十、数列一、选择题1．（天津理 4）已知a n为等差数列，其公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为an的前 n 项和， n N *，则S10的值为A ． -110B． -90C． 90D． 110【答案】 D2．（四川理8）数列an的首项为 3 ，bn为等差数列且bn a n1a n (nN *)．若则b3 2 ，b1012 ，则 a8A ． 0B ． 3C ． 8D． 11【答案】 B【解析】由已知知b n2n8, a n 1a n2n 8,由叠加法(a2a1 ) ( a3a2 ) L ( a8a7 )64 2 0 2 4 6 0a8a13 3．（四川理 11）已知定义在0,上的函数 f (x) 满足 f ( x) 3 f ( x2) ，当x0,2时，f (x)x22x ．设 f (x) 在2n2,2n上的最大值为an(nN *) ，且a n的前n项和为lim S nSn ，则 n53A ． 3B ．2C． 2 D ．2【答案】 Df (x2)1f ( x)2,2 n] 上，【解析】由题意3,在 [2 n1111 (1)n3n 1, f (x)1,n2, f (x)3, f (x)2L a n n 1S n3lim S n, n( )( )12333134．（上海理18）设{ a n }是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i, a i1的矩形面积（i1,2,L），则{ An}为等比数列的充要条件为A ．{ an}是等比数列。

B．a1, a3,L, a2n 1,L或a2, a4,L ,a2n,L是等比数列。

C．a1, a3,L, a2n 1,L和a2, a4,L,a2n ,L均是等比数列。

L, a2n 1,L和 a2 , a4 ,L, a2 n ,L均是等比数列，且公比相同。

D． a1 , a3 ,【答案】 D5．（全国大纲理 4）设Sn为等差数列an的前n项和，若a11，公差 d2，Sk 2S k24 ，则kA ． 8B ． 7C ． 6D． 5【答案】 D6．（江西理 5）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n满足：S n S mSn m，且a1a10==1 ．那么A ． 1B ． 9C． 10 D． 55【答案】 A7．（福建理 10）已知函数 f（ x）=e+x ，对于曲线 y=f（ x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：①△ ABC 一定是钝角三角形②△ ABC 可能是直角三角形③△ ABC 可能是等腰三角形④△ ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A ．①③B ．①④C．②③ D ．②④【答案】 B二、填空题8．（湖南理 12）设Sn是等差数列{ an} (n N )，的前 n 项和，且a11,a4 7 ，则S9 =．【答案】 259．（重庆理 11）在等差数列{ an}中，a3a737，则a2a4 a6a8__________【答案】 74110 ．（北京理11 ）在等比数列 {an} 中， a1= 2， a4=-4 ，则公比 q=______________ ；a1 a2 ...a n____________ 。

— 22n 11【答案】211．（安徽理 14）已知ABC 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC的面积为 _______________.【答案】15 312．（湖北理 13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为升。

67【答案】 6613．（广东理a n前9 项的和等于前 4 项的和．若a1 1,a k a40，则11）等差数列k=____________ ．【答案】 1014．（江苏 13）设1 a1a2a7 ，其中a1, a3, a5, a7 成公比为q的等比数列，a2, a4, a6成公差为 1 的等差数列，则q 的最小值是 ________ 33【答案】三、解答题15．（江苏 20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列{ a n }的首项 a11，前 n 项和为S n，已知对任意整数k M ，当整数nk时, Sn kSn k2(SnSk)都成立（ 1）设M{1}, a22,求 a5的值；（2）设M{ 3,4}, 求数列 { an}的通项公式本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满分16 分。

解：（ 1）由题设知，当n 2时 , S n 1 S n12( S nS1)，即( Sn 1S n ) ( S nSn 1)2S1，从而an 1a n2a12, 又 a22, 故当 n2时 , a n a22(n2)2n 2.所以a5的值为 8。

