性力，其受力分析如右上图所示。
其中
g mg P a ma F F 3 ,3I1I2=====
根据达朗伯原理
由 g a P F F F x 2
1,030sin 2 ,0I2I1=
⇒=−+=∑o 由
∑=⋅−−⋅+=030cos 130sin 2
130cos 121 ,0)(I2I1o o o
F F F P F M A
B 代入数据解得 N F A 97.1= 由
N F F F P F
B B A y
9.52,030cos 2 ,0−=⇒=++=∑o
负号表示杆BE 受压。