非线性科学中的混沌XXX中南大学物理与电子学院，湖南长沙，410083摘要：本文介绍了非线性科学中的混沌概念和混沌发展历史；论述了混沌在科学认识论中的重要地位；同时分析了混沌产生的基本原理及主要特征，指出混沌现象广泛存在于自然界中；最后综述了混沌在科学研究中的广泛应用，并展望了混沌理论未来的发展前景。

关键词：混沌；蝴蝶效应；非线性科学The chaos theory in nonlinear scienceXXXSchool of physics and electronics,Central South University,Changsha 410083,ChinaAbstract: The main conception and development of chaos are introduced in this paper; The important status of chaos in scientific epistemology is discussed.At the same time ,the basic principle of chaos and the main characteristics of chaos are analyzed.It is also pointed that the Chaos is a common phenomenon in the nature. In the end, the extensive application of chaos in scientific research is summarized and the prospect of chaos theory is discussed.Key words:chaos; Butterfly Effect; nonlinear science前言人类在认识自然规律的进程中，最初试图用“确定论”的观点来认识客观世界。

但是随着人类的认识深入，发现了现实世界中存在许多不能用“确定论”解释的随机事件。

而概率与统计的思想在物理学的引入，迫使人们从决定论的“经典科学缔造的神话”中走了出来，寻找新的观点来描述真实世界。

混沌理论基本思想的出现，给人类的研究提供了巨大的帮助，使人们在认识世界方法上得到了突破性的进展，对探索描述及研究客观世界的复杂性发挥了巨大的作用，因此混沌理论被认为是继相对论，量子力学后，人类认识世界和改造世界的最富有创造性科学领域的第三次大革命。

随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是在计算机技术出现和普遍应用，混沌科学作为一门新兴交叉学科受到学术界的广泛重视。

混沌是一种貌似无规则的运动，是在确定性线性系统中不需附加任何随机因素就可以出现的类似随机的行为。

在现代的物质世界中,混沌现象无处不在,存在于大气中，海洋湍流中，野生动植物种群的涨落中，风中飘拂的旗帜中，水流缭乱的旋窝中，心脏的跳动中，摆动的秋千中，气候的变化中等，大至宇宙,小至基本粒子,无不受混沌理论的支配。

混沌的研究在数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中各个学科中均有涉及。

因此,在现代科学中普遍存在的混沌现象打破了不同科学间的界限,混沌科学是涉及系统总体本质的一门科学。

1 混沌的发展历史混沌通常用来描述混乱，乱七八糟，杂乱无章等状态。

在我国古代“混沌”也称“浑沌”，表示“世界形成以前的状态”，认为宇宙最初是天地不分、混沌一片，在经过演化逐渐成为现在的样子。

正所谓“混沌者，言万物相混而未分离”。

同时也表示人类在认识上处于浑浑噩噩的朦脓状态，“未有天地之时，混沌如鸡子，盘古生其中”或者“气似质具而未相离，谓之混沌”等都很好的表明了对混沌的认识。

在古希腊中，混沌的英文为“Chaos”，来源于希腊文。

是对传说中宇宙形成前模糊一团的景象描述，基本与中国古代对于混沌的认识比较相似。

早在19-20世纪之交,法国数学家庞加莱在研究天体力学中发现：能够解决地球绕太阳公转的二体问题的Newton万有定律在处理三体问题时遇到了困难。

他指出三体问题中，其解在一定范围内是随机的。

实际上这是一种保守系统中的混沌。

从而他成为世界上最先了解混沌存在可能性的第一人。

1963年，美国数学家E.N.Lorenz在气象预报的研究中，用计算机模拟天气情况发现了天气变化的非周期性和不可预言性之间的联系。

同时Lorenz发现了天气演变对初值的敏感依赖性[1]。

并提出了一个形象的比喻：“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀，可能会改变三个月后美国德克萨斯州的气候。

”这个比喻称为“蝴蝶效应”，它形象了表示了混动系统中长期行为对初值的敏感依赖性。

1971年法国物理学家芦厄勒和荷兰数学家塔肯斯为耗散系统引入了“奇异吸引子”这一概念[2],发现了混沌现象,并且提出了一个新的湍流发生机制,以揭示湍流的本质。

1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克在美国《数学月刊》发表了题为“周期意味着混沌”的著名文章[3],深刻揭示了从有序到混沌的演化过程。

从此“混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学词汇之中。

1976年美国数学生物学家MayR在《自然》杂志上发表的题为“具有极其复杂的动力学的简单数学模型”文章中,给出了著名的虫口方程Logistic模型[4]。

并指出,在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型具有极为复杂的动力学行为,提出了有关实际问题,为该领域的深入探索发挥了巨大的作用。

1978年，M.Feigenbaum 通过对R.May和York的Logistic模型的深入研究，发现倍周期分岔的参数值，呈几何级数收敛，从而提出了Feigenbaum 收敛常数和标度常数[5]。