（ 2）由题设知，当kM{3, 4}, 且 n k时 ,S n kSn k2S n2S k且Sn 1 k Sn 1 k2S n 12Sk ，两式相减得an 1kan 1 k2a n 1 ,即 a n 1 kan 1kan 1a n1k所以当n8时, an 6, an 3, an, an 3,an 6 成等差数列，且an 6,an 2, an 2, an6 也成等差数列从而当n8时，2an a n3an 3an 6an 6.（*）且an6 an 6a n 2 a n 2 , 所以当 n 8时 , 2a n a n 2an 2 ，即 a n2a na na n 2 .于是当 n 9时, a n 3 , a n 1 ,a n 1 , a n3成等差数列，从而an 3an 3an 1an 1 ，故由（ * ）式知2a na n 1an1,即 a n1ana n a n 1 .当n9 时，设da na n 1 .当 2 m 8时, m 6 8 ，从而由（ * ）式知 2a m 6a mam 12故 2a m 7a m 1 a m 13.从而2(am 7a m 6 )a m 1am( a m 13am 12) ，于是 a m 1am2d dd.因此，a n1a nd对任意 n 2都成立，又由S n kS n k2S k2S k (k {3, 4}) 可知(S n kS n ) (S n S n k ) 2S k ,故 9d2S 3且16d 2S 4 ，a 47d ,从而 a 23d, a 1 d .解得222因此，数列 { a n }为等差数列，由a 11知 d 2.所以数列{ a n }的通项公式为a n2n1.16．（安徽理 18）在数 1 和 100 之间插入 n个实数，使得这 n 2 个数构成递增的等比数列，将这n 2 个数的乘积记作T n，再令a nlg Tn,n ≥1 .（Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式；（Ⅱ）设bntan a ngtan a n 1, 求数列 { b n} 的前 n 项和 S n.本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.l 1 ,l 2,,l n 2构成等比数列，其中t 1 1, t n 2 100,则解：（ I ）设T nt 1 t 2tn 1tn 2,①T nt n 1 t n 2t 2 t 1,②①×②并利用 t 1t n 3 it 1t n 210 2 (1 i n2),得T n 2 (t 1t n 2 ) (t 2 t n 1 )(t n 1 t 2 ) (t n 2t 1 ) 102( n 2) , a n lg T nn 2, n 1.b n tan(n 2)tan(n3), n1.（II ）由 意和（ I ）中 算 果，知tan1 tan((k1) k )tan(k 1) tan k , 另一方面，利用1 tan(k 1) tan ktan(k1) tan k tan(k1) tan k1.tan1得nn 2S nb k tan(k 1) tan k所以k 1 k 3n 2( tan(k1) tan k 1)k 3tan1 tan(n 3) tan3tan1n.17．（北京理 20）若数列A na 1, a 2,..., a n (n 2)足an 1a 11(k 1,2,..., n1)，数列AnE 数列，S( A n )=a1a 2...an．（Ⅰ）写出一个 足 a 1 a s0 ，且 S( A s ) 〉 0 的 E 数列 A n ；（Ⅱ）若a 1 12， n=2000， 明： E 数列 A n是 增数列的充要条件是a n=2020 ；（Ⅲ） 任意 定的整数n （ n ≥2），是否存在首 0 的 E 数列A n，使得S A n=0？如果存在，写出一个 足条件的E 数列A n；如果不存在， 明理由。

解：（Ⅰ） 0， 1，2， 1， 0 是一具 足条件的 E 数列（答案不唯一， 0， 1， 0，1， 0 也是一个 足条件的（Ⅱ）必要性：因 E 数列 A5 是 增数列，A5 。

E 的数列A5 ）所以a k 1a k1(k1,2, ,1999) .所以 A5 是首 12，公差1 的等差数列 .所以 a2000=12+ （2000— 1）×1=2020.充分性，由于 a2000—a1000≤1，a2000— a1000 ≤1⋯⋯a2— a1≤1所以 a2000— a≤ 19999，即 a2000 ≤ a1+1999.又因 a1=12， a2000=2020,所以 a2000=a1+1999.故an 1an 1 0(k1,2,,1999),即An 是增数列.上，得。

（Ⅲ）令ckak 1ak10(k 1,2, ,n 1), 则 c A1.因a2a1c1a1a1 c1c2⋯⋯a n a1c1c2c n 1 ,所以S( An)na1(n 1)c1(n 2)c2( n 3)c3cn 1n(n1)[(1c1 )(n1)(1 c2 )( n2)(1c n 1 )].2因ck1, 所以1c k为偶数 (k1,, n1).所以* 1c1 )(n 1)(1c2 )(n 2)(1cn)偶数, S( A n )0,必须使n(n 1)所以要使2偶数 ,即 4整除 n( n1), 亦即 n4m或n4m1(m N*) .当n4m1( mN *) 时, E数列 A n的项满足a4k1a4 k 10, a4 k 21, a4 k 1(k1,2,, m)，有a10, S( A n )0;a4k1( k1,2,, m),a4 k 10时, 有a10, S( A n )0;当n4m1(mN *)时, E数列An 的足，a4 k 1a3k30, a4 k 21,当n4m2或n4m3(m N )时, n( m1)不能被 4 整除，此不存在 E 数列 An ，使得 a10, S( A n ) 0.18．（福建理16）13已知等比数列{an} 的公比 q=3，前 3 和 S3= 3。