M.Feigenbaum的卓越贡献在于他看到并指出了普适性，真正地用标度变换进行计算，使混沌学的研究从此进入蓬勃发展的阶段。

1983年，美国人蔡少堂提出了“蔡氏电路”。

该电路结构简单，有丰富的非线性特征，提出后就震动了学术界。

此后，混沌科学得到了迅猛的发展,基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式,所以对混沌的研究不仅推动了其它科学的发展,而且其它科学的发展又促进了对混沌的深入研究，奠定混沌在现代科学技术中的重要地位。

2 混沌定义混沌是由非线性确定系统产生的随机行为，混沌现象根源于非线性交叉耦合的耦合作用。

1975年,李天岩和约克在“周期意味着混沌”的文章中第一次给出了混沌的一种数学定义[3]：连续映射或者点映射F ：[][]()()λλ,,,,,x F x b a R b a →→⨯称为混沌的，如果（1）存在一切周期的周期点：（2）存在不可数子集[]b a ,S ⊂，S 不含周期点，使得()()()()()()为周期点p S x p F x F yx S y x x y F y x F y x S y x x y F y x F n n n n n n n n n ,,0,,sup lim ,,,0,,sup lim ,,,0,,inf lim ∈>-≠∈>-≠∈=-∞→∞→∞→λλ 则称f 在S 上是混沌的。

根据李约克定义，一个混沌系统应该有三种性质：（1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即此集合不存在渐进周期轨道。

（3）混沌轨道具有高度的不稳定性。

此外，对混沌的定理还有Sharkovskii 定理，Smale 马蹄，横截同宿点，拓扑混合及符号动力系统等定义[6]。

混沌现象的发现以及对混沌的定义，不仅是人们认识客观事物运动从定常周期或者准周期的运动扩展到了无序的混沌形式。

而且还发现了确定论与概率论这两套体系描述之间的由此及彼的桥梁。

混沌概念的提出，丰富了人类对远离平衡态现象的认识，使得人们能够将许多复杂现象看作是有目的有结构的行为，而非某种外来的偶然行为。

3 混沌的特征混沌现象的出现首先得保证这个系统是非线性的，线性系统是不可能发生混沌现象，它主要有以下几个特征：3.1 混沌对初值条件具有高度敏感性最著名的理论是Lorenz 蝴蝶效应，它是指事物发展的结果对初始条件具有极为敏感的依赖性。

通常用Lyapunov 指数来刻画这种对初值敏感的依赖性，可以说明系统的混沌性。

3.2 有界性混沌的运动状态并不是没有边界的，其运动路线无论经过多少次迭代，都会固定在某个区域中，不会超出该区域，这个区域就是吸引域。

对于混沌系统而言，有界性表现出系统的整体稳定性。

3.3 遍历性遍历性是指混沌运动轨迹吸引子会遍历系统吸引域的每一个状态点，但是又不会停留在具体的某一个状态点。

3.4 内在的随机性内在随机性与外在随机性的不同在于，外在随机性是由于外部环境中的某些随机因素对系统造成的影响，而内在随机性是由于系统内部自发生成的，不需要存在随机因素，就会出现类似随机性的行为。

3.5 自相似性混沌具有自相似性。

所谓的自相似性，就是指把混纯吸引子相图的某一局部放大，放大后的相图与原混纯吸引子的相图是相似的。

4 通往混沌的道路系统是通过怎样的方式或者途径从规则运动过渡到混沌运动，是混沌研究的重要问题。

以下为三种走向混沌的主要途径。

4.1 准周期道路这是由法国著名科学家D.Rulle和F.Takens在70年代首次提出。

混沌可以看作具有无穷多个频率耦合而成的振动现象，其特点是平衡态→周期运动→准周期运动→混沌运动。

4.2 倍周期分叉道路倍周期分叉道路是由分形理论创始人 B.B.Mandelbrot和P.Myberg以及J.A.Yorke等一大批科学家共同努力而发现的。

即从周期不断加倍而产生的混沌。

→ 无限倍周期凝聚点→奇怪吸引其特点为不动点→两周期点→四周期点→子。

4.3 间歇道路间歇混沌模型也称为Pomeau-Manneville途径，它是由Pomeau和Man-neville 与1980年所提出的一条途径。

这条途径是一种规则的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇状态转变为混沌运动状态的。

5 混沌在自然科学中的应用5.1 生物医学随着混沌理论的普及，人们发现人体的心率，脑电波都是混沌的。

真正周期的心率或是脑电波则是致病因素。

因此，人们开始用混沌理论来研究心脏的动力学问题，试图用混沌控制来减少或者消除心脏的“致命混沌”，控制心律不齐的发生。

例如利用混沌系统对初始扰动的敏感性，可以在心脏系统偏离正常状态的初期，只用微小的扰动去控制心脏的混沌状态，就能使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。

不仅如此，在治疗神经疾病方面，运用混沌控制理论将其所表现的“周期态”变为“混沌态”，进行混沌反控制，从而治疗这种所谓的“动态病”。